- Выражение части в долях целого
- Основные правила нахождения дроби от числа в математике
- Нахождение дроби от числа
- Нахождение числа по значению дроби
- Нахождение процента от числа
- Применение нахождения дроби от числа для решения задач
- Деление меньшего числа на большее
- Какую часть одно число составляет от другого
- Примеры задач на дробные выражения для 6 класса
Выражение части в долях целого
Чтобы выразить часть как долю от целого, нужно разделить часть на целое.
Задача. В классе 30 учеников, четверо отсутствуют. Какая часть учащихся отсутствует?
Решение:
Ответ: Не в классе
студенты.
Основные правила нахождения дроби от числа в математике
С целью краткого обозначения количества в математике используются дроби. Представьте, что это часть чего-то. Логично предположить, что и в этом случае должно быть целое, из которого берется часть. В результате, имея информацию о целом, не составит труда определить его часть, которая выражается соответствующей дробью.
Определение
Дробью в математике называется число, в состав которого входит одна или несколько равных частей (пропорций) единицы.
В зависимости от формы записи дроби могут быть:
- обычно, как ±ab;
- десятичное число, например 0,563.
Пример
Рассмотрим дробь:
XY
Здесь X — счетчик, который действует как делимое. Y — делитель, называемый знаменателем.
Объяснить, как найти дробь от определенного числа, можно на примере самостоятельного решения задачи.
Задание 1
Предположим, у нас есть торт весом 3 кг. Разделите его на 8 частей и возьмите 3 части. Попробуем подсчитать, сколько у нас весят кусочки торта. Для этого определяем массу каждой детали:
3÷8=38
Получаем, что 1 часть торта имеет массу 38 кг. Так как таких штук у нас 3, умножаем полученное число на 3:
38 3=3 38=98=118
Таким образом, 3 части торта весят 118 кг.
Опираясь на опыт, мы можем сформулировать простое правило нахождения дроби числа.
Правило
Чтобы вычислить дробь числа, нужно найти произведение данного числа и этой дроби.
В процессе полезно использовать стандартный алгоритм умножения дроби на число:
- найти произведение числителя дроби на число;
- введите результат умножения в счетчик;
- знаменатель дроби оставить без изменений;
- при необходимости сократить дробь или привести дробь к правильному виду.
Задача 2
Печатное издание состоит из 160 страниц. Мальчик смог прочитать 45 из общего объема. Необходимо определить, сколько листов прочел мальчик.
В данном случае роль целого играет общее количество страниц, то есть число 160. Так как знаменатель равен 5, определяем количество листов в одной части:
1605=32
Соответственно, четыре части будут:
32 4=128
Таким образом, количество страниц, прочитанных мальчиком, равно 128.
Читайте также: Как найти площадь треугольника, формула для 3 и других классов
Нахождение дроби от числа
Чтобы найти часть целого числа n, представленную дробью, нужно умножить эту дробь (например, a/b) на заданное число n.
Доля числа = n ⋅ a/b = п ⋅ а/б
Пример 1
Найдем 5/12 с номера 24.
Решение
5/12⋅ 24 =5⋅24/12=120/12= 10
Пример 2
Найдем 4/9 из числа 7.
Решение
4/9⋅ 7 =4⋅7/9=28/9=31/9
Поэтому результат нахождения дроби числа не всегда является целым числом.
Примечание: если дробь смешанная, то ее следует сначала представить в виде неправильной дроби и только потом производить умножение.
Нахождение числа по значению дроби
Если известно, сколько занимает число n в числе m, и эта дробь выражена в виде дроби, то для нахождения числа m используется формула:
м = м: а/б
Пример:
Ряд в кинотеатре рассчитан на 20 мест, что составляет 2/5
от общей вместимости зала. Определите, сколько мест в зале.
Решение
Общее количество мест составляет:
20: 2/5= 20 ⋅5/2=20⋅5/2= 50
Нахождение процента от числа
Особенно часто можно услышать об интересе в контексте финансовой отчетности: цены выросли на 15%, выручка упала на 5% и так далее.
Запись в виде 10% следует интерпретировать как 0,1
(mathbf{12%=0,12})
(mathbf{50%=0,5})
и так далее, то есть, чтобы получить десятичную дробь, равную числу в процентах, необходимо число процентов разделить на 100.
Поэтому, чтобы найти процент от числа, необходимо преобразовать проценты в десятичную дробь, а затем воспользоваться правилом нахождения дроби от числа: умножить число на дробь.
Например, вам нужно найти 5% от 200.
Первый шаг — преобразовать 5% в десятичную дробь:
(mathbf{5%=5div100=0,05})
Второй шаг – умножить найденную дробь на число:
(mathbf{0,05cdot200=10})
10 и составит 5% от 200.
Давайте рассмотрим еще несколько примеров.
Найдите 20% от 80:
(mathbf{20%=20div100=0,2})
(mathbf{0,2cdot80=16})
Также, если это кажется более удобным, можно преобразовать десятичную дробь в обычную и умножить на нее.
Найдите 50% от 234:
(mathbf{50%=50div100=0,5=frac{1}{2}})
(mathbf{234cdotfrac{1}{2}=frac{234}{2}=frac{117cdot2}{2}=117})
Применение нахождения дроби от числа для решения задач
В начале урока мы уже разобрали пример торта, теперь давайте рассмотрим другие примеры.
Задание 1
Остап зарабатывает 40 000 рублей в месяц.
Из них (mathbf{frac{1}{4}}) является подработкой.
Сколько рублей зарабатывает Остап на подработке?
Решение:
В этом случае цифрой будет сумма дохода в месяц — 40 000
Ну, дробь, очевидно, будет (mathbf{frac{1}{4}}).
Тогда, чтобы найти прибыль от подработки, нужно просто умножить дробь на число.
(mathbf{40000cdotfrac{1}{4}=frac{40000}{4}=10000})
Ответ: 10 000 руб.
Теперь давайте посмотрим на что-то более сложное.
Задача 2
Порфирий живет в комнате площадью 18 квадратных метров.
3 кровати занимают (mathbf{frac{1}{3}}) места в комнате.
Какова площадь кровати?
Решение:
Сначала находим, сколько площади занимают 3 кровати, затем делим это число на 3, чтобы получить площадь кровати.
1) (mathbf{18cdotfrac{1}{3}=frac{18}{3}=6}) (квадратный метр) занимает 3 кровати
2) (mathbf{6div3=2}) (квадратный метр) занимает одну кровать
Ответ: 2 квадратных метра.
Теперь давайте посмотрим, как проценты используются в задачах.
Задача 3
Пересвет работает на заводе и производит 100 деталей в день.
Начальник Елисей пообещал Пересвету премию, если он сделает на 20% больше деталей.
Сколько деталей в день должен сделать Пересвет, чтобы получить бонус?
Решение:
Во-первых, нужно понять, сколько еще деталей нужно раскрыть «Пересвету» в количественном выражении, чтобы получить награду.
Для этого умножаем текущее количество частей на процент или дробь, учитывая, что 20% — это 20 частей из 100, а то и 0,20, и получаем желаемую прибавку.
1) (mathbf{20%=20div100=0,2})
2) (mathbf{100cdot0.2=20}) (детали) — сколько еще деталей производить
Теперь, чтобы найти общее количество деталей, нам нужно прибавить это увеличение к тому, что «Пересвет» уже производит сейчас.
3) (mathbf{100+20=120}) (детали) в день необходимо производить для получения бонуса
Ответ: 120 частей.
В некоторых задачах нужно использовать проценты от числа несколько раз.
Задача 4
Глубина реки в начале мая равнялась 10 метрам, к началу июня она обмелела на 10%, а к началу июля еще на 15% по сравнению с началом июня. Вычислите, какой глубины была река в начале июля.
Решение:
Стартовое число 10 метров, дробь указана в процентах.
Первый акт должен найти глубину реки в начале июня.
Здесь можно пойти двумя разными путями:
I. Подсчитайте, на сколько метров опустился уровень воды, и вычтите это из первоначальных цифр.
0) (mathbf{10%=10div100=0,1})
1) (mathbf{10-10cdot0.1=10-1=9}) (метры) — глубина реки в начале июня
II. Вместо того, чтобы считать разницу и вычитать ее, можно посчитать, сколько осталось процентов, и сразу найти именно эту часть исходного числа.
Учитывая, что у нас всего 100%, но если глубина уменьшилась на 10%, то остается 90%.
0) (mathbf{100-10=90}) (проценты) остается
1) (mathbf{90%=90div100=0,9})
2) (mathbf{10cdot0.9=9}) (метры) — глубина реки в начале июня
Как видим, эти два подхода дают один и тот же результат.
Поэтому вы можете выбрать любой из них в зависимости от поставленной задачи и ваших предпочтений.
Таким образом, мы рассчитали глубину в начале июня. Теперь нужно понять, какой будет глубина в начале июля, когда глубина уменьшится еще процентов на 15.
В данном случае используем второй способ.
3) (mathbf{100-15=85}) (процентов) остается в июле от уровня июня
4) (mathbf{85%=85div100=0,85})
5) (mathbf{0,85cdot9=7,65}) (метров) будет глубина реки в начале июля
Ответ: 7,65 метра.
Деление меньшего числа на большее
В жизни часто возникают ситуации, когда нужно разделить меньшее число на большее. Например, давайте представим ситуацию. Есть три друга:
И надо разделить два яблока поровну между ними. Как это сделать? Есть три друга, но только два яблока. Мы находимся в ситуации, когда требуется разделить меньшее число на большее (два яблока на три).
Для таких случаев предусмотрено следующее правило:
При делении меньшего числа на большее получается дробь, в числителе — делимое, а в знаменателе — делитель.
Применим это правило. В нем говорится, что при делении меньшего числа на большее получается дробь, в числителе стоит делимое, а в знаменателе делитель. Наша делимая — два яблока. Записываем цифру 2 в счетчик:
А наш делитель — это три друга (помните, что делитель показывает, на сколько частей нужно разделить делимое). Запишем тройку в знаменателе нашей дроби:
Смешно, но мусор
это ответ на нашу проблему. Каждый друг получит
яблоки. Почему так случилось?
Чтобы разделить два яблока на три, разрежьте ножом каждое яблоко на три части и разложите эти кусочки поровну между тремя друзьями:
Как видно на картинке, каждое яблоко было разделено на три части и распределено поровну между тремя друзьями. Каждый друг получил
яблоки (две деревяшки).
Какую часть одно число составляет от другого
Иногда возникает необходимость узнать, какой частью является первое число от второго. Для таких случаев предусмотрено следующее правило:
Чтобы узнать, в какой части первое число от второго, разделите первое число на второе.
Например, яблоко разделено на пять равных долек. Какую часть яблока составляют две дольки?
Чтобы ответить на этот вопрос, разделите первое число на второе. Первое число 2, второе 5. Оно становится дробью
.
Таким образом, две дольки из пяти составляют две пятых. Это можно увидеть на следующем рисунке:
Итак, два кусочка яблока из пяти — это две пятых.
Возникает вопрос, а как узнать, какое число первое, а какое второе? Для этого нужно посмотреть на поставленный в задаче вопрос. Число, указанное в вопросе задачи, будет первым числом. Например, в предыдущей задаче вопрос задавался так:
«Какая часть яблока состоит из двух таких кусочков?»
Если внимательно посмотреть на вопрос, то можно обнаружить, что в нем указана цифра 2. Это был первый номер.
Иногда в вопросе одновременно появляются два числа. Например: какой частью является число 2 числа 10?
В этом случае первое число будет тем, которое стоит первым в вопросе. В данном случае первое число 2, а второе 10. Делим 2 на 10, получаем дробь
. Итак, число 2 из числа 10 равно
(две десятых).
Доля
означает, что число 10 делится на десять частей, и из этих десяти частей берутся две части.
Эту дробь тоже можно уменьшить на 2. Сократив дробь
с 2 мы получаем дробь
.
Доля
также может служить ответом на проблему. Это значит, что число 10 делится на пять частей, и от этих пяти частей берется часть.
Итак, цифра 2
(одна пятая часть) числа 10.
Пример 3. Какой частью является число 5 от числа 15?
Делим первое число на второе. Первое число 5, а второе 15. Делим 5 на 15, получаем дробь
. Эту дробь можно уменьшить на 5
Получил хорошую фракцию
. Таким образом, ответ будет выглядеть так:
Число 5
(одна треть) числа 15.
Это даже можно проверить. Для этого вы должны найти
из числа 15. Если мы все сделали правильно, у нас должно получиться число 5.
Итак, давайте найдем
из числа 15. Мы уже знаем, как найти дробь из числа
15 : 3 = 5
5 х 1 = 5
Получили ответ 5. Значит, задача решена правильно.
Пример 4. Какая часть 3 см составляет 12 см?
Делим первое число на второе. Первое число 3, а второе 12. Получаем дробь
. Эту дробь можно уменьшить на 3
Получил ответ
. Значит 3см
(четверть) от 12 см.
Проверим, правильно ли мы решили эту задачу. Для этого находим
от 12 см. Если мы все сделали правильно, у нас должно получиться 3 см.
Разделить 12 на знаменатель
12 см : 4 = 3 см
Полученные 3 см умножаем на числитель дроби
3 см × 1 = 3 см
Получили ответ 3 см. Так что задача решена правильно.
Примеры задач на дробные выражения для 6 класса
Пример 5
79 чисел в сумме дают 42. Найдите это число.
Решение.
Пусть неизвестное число равно х. Тогда 79 х равно 42:
79х=42.
Задача сводилась к решению уравнения. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.
Мы получаем:
79x=42 x=42:79 Чтобы разделить натуральное число на обыкновенную дробь, мы представляем натуральное число в виде дроби со знаменателем 1 и умножаем ее на дробь, которая будет обратной дроби 79 x=421 *97 Мы умножая числитель на числитель, знаменатель на знаменатель: x=42*91*7 Сокращаем дробь: ищем общий делитель числителя и знаменателя. Числитель и знаменатель делятся на 7 42 делится на 7 и 7 делится на 7 x=6*91*1 x=541 x=54.
Ответ: 54.
Пример 6
Используйте материалы урока для самостоятельного решения задачи.
63% от числа равно 126. Найдите это число.
Решение.
Переводим 63% в десятичную дробь. Получаем 0,63.
63%:100%=0,63.
Тогда 0,63 от искомого числа равно 126. Обозначим искомое число через x.
Получаем уравнение:
0,63х=126.
Решаем уравнение.
0,63x=126 x=126:0,63 Чтобы разделить число на десятичную дробь, мы избавляемся от запятой в делителе. Для этого умножаем каждую составляющую выражения на сто. Получаем: x=12600:63 И считаем: x=200.
Ответ: искомое число 200.
Задача 3
Иван прошел 250 метров, что составляет 47 метров местной экологической тропы. Какова длина экологической тропы?
Решение.
Пусть длина всей экологической тропы х метров. Затем мы получаем уравнение для нахождения всего пути:
47х=250.
Чтобы найти неизвестный множитель x, мы делим произведение на известный множитель.
x=250:47 Представим натуральное число в виде дроби 2501 x=2501:47 Чтобы разделить две дроби друг на друга, переписываем первую дробь, меняем знак деления на знак ; ; (найти обратную дробь) x=2501*74 Умножаем числитель на числитель, знаменатель на знаменатель x=250*71*4 Сокращаем дробь: делим числитель и знаменатель на одно и то же число. 250 и 4 делятся на 2 x=125*71*2 x=8752 Разделите числитель на знаменатель. Получаем десятичную дробь: x=437,5.
Ответ: длина экологической тропы 437,5 метра.
Задача 4
Ирина выполнила 25% заданий, это 4 примера. Сколько примеров нужно решить Ирине.
Решение.
Пусть общее количество примеров равно х. Тогда 25% от х равно 4.
Составим уравнение: 25%x=4.
Чтобы решить уравнение, нужно найти неизвестный множитель x: разделить произведение на известный множитель.
Преобразование процентов в дроби: 25%:100%=0,25.
Получаем уравнение: 0,25x=4.
0,25x=4 x=4:0,25 Чтобы разделить натуральное число на десятичную дробь, умножьте каждую часть на сто: x=4*100:0,25*100 x=400:25 x=16.
Получается, что Ирине было предложено решить 16 примеров, из которых она уже решила 4. Значит, ей предстоит решить:
16-4=12 примеров
Ответ: Ирине нужно решить 12 задач.