Как найти объем сегмента шара: формула, пример задачи

Шар, сфера и их части

Введем следующие определения, относящиеся к шару, сфере и их частям.

Определение 1. Сферой с центром в точке O и радиусом r называется множество точек, расстояние до точки O которых равно r (рис. 1).

Определение 2. Сферой с центром в точке O и радиусом r называется множество точек, расстояние от которых до точки O не превышает r (рис. 1).

Рисунок 1

Таким образом, сфера с центром в точке O и радиусом r является поверхностью сферы с центром в точке O и радиусом r.

Примечание: Радиус сферы (радиус сферы) — это отрезок, соединяющий любую точку на сфере с центром сферы. Длину этого отрезка также часто называют радиусом сферы (радиусом сферы).

Определение 3. Сферический пояс (сферический пояс) – это часть сферы, заключенная между двумя параллельными плоскостями параллельных плоскостей (рис. 2).

Определение 4. Сферический слой – это часть сферы, заключенная между двумя параллельными плоскостями параллельных плоскостей (рис. 2).

Рис.2

Окружности, ограничивающие сферический пояс, называются основаниями сферического пояса.

Расстояние между плоскостями Расстояние между плоскостями оснований сферического пояса называется высотой сферического пояса.

Из определений 3 и 4 следует, что сферический слой ограничен сферическим поясом и двумя окружностями, плоскости которых параллельны и параллельны друг другу. Эти окружности называются основаниями сферического слоя.

Высота сферического слоя — это расстояние между плоскостями, расстояние между плоскостями оснований сферического слоя.

Определение 5. Сферическим сегментом называется каждая из двух частей, на которые шар делится секущей его плоскостью (рис. 3).

Определение 6. Каждая из двух частей, на которые шар делится секущей его плоскостью, называется сферическим сегментом (рис. 3).

Рис.3

Из определений 3 и 5 следует, что сферический сегмент представляет собой сферический пояс, в котором одна из плоскостей основания касается сферы (рис. 4). Высота такого сферического пояса называется высотой сферического сегмента.

Соответственно сферический сегмент представляет собой сферический слой, в котором одна из плоскостей оснований касается шара (рис. 4). Высота такого сферического слоя называется высотой сферического сегмента.

Рис.4

По той же причине всю сферу можно рассматривать как сферический пояс, где обе плоскости заземления соприкасаются со сферой (рис. 5). Следовательно, весь шар представляет собой сферический слой, где обе плоскости основания касаются шара (рис. 5).

Рис.5

Определение 7. Сферическим сектором называется фигура, состоящая из всех отрезков, соединяющих точки сферического отрезка с центром сферы (рис. 6).

Рис. 6

Высота сферического сектора равна высоте его сферического сегмента .

Комментарий. Сферический сектор состоит из сферического сегмента и конуса с общим основанием. Вершина конуса является центром сферы.

Читайте также: Моря Индийского океана — названия, описание и карта

Площади сферы и ее частей. Объемы шара и его частей

В следующей таблице приведены формулы для расчета объема сферы и объемов ее частей, а также площади сферы и площадей ее частей.

Фигура	Рисунок	Формула	Описание
Прохладный		S = 4πr2, где r — радиус сферы.	Диапазон пуль
Мяч	где r — радиус шара.	Объем мяча
Сферический ремень		S = 2пр, где r — радиус сферы, h – высота сферического пояса. Площадь сферического пояса не зависит от радиусов r1 и r2 !	Площадь сферического пояса
Мяч команда	где r1, r2 — радиусы оснований сферического слоя, h – высота сферического слоя.	Объем сферического слоя
Сферический сегмент		S = 2пр, где r — радиус сферы, h – высота сферического сегмента.	Площадь сферического сегмента
Шаровой сегмент	где r — радиус шара, h – высота сферического сегмента.	Объем сферического сегмента
Сектор мяча		где r — радиус шара, h — высота сферического сектора.	Объем сферического сектора

Прохладный

Диапазон мяча: S = 4πr2, где r — радиус сферы.

Мяч

Объем мяча: где r — радиус шара.

Сферический ремень

Площадь сферического пояса: S = 2пр, где r — радиус сферы, h – высота сферического пояса. Площадь сферического пояса не зависит от радиусов r1 и r2 !

Мяч команда

Объем шаровой кровати: где r1, r2 — радиусы оснований сферического слоя, h – высота сферического слоя.

Сферический сегмент

Площадь сферического сегмента: S = 2пр, где r — радиус сферы, h – высота сферического сегмента.

Шаровой сегмент

Объем шарового сегмента: где r — радиус шара, h – высота сферического сегмента.

Сектор мяча

Объем сектора сферы: где r — радиус шара, h — высота сферического сектора.

Определение сегмента шара

Сегмент сферы (или сегмент сферы) — это часть сферы, отсеченная плоскостью. На рисунке ниже он окрашен в зеленый цвет.

• R — радиус шара;
• r — радиус основания сегмента;
• h – высота сегмента; — длина перпендикуляра из центра основания (точка О2) в точку на поверхности шара.

Формулы для нахождения объема шарового сегмента

Пояснения:

• В приведенных ниже формулах используется радиус сферы (R) или радиус основания сегмента (r). Поэтому, если сначала задан их диаметр (d), разделите соответствующий диаметр на два, чтобы найти требуемый радиус.
• Число π округляется до 3,14.

Через радиус шара и высоту сегмента

Чтобы найти объем (V) сегмента сферы, нужно знать радиус сферы и высоту сегмента.

Через радиус основания сегмента и его высоту

Вы можете вычислить объем (V) сферического сегмента, зная высоту и радиус основания (окружности).

Эта формула выводится следующим образом:

Радиус шара можно выразить через радиус основания сегмента и его высоту:

Подставив R в первую формулу для расчета объема с выражением выше, получим:

Пример задачи

Найдите объем сегмента сферы, если известно, что высота равна 4 см, а радиус сферы равен 9 см.

Решение

В этом случае при известных значениях нас устраивает первая формула:

Уравнение сферы

1. Уравнение сферы радиусом R с центром в начале декартовой системы координат:

х2 + у2 + z2 = R2

2. Уравнение сферы радиусом R с центром в точке с координатами (x0, y0, z0) в декартовой системе координат:

(x — x0)2 + (y — y0)2 + (z — z0)2 = R2

3. Параметрическое уравнение сферы с центром в точке (x0, y0, z0):
x = x0 + R sin θ cos φy = y0 + R sin θ sin φz = z0 + R cos θ
где θ ϵ 0,π, φ ε 0,2π. Определение: Диаметрально противоположными точками называются две точки на поверхности сферы (шара), соединенные диаметром.

Основные свойства сферы и шара

1. Все точки на сфере равноудалены от центра.

2. Любая часть сферы плоскостью является окружностью.

3. Любое сечение сферы плоскостью есть окружность.

4. Сфера имеет наибольший объем среди всех пространственных фигур с одинаковой площадью поверхности.

5. Через две диаметрально противоположные точки можно провести много больших кругов для сферы или кругов для шара.

6. Через две точки, кроме диаметрально противоположных, можно провести только одну большую окружность для шара или одну большую окружность для шара.

7. Любые две большие окружности шара пересекаются по прямой, проходящей через центр шара, причем окружности пересекаются в двух диаметрально противоположных точках.

8. Если расстояние между центрами любых двух сфер меньше суммы их радиусов и больше модуля разности их радиусов, то такие сферы пересекаются, и в плоскости пересечения образуется окружность.

Секущая, хорда, секущая плоскость сферы и их свойства

Определение: секущая сферы – это прямая линия, которая пересекает сферу в двух точках. Точки пересечения называются точками прокалывания поверхности или точками входа и выхода на поверхность.

Определение Хорда сферы (сферы) – это отрезок, соединяющий две точки сферы (поверхность сферы) Определение Секущая плоскость – это плоскость, которая пересекает сферу.

Определение Диаметральная плоскость — это секущая плоскость, проходящая через центр сферы или сферы, при этом разрез образует большой круг и большой круг соответственно. Большой круг и большой круг имеют центр, совпадающий с центром сферы (сферы). Любая хорда, проходящая через центр сферы (сферы), является диаметром. Хорда – это отрезок секущей. Расстояние d от центра сферы до секущей всегда меньше радиуса сферы:

д < р

Расстояние m между секущей плоскостью и центром сферы всегда меньше радиуса R:

м < R

Сечение секущей плоскости на сфере всегда будет маленькой окружностью, а на сфере сечением будет маленькая окружность. Малый круг и малый круг имеют свои центры, не совпадающие с центром сферы (сферы). Радиус r такой окружности можно найти по формуле:

г = √R2 — м2,

где R — радиус сферы (сферы), м — расстояние от центра сферы до плоскости сечения. Определение Полусфера (полусфера) — это полусфера (сфера), образованная при разрезании ее диаметральной плоскостью.

Касательная, касательная плоскость к сфере и их свойства

Определение: Касательная к сфере — это прямая, которая касается сферы только в одной точке.

Определение. Касательная плоскость к сфере — это плоскость, которая касается сферы только в одной точке. Касательная линия (плоскость) всегда перпендикулярна радиусу сферы, проведенной к точке касания. Расстояние от центра сферы до касательной (плоскости) равно радиусу сферы.
Определение: Сегмент шара — это часть шара, отсеченная от шара секущей плоскостью. Основанием сегмента называется круг, который образовался на месте разреза. Высота отрезка h — это длина перпендикуляра, проведенного из центра основания отрезка к поверхности отрезка. Формула. Площадь внешней поверхности сегмента сферы высотой h через радиус сферы R:

S = 2πRh

Формула. Объем сегмента сферы высотой hi равен радиусу сферы R:

В =	h2π	(3R-ч)
3

Определение: Диск шара – это часть шара, образованная в результате его сечения двумя параллельными плоскостями и расположенная между ними.
Определение. Сектором называется часть шара, ограниченная суммой всех лучей, исходящих из центра шара О и образующих на поверхности окружность радиусом г. Формула. Площадь поверхности сектора S высотой O1H (h) через радиус сферы OH (R):

S = πR(2t + √2tR — h2)

Формула Объем сектора V высотой O1H (h) через радиус сферы OH (R):

В =	2πR2h
3

Определение: Касательные сферы (сферы) – это любые две сферы (сферы), имеющие общую точку соприкосновения. Если расстояние между центрами больше суммы радиусов, то фигуры не касаются и не пересекаются.
Определение: концентрическими сферами называются любые две сферы, имеющие общий центр и радиусы разной длины.