Как найти объем шара: формула через радиус, диаметр

Вычисления

Понятие объема геометрических фигур

Определение 1

Объем геометрической фигуры – это количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом, определяемая его формой и линейными размерами.

Представьте себе два сосуда: один в форме куба, а другой произвольной формы, до краев наполненный жидкостью. Предположим, что на наполнение первого сосуда ушло m кг жидкости, а на наполнение второго сосуда — n кг жидкости. Таким образом, второй сосуд в n/m раз больше первого. Величина, показывающая, во сколько раз второй сосуд больше первого, называется объемом второго сосуда, если первый сосуд является единицей измерения.

Из этого определения следуют следующие свойства:

Следствие 1

Поскольку для заполнения каждого сосуда требуется определенное количество жидкости, каждый сосуд имеет определенный положительный объем.

Следствие 2

Для заполнения одинаковых сосудов требуется одинаковое количество жидкости, поэтому равные сосуды имеют одинаковый объем.

Следствие 3

Если данный сосуд разделен на две части, то количество жидкости, необходимое для заполнения всего сосуда, состоит из количества жидкости, необходимого для заполнения частей. Следовательно, объем всего сосуда равен сумме объемов его частей.

Шар, сфера и их части

Введем следующие определения, относящиеся к шару, сфере и их частям.

Определение 1. Сферой с центром в точке O и радиусом r называется множество точек, расстояние до точки O которых равно r (рис. 1).

Определение 2. Сферой с центром в точке O и радиусом r называется множество точек, расстояние от которых до точки O не превышает r (рис. 1).

бильярдный шар
бильярдный шар

Рисунок 1

Таким образом, сфера с центром в точке O и радиусом r является поверхностью сферы с центром в точке O и радиусом r.

Примечание: Радиус сферы (радиус сферы) — это отрезок, соединяющий любую точку на сфере с центром сферы. Длину этого отрезка также часто называют радиусом сферы (радиусом сферы).

Определение 3. Сферический пояс (сферический пояс) – это часть сферы, заключенная между двумя параллельными плоскостями параллельных плоскостей (рис. 2).

Определение 4. Сферический слой – это часть сферы, заключенная между двумя параллельными плоскостями параллельных плоскостей (рис. 2).

сферический ремень шаровой ремень
сферический ремень шаровой ремень
сферический ремень шаровой ремень

Рис.2

Окружности, ограничивающие сферический пояс, называются основаниями сферического пояса.

Расстояние между плоскостями Расстояние между плоскостями оснований сферического пояса называется высотой сферического пояса.

Из определений 3 и 4 следует, что сферический слой ограничен сферическим поясом и двумя окружностями, плоскости которых параллельны и параллельны друг другу. Эти окружности называются основаниями сферического слоя.

Высота сферического слоя — это расстояние между плоскостями, расстояние между плоскостями оснований сферического слоя.

Определение 5. Сферическим сегментом называется каждая из двух частей, на которые шар делится секущей его плоскостью (рис. 3).

Определение 6. Каждая из двух частей, на которые шар делится секущей его плоскостью, называется сферическим сегментом (рис. 3).

сферический сегмент
сферический сегмент
сферический сегмент

Рис.3

Из определений 3 и 5 следует, что сферический сегмент представляет собой сферический пояс, в котором одна из плоскостей основания касается сферы (рис. 4). Высота такого сферического пояса называется высотой сферического сегмента.

Соответственно сферический сегмент представляет собой сферический слой, в котором одна из плоскостей оснований касается шара (рис. 4). Высота такого сферического слоя называется высотой сферического сегмента.

сферический сегмент и сферический пояс
сферический сегмент и сферический пояс
сферический сегмент и сферический пояс

Читайте также: Как найти периметр треугольника

Рис.4

По той же причине всю сферу можно рассматривать как сферический пояс, где обе плоскости заземления соприкасаются со сферой (рис. 5). Следовательно, весь шар представляет собой сферический слой, где обе плоскости основания касаются шара (рис. 5).

мяч и сферический пояс
мяч и сферический пояс
мяч и сферический пояс

Рис.5

Определение 7. Сферическим сектором называется фигура, состоящая из всех отрезков, соединяющих точки сферического отрезка с центром сферы (рис. 6).

сектор мяча
сектор мяча

Рис. 6

Высота сферического сектора равна высоте его сферического сегмента .

Комментарий. Сферический сектор состоит из сферического сегмента и конуса с общим основанием. Вершина конуса является центром сферы.

Площади сферы и ее частей. Объемы шара и его частей

В следующей таблице приведены формулы для расчета объема сферы и объемов ее частей, а также площади сферы и площадей ее частей.

Фигура Рисунок Формула Описание
Прохладный Объем сферы Площадь сферы S = 4πr2,

где
r — радиус сферы.

Диапазон пуль
Мяч где
r — радиус шара.
Объем мяча
Сферический ремень площадь сферического пояса объем сферического слоя S = 2пр,

где
r — радиус сферы,
h – высота сферического пояса.

Площадь сферического пояса не зависит от радиусов r1 и r2 !

Площадь сферического пояса
Мяч команда где
r1, r2 — радиусы оснований сферического слоя,
h – высота сферического слоя.
Объем сферического слоя
Сферический сегмент Объем сферического сегмента Площадь сферического сегмента S = 2пр,

где
r — радиус сферы,
h – высота сферического сегмента.

Площадь сферического сегмента
Шаровой сегмент где
r — радиус шара,
h – высота сферического сегмента.
Объем сферического сегмента
Сектор мяча Объем сферического сектора где
r — радиус шара,
h — высота сферического сектора.
Объем сферического сектора
Прохладный
Объем сферы Площадь сферы

Диапазон мяча:

S = 4πr2,

где
r — радиус сферы.

Мяч
Объем сферы Площадь сферы

Объем мяча:

где
r — радиус шара.

Сферический ремень
площадь сферического пояса объем сферического слоя

Площадь сферического пояса:

S = 2пр,

где
r — радиус сферы,
h – высота сферического пояса.

Площадь сферического пояса не зависит от радиусов r1 и r2 !

Мяч команда
площадь сферического пояса объем сферического слоя

Объем шаровой кровати:

где
r1, r2 — радиусы оснований сферического слоя,
h – высота сферического слоя.

Сферический сегмент
Объем сферического сегмента Площадь сферического сегмента

Площадь сферического сегмента:

S = 2пр,

где
r — радиус сферы,
h – высота сферического сегмента.

Шаровой сегмент
Объем сферического сегмента Площадь сферического сегмента

Объем шарового сегмента:

где
r — радиус шара,
h – высота сферического сегмента.

Сектор мяча
Объем сферического сектора

Объем сектора сферы:

где
r — радиус шара,
h — высота сферического сектора.

Формула вычисления объема шара

1. Сквозной радиус

Объем (V) сферы равен четырем третям произведения ее радиуса в кубе и числа π.

Формула объема шара через радиус

Объем мяча

Примечание: при расчетах значение числа π округляется до 3,14.

2. Общий диаметр

Диаметр сферы равен двум ее радиусам: d = 2R. Таким образом, формула расчета объема может выглядеть так:

Формула объема шара по диагонали

Объём шара через радиус

Каков объем сферы Vball радиусом r?

Формула

Vball = 4⁄3 ⋅ π ⋅ r³ , где π ≈ 3,14…

Пример

Например, посчитаем, чему равен объем шара в кубических сантиметрах, если радиус равен r = 2 см:

Vball = 4/3 ⋅ 3,14 ⋅ 2³ = 4/3 ⋅ 3,14 ⋅ 8 = 100,48/3 ≈ 33,493 см³

Объём шара через диаметр

Чему равен объем сферы V сферы, если диаметр равен d?

Формула

Vшар = 1⁄6 ⋅ π ⋅ d³

Пример

Например, посчитаем, чему равен объем шара в кубических метрах, если диаметр d = 0,5 м:

Vball = 1/6 ⋅ π ⋅ 0,5³ = (3,14 ⋅ 0,125) / 6 ≈ 0,0654 м³

Объём шара через длину окружности

Каков объем шара V у шара, длина окружности которого равна L?

Формула

Vшар = L³⁄6π²

Пример

Например, посчитаем, чему равен объем мяча в кубических миллиметрах, если длина окружности L = 50 мм:

Vball = 50³ ⁄ 6 ⋅ 3,14² = 125000 / 59,1576 ≈ 2113 мм³

Объём шара через площадь поверхности шара

Каков объем шара V шара, если площадь его поверхности равна Sp?

Формула

Vball = √Spov³ ⁄ 36π

Пример

Например, посчитаем, чему равен объем шара в кубических сантиметрах, если площадь поверхности Sp = 225 см²:

Vball = √ 225³ ⁄ (36 ⋅ 3,14) = √ 11390625 ⁄ 113,04 = √ 11390625 ⁄ 113,04 ≈ 317,44 см³

Примеры задач

упражнение 1
Вычислите объем шара, если его радиус равен 3 см.

Решение:
По первой формуле (через радиус) получаем:
Формула вычисления объема шара по радиусу

Задача 2
Найдите объем шара, если известно, что его диаметр равен 12 см.

Решение:
Используем вторую формулу, где участвует диаметр:
Формула нахождения объема шара через радиус

Оцените статью
Блог о Microsoft Word