Как найти область определения функции

Логарифмическая функция — что это в математике

Определение 1

Логарифм числа b по основанию а есть показатель степени, при возведении в который по основанию а получается число b.

Логарифм обозначается как logab.

Логарифм используется для выполнения сложных операций в алгебре. Это понятие можно встретить в разных науках. Например в теории вероятностей, в генетике и физике.

Это понятие имеет большое значение в астрономии. Освещенность звезд зависит от их видимого размера. Это соотношение также является логарифмическим. Кроме того, логарифмическая шкала децибел позволяет измерять громкость.

Определение 2

Логарифм — это название арифметической операции для определения логарифма числа.

Логарифмическая функция имеет вид: y=logax. Понятие и формула активно используются в науке. Например, выполните следующие операции, используя логарифмическую функцию:

• определение корней дифференциальных уравнений;
• классифицировать значения таких величин, как частота и интенсивность звука;
• аппроксимация некоторых зависимостей;
• изучение теории информации и теории вероятностей.

Определение и свойства логарифмической функции

Определение 3

Логарифмическая функция — это функция, записанная в виде:

у=логакс,

где а и х больше нуля, а а≠1.

Учитывайте следующие особенности:

1. Экспонента y=ax.
2. Логарифмический y=logax.

Обратите внимание, что эти функции взаимно обратны. Графики логарифмической и экспоненциальной функций симметричны относительно прямой y=x, играющей роль биссектрисы первого и третьего координатных квадрантов.

Логарифмическая функция обладает следующими характерными свойствами:

1. Домен определения: Dy:x∈0; +∞.
2. Значения соответствуют следующему набору: Ey:y∈-∞; +∞.
3. Чет/Нечет: Функция является общей.
4. Период: функция непериодическая.
5. График логарифмической функции пересекает оси координат в следующих точках:

• по оси абсцисс: точка А1; 0
• нет общих точек с осью у

1. Интервалы постоянства:

• 0 0 для x∈0; 1 и y<0 для x∈1; +∞<1: у>
• а>1:у>0 для x∈1; +∞ и y<0 при x∈0; 1

1. Монотонный:

• 0<1:>
• a>1: функция возрастает для некоторого x∈Dy

1. Логарифмическая функция не имеет точек минимума и максимума.

Понятие области определения функции

Впервые школьники знакомятся с понятием «функция» в алгебре в 7 классе, и для каждой четверти, с каждой новой темой это понятие раскрывается с новых сторон. И, конечно, проблемы усложняются. Теперь дадим определения ключевым словам и найдем область определения функции по заданной формуле и по графику.

Если каждому значению x из множества соответствует число y, то на этом множестве определена функция. В этом случае x называется независимой переменной или аргументом, а y называется зависимой переменной или функцией.

Зависимость переменной у от переменной х называется функциональной зависимостью. Записывают так: у = f(x).

Функция — это соответствие между двумя множествами, где каждому элементу первого множества соответствует один элемент второго множества.

Из понятия функции сформулируем определение области определения функции.

Область действия функции — это множество всех значений аргумента (переменной x). Геометрически это проекция графика функции на ось Ох. Чтобы задать область определения конкретной функции y, используйте обозначение D(y).

Множество значений функции — это множество всех значений, которые функция принимает в области определения. Геометрически это проекция графика функции на ось Oy.

• Например, диапазон функции y = x2 — это все числа, большие или равные нулю. Это можно записать как: E(y): y ≥ 0.

Область определения можно описать словами, но часто ответ оказывается громоздким. Поэтому используются специальные обозначения.

Если мы хотим указать на набор чисел, лежащих в определенном интервале, мы делаем это: Через точку с запятой указываем два числа: левую и правую границы интервала. Если граница входит в разрыв, поставьте рядом с ней квадратную скобку, если она не включена, круглую скобку. Если у интервала нет правого ребра, запишем так: +∞. Если левого ребра нет, мы пишем -∞. Если вам нужно описать множество, состоящее из нескольких отверстий, поставьте между ними знак объединения: ∪.

Например, все действительные числа от 2 до 5 можно записать так:

• .

Все положительные числа можно описать как:

<li>(0; +∞).

Ноль не является положительным числом, поэтому скобки вокруг него круглые.

Читайте также: Отрезок — что это такое

Что такое монотонность, как построить график

Функция монотонна на определенном интервале, но возрастает или убывает на определенном интервале. Таким образом, монотонность функции определяется как ее равномерность.

Можно сказать, что функция возрастает, когда:

е (х2) > е (х1)

Условие выполняется для двух точек некоторого интервала, который характеризуется соотношением:

х2 > х1

Таким образом, больший аргумент соответствует большему значению функции. График отображается на координатной плоскости снизу вверх.

Функция снижается, когда:

f (x2) < f (x1)

При этом на некотором интервале две точки характеризуются следующими условиями:

х2 > х1

Тогда большему аргументу соответствует меньшее значение функции. Поэтому граф будет упорядочен сверху вниз.

Ослабленными условиями для написанных формулировок являются неубывающие и невозрастающие функции. В первом случае верно неравенство f(x2)≥f(x1), а во втором f(x2)≤f(x1). Тогда подобные функции на данном интервале обозначаются как монотонность функции на интервале.

Строгая монотонность является подвидом обычной монотонности. Функция является постоянной, то есть немонотонной при условии, что она не имеет тенденции к уменьшению или возрастанию.

Логарифмическая функция строго монотонна. Если основание логарифмической функции равно а>1, оно увеличивается. Когда база определена как 0<1,>

Видно, что график любой логарифмической функции пересекает точку с координатами (1;0). Причиной этого является справедливость подобия log 1 = 0 в случае любого основания a.

Попробуем доказать, что логарифмическая функция монотонно возрастает:

у=log3x

Запишем известные данные:

х=логаб

топор = б

Заменим во втором выражении значение xi значением x из первого равенства и получим основное логарифмическое тождество:

алогаб=б

Обратите внимание, что в этом случае a>0, a≠1 и b>0. Если мы утверждаем, что логарифмическая функция монотонно возрастает, больший аргумент должен соответствовать большему значению функции:

х2>х1⇔у2>у1

Давайте представим x1 и x2, используя основное логарифмическое тождество:

х2=3log3x2

х1=3log3x1

Значения x2 и x1 выбираются в соответствии с областью определения. Они положительные:

х2 > х1

0<><>

Как результат:

х1<><>

Полученное неравенство показательно. Здесь степени имеют равные основания, большие единицы. Можно сделать вывод о допустимости сравнения показателей при неизменном знаке неравенства:

log3x1<>

Утверждение доказано.

Логарифмический часто обозначает непрерывную кривую для логарифмической функции. У нее нет экстремума. На схеме он занимает следующие позиции:

• увеличивается, если а>0;
• уменьшается, если 0<>

Следующие графики соответствуют возрастающим и убывающим логарифмическим функциям:

Обратите внимание, что логарифмическая функция на графике в любом случае имеет точки пересечения с осью x. Точка пересечения имеет координаты: (1;0).

При работе с логарифмическими функциями важно понимать, как оцениваются логарифмические константы. Рассмотрим типичный пример, когда вы хотите оценить числа:

Функция, основание которой равно 2, переводит x=1 в ноль. Рассмотрим некоторые степени числа 2:

x=2 (первая степень), при y=1

x=4 (вторая степень), где y=2

x=8 (третья степень), где y=3

Аргумент x=7 занимает место между x=4 и x=8.

Тогда значение, которое имеет функция y(7)=log27, может быть определено между 2 и 3.

Точно так же вы можете оценить аргумент x=3. Он расположен между х=2 и х=4. Тогда функция y(3)=log23 имеет значение, которое можно пометить между 1 и 2.

Запишем ответ:

2<>

1<>

Попробуем найти решения неравенства:

(лог530-лог210)х>0

Здесь, очевидно, необходимо вычислить логарифмические константы. Как и в предыдущем примере, начнем с первого логарифма, затем рассмотрим второй логарифм и все вместе:

2<3,>

3<4,>

В результате получается, что значение первого логарифма соответствует интервалу от 2 до 3. Второй логарифм лежит в интервале от 3 до 4. Таким образом, разница между этими логарифмами меньше нуля, либо имеет значение нуля. В предположении, что исходное неравенство выполнено, x должен быть <0, т е отрицательным.

Вы можете написать короткий ответ, например (-∞;0).

Области определения основных элементарных функций

Объем функции является неотъемлемой частью самой функции. Когда мы вводим функцию, мы сразу же указываем ее область действия.

На уроках алгебры мы последовательно знакомимся с каждой функцией: прямой пропорциональности, линейной функцией, функцией у=х2 и другими. И изучаем области их определения как свойств.

Рассмотрим области определения основных элементарных функций.

Область определения постоянной функции

Постоянная функция задается формулой y = C, то есть f(x) = C, где C — действительное число. Его еще называют константой.

Смысл функции в том, что каждому значению аргумента соответствует значение функции, равное C. Следовательно, областью определения этой функции является множество всех действительных чисел R.

Например:

• Область определения постоянной функции y = -3 — это множество всех действительных чисел: D(y) = (−∞, +∞) или D(y) = R.
• Областью определения функции y = 3√9 является множество R.

Для тех, кто учится в 7 классе, вышеизложенного материала достаточно для подготовки к тесту. Но старшеклассникам нужно немного глубже разобраться в теме — поэтому продолжаем.

Еще больше наглядных примеров и практики — на курсах математики в онлайн-школе Skysmart!

Область определения функции с корнем

Функцию с корнем можно определить следующим образом: y = n√x, где n — натуральное число, большее единицы.

Рассмотрим два варианта этой функции.

Домен корня зависит от четности или нечетности показателя:

• Если n — четное число, то есть n = 2m, где m ∈ N, то область определения — это множество всех неотрицательных действительных чисел:
  
• Если показатель степени корня — нечетное число больше единицы, то есть n = 2m + 1, а m принадлежит N, то областью определения корня является множество всех действительных чисел:
  

Следовательно, областью определения каждой из функций y = √x, y = 4√x, y = 6√x,. является числовая величина 0, +∞). А областью определения функций y = 3√x, y = 5√x, y = 7√x,. является множество (−∞, +∞).

Пример

Найдите диапазон функции:

Как мы решаем:

Корневое выражение должно быть неотрицательным, но поскольку оно стоит в знаменателе, оно не может быть равно нулю. Поэтому для нахождения области определения необходимо решить неравенство x2 + 4x + 3 > 0.

Для этого решаем квадратное уравнение x2+4x+3=0. Находим дискриминант:

Д = 16 — 12 = 4 > 0

Дискриминатор положительный. В поисках корней

Итак, парабола f(x) = x2 + 4x + 3 пересекает ось x в двух точках. Одна часть параболы расположена ниже оси (неравенство x2 + 4x + 3 < 0), а другая часть — выше оси (неравенство x2 + 4x + 3 > 0).

Так как коэффициент а = 1 > 0, то ветви параболы смотрят вверх. Можно заключить, что на интервалах (−∞, -3) ∪ (−1, +∞) выполняется неравенство x2 + 4x + 3 > 0 (ветви параболы уходят в бесконечность), а вершина парабола расположена на отрезке (-3; -1) под осью x, что соответствует неравенству x2 + 4x + 3 < 0.

Ответ: область определения: D(f) = (−∞, -3) ∪ (−1, +∞).

Если знаменатель функции является выражением, которое зависит от x, мы должны исключить точки, которые делают знаменатель равным нулю, чтобы найти область определения этой функции.

Область определения степенной функции

Степенная функция выглядит так: y = xa, то есть f(x) = xa, где x — переменная в основании степени, a — число в показателе степени.

Область определения степенной функции зависит от значения показателя степени.

Перечислим возможные случаи:

• Если a — натуральное число, областью определения функции является множество действительных чисел: (−∞, +∞).
• Для нецелых вещественных положительных показателей: D(f) = 0, +∞).
• Если a — отрицательное целое число, областью определения функции является множество (−∞, 0) ∪ (0, +∞).
• Для других вещественных отрицательных a областью определения степенной функции является числовой интервал (0, +∞).

При а = 0 степенная функция у = ха определена для всех действительных значений х, кроме х = 0. Это связано с тем, что мы не определили 00. И любое число, отличное от нуля, к нулю мощность равна единице. То есть при a = 0 функция имеет вид y = x0 = 1 в области определения (−∞, 0) ∪ (0, +∞).

Давайте рассмотрим несколько примеров.

1. Областью определения функций y = x5, y = x12 является величина R, так как показатели степени — натуральные числа.
2. Характеристики мощности
   определены на отрезке 0, +∞), так как их показатели положительные, но не целые.
3. Областью определения функции y = x−2, как и функции y = x−5, является множество (−∞, 0) ∪ (0, +∞), поскольку показатели степени — целые отрицательные числа.
4. Область со степенными функциями y = x-√19, y = x-3e,
   — открытый числовой луч (0, +∞), так как их показатели нецелые и отрицательные.

Область определения показательной функции

Показательная функция может быть определена с помощью формулы y = ax, где переменная x является показателем степени, больше нуля и не равна единице.

Областью определения экспоненциальной функции является величина R.

Примеры экспоненциальных функций:

• 
• у = бывший
• у = (√15) х
• у=13х.

Область определения каждого из них равна (−∞, +∞).

Область определения логарифмической функции

Логарифмическая функция выглядит так: y = logax, где число a > 0 и a ≠ 1. Она определена на множестве всех положительных действительных чисел.

Область определения логарифмической функции или область определения логарифма — это множество всех положительных действительных чисел. То есть D(loga) = (0, +∞).
Например:

• D (ln) = (0, +∞) и D (lg) = (0, +∞).

Рассмотрим примеры логарифмических функций:

• 
• у=log7x
• у = lnx

Областью определения этих функций является множество (0, +∞).

Пример

Укажите, какова область действия функции:

Как мы решаем:

Создадим и решим систему:

Графическое решение:

Ответ: область определения: D(f) = (−3, -2) ∪ (−2, +∞).

Область определения тригонометрических функций

Во-первых, давайте вспомним, как определять тригонометрические функции и как видеть их области значений.

• Функция, заданная формулой y = sinx, называется синусом, обозначается sin и определяется на множестве всех действительных чисел. Область определения синуса — это множество всех действительных чисел, т е. D(sin) = R.
• Функция, заданная формулой y = cosx, называется косинусом, обозначается cos и определяется на множестве R. Областью определения функции косинуса является множество всех действительных чисел: D(cos) = R.
• Функции, заданные формулами y = tgx и y = ctgx, называются тангенсами и котангенсами и обозначаются tg и ctg. Область определения тангенса — это множество всех действительных чисел, кроме чисел
  . Область определения котангенса — это множество всех действительных чисел, кроме чисел πk, k ∈ Z.

Следовательно, если x является аргументом функций тангенса и котангенса, то области определения тангенса и котангенса состоят из всех чисел x таких, что
и x ∈ r, x ≠ πk, k ∈ Z соответственно.

Пример

Найдите область определения функции f(x) = tg2x.

Как мы решаем:

Поскольку a(x) = 2x, следующие точки не будут включены в область определения:

Перенесем 2 с левой стороны в знаменатель с правой стороны:

Как результат . Покажем это графически:

Область определения обратных тригонометрических функций

Вспомните обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс.

• Функция, заданная формулой y = arcsinx и вычисляемая на интервале [−1, 1], называется arcsin и обозначается arcsin.
  Областью определения арксинуса является множество [−1, 1], то есть D(arcsin) = [−1, 1].
• Функция, заданная формулой y = arccosx и рассматриваемая на отрезке [−1, 1], называется арккосинусом и обозначается arccos.
  Областью определения функции арккосинуса является отрезок [−1, 1], то есть D(arccos) = [−1, 1].
• Функции, заданные формулами вида y = arctgx и y = arcctgx и рассматриваемые на множестве всех действительных чисел, называются арктангенсами и арккотангенсами и обозначаются arctg и arcctg.
  Областью определения арктангенса и арккотангенса является все множество действительных чисел R. То есть D(arctg) = R и D(arcctg) = R.

Таблица областей определения функций

Области определения основных функций в табличной форме можно распечатать и использовать в классе для более быстрого решения задач.

И помните: чем чаще вы будете практиковаться в решении задач, тем быстрее вы все запомните.

Функция	Функциональный объем
Постоянный у = С	Р
Корень у = п√х	</a>0; +∞) если n четно; (-∞; +∞), если n нечетно.
Власть у=ха	(-∞; +∞), если a > 0, a ∈ Z; </a>0; +∞), если a > 0, a ∈ R, a ∉ Z; (-∞; 0) ∪ (0; +∞), если a < 0, a ∈ Z; <p>(0; +∞), если a ∈ R, a ≠ Z; (-∞; 0) ∪ (0, +∞), если a = 0.
Демонстрация у = топор	Р
Логарифмический у = lognx	<p>(0; +∞)
Тригонометрический у = грех (х) у = потому что (х) у = тг (х) у = ctg (х)	Р Р x ∈ R, x ≠ π/2 + πk, k ∈ Z x ∈ R, x ≠ πk, k ∈ Z
Обратный тригонометрический у = арксинус (х) у = arccos (х) у = арктангенс (х) у = дуга (х)	[-1; 1] [-1; 1] Р Р

Примеры решения простейших уравнений и неравенств

Задание 1

Даны несколько логарифмических функций, среди них необходимо найти убывающие функции:

у=логпх+2

у=log0.5×3

у=log2-1x

Решение

Воспользуемся свойствами логарифмической функции. Известно, что функция убывает по основанию а, что соответствует следующему условию:

0<>

Функция увеличится, если:

а>1

Рассмотрим первую функцию y=logπx+2. Эта функция будет возрастать строго потому, что:

а=π≈3,14>1

Вторая функция y=log0.5×3 уменьшается, потому что:

а=0,5<1

Следующая функция y=log2-1x уменьшается, потому что:

а=2-1≈1,4-1=0,4<1

Ответ: вторая и третья функции убывают.

Задача 2

Учитывая функцию:

у=log0.70.1x-5

Необходимо определить, является ли эта функция возрастающей или убывающей на графике, а также вычислить область ее определения.

Решение

Обратите внимание, что логарифм имеет основание 0<1.>

0,1 х — 5 > 0

х > 50

Ответ: область определения (50;+∞).

Задача 3

Нам нужно построить следующую функцию:

у=log2х+2–3

Решение

В первую очередь необходимо определить значения точек для y=log2. Затем смещаем начало координат на 3 отрезка по шкале OY в нижнем направлении и сдвигаем на пару делений влево по оси OX. Мы получаем:

Легко проверить правильность графика. Достаточно перенести данные в таблицу и сравнить появившиеся значения с изображением:

Обратите внимание на фактическое совпадение координат, записанных в таблице, и точек, отмеченных на графике. Можно сделать вывод, что перенос по осям выполнен правильно.