Как найти периметр треугольника формула нахождения

Определение

Периметр – это сумма длин всех сторон многоугольника. Периметр обозначается прописной латинской буквой Р. Под Р удобно писать название фигуры маленькими буквами, чтобы не запутаться в задачах и процессе решения.

Важно, чтобы все значения были даны в одной единице длины, иначе мы не сможем вычислить результат. Поэтому для правильного решения необходимо привести все данные к единице измерения.

Общие единицы измерения окружности:

• миллиметры (мм);
• сантиметры (см);
• дециметр (дм);
• метров (м);
• километры (км).

Читайте также: Числа Фибоначчи: что, как и почему

Как узнать периметр треугольника

Рассмотрим, какие формулы существуют и при каких известных исходных данных их можно использовать.

1. Если известны три стороны, то периметр треугольника равен сумме их длин.

   Этот метод обычно проходит во втором классе.

   P = a + b + c, где a, b, c — длина стороны.

   

2. Если известны площадь и радиус вписанной окружности:

   P = 2S/r, где S — площадь, r — радиус вписанной окружности.

   

3. Если известна одна сторона равностороннего треугольника:

   P = 3a, где a — длина стороны.

   Все стороны равносторонней фигуры равны.

   

4. Если сторона и основание известны в равнобедренном треугольнике:

   P = 2a + b, где a — сторона, b — основание.

   Стороны равнобедренного треугольника равны.

   

5. Если известны сторона и высота равнобедренного треугольника:

   , где а — сторона, h — высота, проведенная к основанию.

   Высота — это перпендикуляр из вершины треугольника к противоположной стороне. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой, то есть делит сторону пополам.

   

6. Если стороны прямоугольного треугольника известны:

   , где a, b — ноги.

   Катет – это одна из двух сторон, образующих прямой угол.

   

7. Если в прямоугольном треугольнике известны катет и гипотенуза:

   , где а — любой катет, с — гипотенуза.

   Гипотенуза — это сторона, противоположная прямому углу.

   

1) По трем сторонам

где а,b,с — стороны треугольника.

2) По площади и радиусу вписанной окружности

где S — площадь треугольника, r — радиус вписанной окружности.

3) По двум сторонам и углу между ними

где b,c — стороны треугольника, α° — угол между ними.

4) По стороне равностороннего треугольника

где а — сторона равностороннего треугольника.

5) По боковой стороне и основанию равнобедренного треугольника

где а — сторона, а b — основание равнобедренного треугольника.

6) По боковой стороне и высоте равнобедренного треугольника

где а — сторона, а h — высота равнобедренного треугольника.

7) По катетам прямоугольного треугольника

где а, b — катеты прямоугольного треугольника.

8) По одному катету и гипотенузе прямоугольного треугольника.

где а катет, а с гипотенуза прямоугольного треугольника.

Формула нахождения периметра

Из определения следует, что периметр геометрической фигуры равен сумме длин всех сторон, и треугольник не является исключением. Общая формула такова: P = a + b + c.Периметр обозначим как R a, b и c — стороны треугольника. Давайте решим задачу №1.

Задание 1

Получим треугольник со сторонами 13 см, 15 см, 12 см. Нам нужно найти периметр этого треугольника.

Решение: P=13+15+12=40 см

Ответ: 40 см.

Периметр разностороннего треугольника

В последнем упражнении мы только что нашли периметр разностороннего треугольника. Решим аналогичную задачу №2

Задача 2

Дан треугольник со сторонами 25 дм, 30 дм, 15 дм. Найдите периметр треугольника. Выразите ответ в метрах.

Решение:

Р = 30 + 25 + 15 = 70 дм

70 : 10 = 7 м

Ответ: 7 м.

Периметр равнобедренного треугольника

Так как у треугольника ir/b 2 стороны равны (боковые), то формулу нахождения можно представить в виде: P = 2a + b.Решим 2 задачи.

Задание 3 — 4

Равнобедренный треугольник АВС задан биссектрисой, проведенной к основанию и равной 4 см, а также со стороны
со стороной равной 5 см Найдите периметр этого треугольника.

Решение:

Поскольку BH — биссектриса прямоугольного треугольника ABC, она является и высотой, и медианой. Следовательно, ΔABH прямоугольная и AH = HC.

В ΔABH по теореме Пифагора AH^{2}=AB^{2}-BH^{2}=25-16=9см

AN = NS = √9 = 3 см

АС = АН + НС = 3 + 3 = 6 см

Р=6+2*5=16см

Ответ: 16 см.

class=»wp-block-separator has-text-color has-background has-pale-cyan-blue-background-color has-pale-cyan-blue-color»>

В треугольнике DSV DS = CB = 15 см, высота SK = 9 см. Найдите периметр этого треугольника.

Решение:

В ΔСКД по теореме Пифагора:

text { DC² }=text { DC }^{2}-mathrm{CK}^{2}=225-81=144см

ДК = √144 = 12 см.

Так как СК — высота треугольника ir/w, проведенная к основанию, то она является медианой, следовательно, ДВ = ДК + КВ = 12 + 12 = 24 см.

R = DC + SW + DW = 15 + 15 + 24 = 54 см.

Ответ: 54 см.

Периметр равностороннего треугольника

И это один из самых «хороших» треугольников, его тоже правильно называют, так как все стороны и углы равны между собой. Формула нахождения длины окружности будет выглядеть так: P = 3a.

Упражнение 5-6

Дан равносторонний треугольник со стороной а = 13. Найдите периметр этого треугольника.

Решение:

Р = 3а = 3 * 13 = 39

Ответ: 39.

В равностороннем треугольнике АВС стороны: АВ = АС = СВ = 15 см. Найдите периметр этого треугольника.

Решение:

Р = 3АВ = 15*3 = 45 см.

Ответ: 45 см.

Периметр прямоугольного треугольника

Вычисляем по стандартной формуле: P = a + b + c.Но у этого типа треугольника есть большое преимущество — применение теоремы Пифагора.

Упражнение 7–8

Дан прямоугольный треугольник с катетами a = 6 и b = 8. Найдите периметр.

Решение:

По теореме Пифагора: c^{2}=v^{2}+a^{2}=64+36=100

с = √100 = 10

Р = а + b + с = 6 + 8 + 10 = 24

Ответ: 24.

В прямоугольном треугольнике ABC [angle mathrm{A}=90^{circ}, mathrm{AB}=9 mathrm{~cm}, mathrm{AC} = 12cm]. Найдите периметр и площадь АВС.

Решение

Согласно теореме Пифагора в ΔABC:

[mathrm{CB}^{2}=mathrm{AC}^{2}+A mathrm{C}^{2}=144+81=225 mathrm{~cm}]

СВ = √225 = 15 см

S = (AC * AB) : 2 = (9 * 12) : 2 = 54 см

Р=15+9+12=36см

Ответ: 36 см; 54 см

Примеры задач

упражнение 1
Найдите периметр треугольника, если его стороны равны: 3, 4 и 5 см.

Решение:
Заменим в формуле известные по условиям задачи величины и получим:
Р=3см+4см+5см=12см.

Задача 2
Найдите периметр равнобедренного треугольника, если его основание 10 см, а сторона 8 см.

Решение:
Как известно, стороны равнобедренного треугольника равны, поэтому:
Р = 10 см + 2 ⋅ 8 см = 26 см.