Как найти площадь квадрата, формула

Основные свойства квадрата

Квадрат также может быть параллелограммом, ромбом или прямоугольником, если они имеют одинаковую длину диагоналей, сторон и одинаковые углы. Все четыре стороны квадрата имеют одинаковую длину, то есть равны:

АВ=ВС=CD=ОБЪЯВЛЕНИЕ

2. Противоположные стороны квадрата параллельны:

AB||CD, BC||AD

3. Все четыре угла квадрата прямые:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

4. Сумма углов квадрата равна 360 градусов:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

5. Диагонали квадрата имеют одинаковую длину:

АС=БД

6. Каждая диагональ в квадрате делит квадрат на две одинаково симметричные фигуры7. Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам:

AC┴BD		АО=БО=СО=ДО =	д
2

8. Точка пересечения диагоналей называется центром квадрата, а также центром вписанной и описанной окружностей9. Каждая диагональ делит угол квадрата пополам, то есть они являются биссектрисами углов квадрата:

∆ABC = ∆ADC = ∆BAD = ∆BCD
∠ACB = ∠ACD = ∠BDC = ∠BDA = ∠CAB = ∠CAD = ∠DBC = ∠DBA = 45°

10. Обе диагонали делят квадрат на четыре равных треугольника, причем эти треугольники и равнобедренные, и прямоугольные:

∆AOB = ∆BOC = ∆COD = ∆DOA

Площадь квадрата. Определение

Определение 1. Площадью квадрата называется величина части плоскости, занимаемой квадратом.

Читайте также: Формула Герона для нахождения площади треугольника: определение, примеры

Единицы измерения площади квадрата

В качестве единицы измерения площадей используется квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков. За единицу измерения площади принимают квадраты со сторонами 1 мм, 1 см, 1 дм, 1 м и т д. (рис. 1). Такие квадраты соответственно называются квадратным миллиметром, квадратным сантиметром, квадратным дециметром, квадратным метром и так далее. Их обозначают соответственно мм2, см2, дм2, м2 и так далее.

Рисунок 1

Если выбрана единица измерения, то площадь измеряемого объекта (квадрата, треугольника, прямоугольника, многоугольника и т д.) определяется положительным числом, определяющим, сколько раз единица измерения и ее части вписываются в этот объект.

Для измерения отдельных плоских фигур используются специальные формулы. В этой статье мы выведем формулу для расчета площади квадрата.

Площадь квадрата. Доказательство

Теорема 1. Площадь S квадрата со стороной а равна
.

Доказательство. Пусть n — целое неотрицательное число, и пусть
. Рассмотрим квадрат со стороной 1 (рис. 2). Разделим этот квадрат по вертикали и горизонтали на равные части. Немного
маленькие квадраты со сторонами
. Так как площадь большого квадрата равна 1 (потому что это единица измерения), то очевидно, что площадь маленького квадрата равна:

и с тех пор
, то имеем:

.

(1)

Теперь пусть a будет конечной десятичной дробью, содержащей n знаков после запятой. (Если n=0, a будет целым числом). Тогда а можно представить в виде правильной дроби, умножив и разделив на
:

,

где

,

(2)

где m — целое число.

Возьмите квадрат со стороной а и разделите его по горизонтали и вертикали на равные части. Получаем m2 квадратиков (рис.3).

Тогда, учитывая (2), сторона каждого квадрата равна:

Согласно формуле (1) площадь маленького квадрата равна:

Следовательно, площадь квадрата со стороной а равна:

(3)

Продолжим, число а — бесконечная десятичная дробь. Рассмотрим число an, полученное из a отбрасыванием всех знаков после запятой, начиная с (n + 1). Так как а отличается от а не более чем
, то имеем:

,

где

.

(4)

Из неравенства (4) следует, что площадь S квадрата со стороной а лежит между площадью квадрата со стороной а и площадью квадрата со стороной
(рис.4), т.е.

.

(5)

При неограниченном увеличении числа n число
будет сколь угодно малым, и, следовательно, число
будет сколь угодно мало отличаться от
. Тогда из неравенства (5) следует, что число S будет мало отличаться от числа
. Следовательно, они равны, т.е.
.

Формула вычисления площади

1. По длине стороны:

Площадь квадрата (S) равна квадрату длины стороны:

S = а2

Эта формула следует из того, что квадрат является частным случаем прямоугольника, площадь которого находится путем умножения смежных сторон:

S = а*б

А так как все стороны квадрата равны, то вместо стороны b снова подставляем в формулу сторону ai, т.е. S = a*a = a2.

2. По длине диагонали

Площадь квадрата равна половине квадрата длины диагонали:

S = d2/2

Отношение стороны к диагонали квадрата: d=a√2.

Формула нахождения площади квадрата

Квадрат — это форма, которая является частным случаем прямоугольника, поэтому можно увидеть сходство некоторых алгоритмов. Метод расчета всегда зависит от исходных данных. Чтобы узнать площадь квадрата, нужно знать специальные формулы, рассмотрим пять из них.

 

Если известна длина стороны

Умножаем на это же число или возводим в квадрат.

S = a × a = a2, где S — площадь, а — сторона.

Эта формула была пройдена в 3-м классе. Остальные формулы знать пока не нужно третьеклассникам, а вот восьмиклассникам они пригодятся.

Если нам дана диагональ

Возводим в квадрат и делим на два.

S = d2 : 2, где d — диагональ.

Если известен радиус вписанной окружности

Умножаем квадрат на четыре.

S = 4 × r2, где r — радиус вписанной окружности.

Если у нас есть радиус описанной окружности

Возведем в квадрат и умножим на два.

S = 2 × R2, где R — радиус описанной окружности.

У нас есть курсы по математике для школьников с 1 по 11 класс — запишитесь прямо сейчас!

Площадь квадрата через диаметр вписаной окружности.

С=Д2

Где: D — диаметр вписанной окружности.

Площадь квадрата через диаметр описаной окружности.

С=D22

Где: D — диаметр описанной окружности.

Площадь квадрата через периметр описаной окружности.

S = (P / π)22

Где: P — длина описанной окружности, π — 3,14.

Площадь квадрата через площадь описанного круга.

S = Sπ 2

Где: S – площадь описанной окружности, π – 3,14.

Если есть периметр

Нам нужно возвести это в квадрат и разделить на 16.

S = P2 : 16, где P — длина окружности.

Периметр любого квадрата равен сумме длин всех его сторон.

Площадь квадрата через отрезок, проведенный из вершины квадрата к середине противоположной стороны

Формула площади квадрата через отрезок, проведенный от вершины квадрата до середины противоположной стороны:

S = frac{4 cdot k^2}{5}, где

S — площадь квадрата,

k — отрезок, проведенный от вершины квадрата к центру противоположной стороны.

S квадрата. Решение задач

Мы разобрали пять формул вычисления площади квадрата. Теперь давайте практиковаться!

Упражнение 1. Как найти площадь квадрата, диагональ которого равна 90 мм.

Как мы решаем:

1. Воспользуемся формулой: S = d2 : 2.
2. Подставим значение диагонали в формулу: S = 902: 2 = 4050 мм2.

Ответ: 4050 мм2.

Упражнение 2. В квадрат вписана окружность. Найдите площадь квадрата, если радиус окружности равен 24 см.

Как мы решаем:

1. Если в квадрат вписана окружность, то сторона квадрата равна диаметру:
   а = г
2. Диаметр окружности равен двум радиусам:
   д = 2г
3. Получается, что сторона равна двум радиусам:
   а = 2г
4. Воспользуемся формулой, чтобы найти площадь квадрата в виде стороны:
   S = а2
5. Так как из пункта 3 мы узнали, что сторона равна двум радиусам, то формула площади квадрата будет иметь вид:
   S = (2r)2
   S = 4r2
6. Теперь подставим значение радиуса в формулу площади:
   S = 4 × 242 = 2304 см2

Ответ: 2304 см2.

Примеры задач

упражнение 1
Найдите площадь квадрата, сторона которого равна 7 см.

Решение:
Используем формулу длины стороны, т.е. S = 72 = 49 см2.

Задача 2
Найдите площадь квадрата, диагональ которого равна 4 см.

Решение 1:
Воспользуемся второй формулой (по диагонали): S = 42/2 = 8 см2.

Решение 2:
Мы можем выразить длину стороны через диагональ: a = 4/√2. И тогда по первой формуле S = (4/√2)2 = 8 см2.