Как найти площадь поверхности правильной пирамиды: боковой, полной, основания

Что представляет собой пирамида?

Ответ на этот вопрос не так очевиден, как многие могут подумать. Когда люди слышат слово «пирамида», в их воображении возникает огромное каменное сооружение египетских фараонов. Однако это лишь частный случай фигур этого класса.

С точки зрения точной науки геометрии пирамида — это фигура в пространстве, образованная n-угольником, каждый из углов которого соединен с одной точкой. Эта точка не должна находиться в плоскости n-угольника. Здесь n — целое число, равное количеству вершин (сторон) плоского многоугольника. Для наглядного представления описываемого рисунка приведем фотографию.

Вот набор различных пирамид. Верхний левый называется треугольным, потому что основание представляет собой треугольник. Нижняя правая пирамида называется восьмиугольником.

Это изображение позволяет нам сделать некоторые выводы относительно пирамид. Во-первых, стороны, соединяющие n-угольник с вершиной фигуры, являются треугольниками. Во-вторых, количество сторон любой пирамиды равно n + 1 (n-угольник и n треугольников), n-угольник называется основанием, а треугольники — сторонами. В-третьих, видно, что увеличение сторон основания приближает пирамиду по форме к конусу. Этот факт позволяет рассматривать конус как пирамиду с бесконечным числом сторон.

Читайте также: Перевод Периодической Дроби в Обыкновенную

Объём и площадь поверхности пирамиды

Формула. Объем пирамиды через площадь основания и высоту:

В =	1	СочХ
3

Определение. Боковая поверхность пирамиды – это сумма всех боковых поверхностей пирамиды. Определение. Общая площадь поверхности пирамиды равна сумме площадей боковой поверхности и площади основания пирамиды. Формула. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды через окружность основания и апофему:

Сб =	1	кандидат наук
2

Для определения площади основания пирамиды см формулы площади плоских фигур Для определения площади основания правильной пирамиды см формулы площади правильных многоугольников

Свойства пирамиды

Если все боковые ребра равны, то вокруг основания пирамиды можно описать окружность, причем центр основания совпадает с центром окружности. Также перпендикуляр, падающий сверху, проходит через центр основания (окружности). Если все боковые ребра равны, то они наклонены к плоскости основания под одинаковыми углами. Боковые грани равны, если они образуют равные углы с плоскостью основания или если можно описать окружность вокруг основания пирамиды Если боковые грани наклонены к плоскости основания под углом, то в основание можно вписать окружность пирамиды, а вершина пирамиды проецируется в середину.Если боковые поверхности наклонены к плоскости основания под одним углом, то апофемы боковых поверхностей равны.

Свойства правильной пирамиды

1. Вершина пирамиды равноудалена от всех углов основания.2. Все боковые ребра равны.3. Все боковые ребра наклонены под одинаковым углом к ​​основанию.4. Апотемы всех боковых поверхностей равны.5. Площади всех боковых поверхностей равны.6. Все грани имеют одинаковые двугранные (плоские) углы.7. Вокруг пирамиды можно описать сферу. Центром описываемой сферы будет точка пересечения перпендикуляров, проходящих через середины ребер.8. Сферу можно вписать в пирамиду. Центром вписанной сферы будет пересечение биссектрис, исходящих из угла между краем и основанием.9. Если центр вписанной сферы совпадает с центром описанной сферы, то сумма плоских углов при вершине равна π, или, наоборот, угол равен π/n, где n — число углов при основании пирамида.

Связь пирамиды со сферой

Вокруг пирамиды можно описать сферу, когда в основании пирамиды лежит многогранник, вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие). Центром сферы будет пересечение плоскостей, проходящих перпендикулярно через середины боковых ребер пирамиды.
Вокруг любой треугольной или правильной пирамиды всегда можно описать сферу.
Сферу можно вписать в пирамиду, если биссектрисы внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.

Связь пирамиды с конусом

Конус называется вписанным в пирамиду, если его вершины совпадают, а основание конуса вписано в основание пирамиды. Конус можно вписать в пирамиду, если апофемы пирамиды равны друг другу. Вокруг пирамиды описан конус, если их углы совпадают, а основание конуса описано вокруг основания пирамиды.Конус можно описать вокруг пирамиды, если все боковые ребра пирамиды равны между собой.

Связь пирамиды с цилиндром

Пирамида называется вписанной в цилиндр, если вершина пирамиды лежит на одном основании цилиндра, а основание пирамиды вписано в другое основание цилиндра. Цилиндр можно описать вокруг пирамиды, если вокруг основания пирамиды можно описать окружность.

Определение: Усеченная пирамида (пирамидальная призма) – это многогранник, который расположен между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной основанию. Таким образом, пирамида имеет большое основание и меньшее основание, подобное большему. Боковые грани — трапеции.
Определение Треугольная пирамида (тетраэдр) – это пирамида, у которой три грани и основание представляют собой произвольные треугольники. Тетраэдр имеет четыре грани, четыре вершины и шесть ребер, причем два ребра не имеют общих вершин, но не касаются друг друга. Каждая вершина состоит из трех граней и ребер, образующих трехгранный угол. Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центром противоположной грани, называется медианой тетраэдра (GM) Бимедиана – это отрезок, соединяющий середины противоположных ребер, не соприкасающихся (KL) Все бимедианы и медианы тетраэдра пересекаются в одной точке (S). В этом случае бимедианы делятся пополам, а медианы в соотношении 3:1 сверху.
Определение Наклонная пирамида — это пирамида, одна из граней которой образует тупой угол (β) с основанием.
Определение Прямоугольной пирамидой называется пирамида, у которой одна из боковых граней перпендикулярна основанию. Определение Остроугольной пирамидой называется пирамида, у которой апофема составляет более половины длины стороны основания. Определение.

Тупой пирамидой называется пирамида, у которой апофема меньше половины длины стороны основания Определение Правильный тетраэдр — это тетраэдр, все четыре грани которого представляют собой равносторонние треугольники. Это один из пяти правильных многоугольников. В правильном тетраэдре все двугранные углы (между гранями) и трехгранные углы (при вершине) равны.

Определение Прямоугольный тетраэдр — это тетраэдр с прямым углом между тремя ребрами в вершине (ребра перпендикулярны). Три грани образуют прямоугольный трехгранный угол, причем грани — прямоугольные треугольники, а основание — произвольный треугольник. Апофема любой грани равна половине стороны основания, на которое падает апофема. Определение Равногранным тетраэдром называется тетраэдр, боковые грани которого равны между собой, а основание представляет собой правильный треугольник. В таком тетраэдре грани равнобедренные треугольники Определение Ортоцентрическим тетраэдром называется тетраэдр, у которого все высоты (перпендикуляры), опущенные от вершины к противоположной грани, пересекаются в одной точке Определение Звездчатой ​​пирамидой называется многогранник, основание которого равно звезда.
Определение Бипирамида – это многогранник, состоящий из двух различных пирамид (пирамиды также могут быть отсечены), имеющих общее основание, а вершины находятся по разные стороны от плоскости основания.

Формула площади правильной пирамиды

1. Общая формула

Площадь (S) всей поверхности пирамиды равна сумме площадей боковой поверхности и основания.

Полный = Страница. + Соч.

Боковая поверхность правильной пирамиды представляет собой равнобедренный треугольник.

Площадь треугольника вычисляется по формулам:

1. По длине основания (а) и высоте (h):

2. Через основание (а) и сторону (б):

Формула площади основания правильной пирамиды зависит от вида многогранника. Далее мы рассмотрим самые популярные варианты.

2. Площадь правильной треугольной пирамиды

Основание: равносторонний треугольник.

Квадрат	Формула
база
боковая поверхность
полный

L (апофема) — перпендикулярная линия, проведенная от вершины пирамиды к краю основания. Апофема пирамиды – это высота (h) боковой поверхности.

3. Площадь правильной четырехугольной пирамиды

Основание: квадрат.

Квадрат	Формула
база	Сосн. = a2″заказ данных=»Sосн. = a2″>Sбаза = а2
боковая поверхность	Страница = 2al»data-order=»Sбок. = 2aL»>Страница = 2aL
полный	Полный = a2 + 2aL» data-order=»Sполн. = a2 + 2aL»>Полный = a2 + 2aL

4. Площадь правильной шестиугольной пирамиды

Основание: правильный шестиугольник

	Формула
база
боковая поверхность	Страница = 3al»data-order=»Sбок. = 3aL»>Страница = 3aL
полный

Площадь усеченной пирамиды

Усеченная пирамида – это многогранник, образованный пирамидой и ее сечением, параллельным основанию.
Формула площади боковой поверхности усеченной пирамиды очень проста. Площадь равна произведению половины суммы периметров оснований и апофемы:

Рассмотрим пример вычисления площади боковой поверхности усеченной пирамиды.

Дана правильная квадратная пирамида. Длина основания b = 5 см, c = 3 см. Апофема а = 4 см. Найдите площадь боковой поверхности фигуры.
Сначала найдите периметр оснований. В большей базе это будет равно:
В меньшей базе:
Рассчитаем площадь:

Таким образом, используя простые формулы, мы нашли площадь усеченной пирамиды.

Боковая поверхность пирамиды через периметр и апофему

Боковая поверхность правильной пирамиды в этом случае определяется по формуле:

$S_b = frac12 cdot P cdot c$, где

$P$ — периметр основания пирамиды;

$c$ — это апофема пирамиды.

В этом случае периметр правильного многоугольника можно определить по формуле:

$P = a cdot n$, где

$a$ — длина стороны многоугольника;

$n$ — количество страниц.

Вычислим боковую поверхность через апофему и периметр на примере четырехугольной пирамиды.

Пример 2

Задача

Дана правильная пирамида с квадратом в основании, сторона которого равна $5$ см. Апофема пирамиды составляет $9$ см. Вычислите площадь боковой поверхности.

Решение:

Вычислите периметр основания. Для квадрата периметр равен стороне, умноженной на 4:

$P_{main} = 4 cdot a^2 = 20$ см

Теперь рассчитаем площадь боковой поверхности:

$S_b = frac12 cdot 20 cdot 9 = $90 кв.см.

Боковая поверхность пирамиды через высоту и сторону основания

Если даны высота и сторона основания правильной пирамиды, то площадь боковой поверхности рассчитывается по формуле:

$S_b = frac{n cdot a}{2} cdot sqrt{h^2 + (frac{a} {2 cdot mathrm{tg}(180 / n)})^2}$, Здесь

$n$ — количество базовых страниц;

$a$ — длина стороны основания;

$h$ — высота пирамиды.

Площадь основания любой пирамиды

Площадь основания любой пирамиды – это площадь основания.

Если в основании пирамиды находится треугольник, формулы нахождения площади любого треугольника вы можете посмотреть в статье «Площадь треугольника”.

В основании пирамиды может лежать любой прямоугольник, любой многоугольник. Обычно в школьных заданиях в основании пирамиды чаще треугольник, реже прямоугольник. Задач, где в основании пирамиды лежит пятиугольник, шестиугольник или произвольный многоугольник, практически не возникает. Хотя их можно увидеть и в олимпийских задачах.

Теперь решим несколько задач на нахождение площади основания пирамиды

Примеры решения задач

Задача 1

Дана правильная треугольная пирамида. Сторона основания пирамиды равна 2. Найдите площадь основания пирамиды.

Решение: пирамида правильная и треугольная, значит, основание равнобедренный треугольник. Тогда площадь основания пирамиды находится по формуле: Затем мы получаем страницу

Отвечать:

Задача 2

Строитель решил построить здание в виде правильной шестиугольной пирамиды, для основания пирамиды у него есть доски, каждая площадью 0,5 м2. Сколько досок ему понадобится, если сторона основания пирамиды равна 6 м?

Решение:

Вычислите площадь основания правильной шестиугольной пирамиды. Для этого используем формулу: Заменяем в ней значение страницы. Мы получаем:

м2.

Теперь посчитаем, сколько досок нам понадобится:

.

Ответ: 108 досок.

Задача 3

Основание пирамиды представляет собой прямоугольный равнобедренный треугольник, катет которого равен 4. Найдите площадь основания пирамиды.

Решение: Другими словами, нас просят определить площадь прямоугольного равнобедренного треугольника. Так как треугольник прямоугольный и равнобедренный, то одна сторона будет основанием треугольника, а другая высотой. Определяем площадь по формуле:.

Ответ: 8