Как найти площадь поверхности правильной призмы: боковой, полной, основания

Понятие призмы

Определение 1

Геометрическая фигура, образованная двумя равными $n-$угольниками, лежащими в параллельных плоскостях, вершины которых соединены друг с другом так, что соответствующая вершина первого $n-$угольника соединяется с соответствующей вершиной второго $n-$ угольник, называется призмой (рис. 1).

Рисунок 1. Призма

Параллельные $n-$угольники называются основанием призмы, соединяющие их параллелограммы — боковыми гранями, стороны параллелограммов — сторонами призмы, а вершины $n-$угольников — вершинами призмы призма.

Призма и её сечения

Вы уже знакомы с призмой. Несмотря на это, мы помним определение призмы и ее свойства.

Призма — это многогранник, две грани которого — равные n-угольники (основания), лежащие в параллельных плоскостях, а остальные n граней — параллелограммы (рис. 22).

В зависимости от того, перпендикулярны ли боковые грани призмы к основанию или нет, призмы делятся на прямые и косые. На рис. 23.а показана прямая призма, а на рис. 23.б — наклонная. Ясно, что боковые грани прямой призмы — прямоугольники.

Если основания прямой призмы являются правильными многоугольниками, она называется правильной (рис. 24). Боковые грани правильной призмы представляют собой равные друг другу прямоугольники.

Перпендикуляр, падающий из точки на одно основание на другое, называется его перпендикуляром (рис. 23.б).

Сечение призмы, проходящее через соответствующие диагонали оснований, называется диагональным сечением (рис. 24.а) и их число равно числу диагоналей одного из оснований.

Перпендикулярным сечением призмы называется сечение, перпендикулярное всем боковым ребрам (рис. 25), поскольку
число диагоналей выпуклого n-угольника, то число диагональных сечений n-угольной призмы также равно
.

В каждой диагональной части призмы можно провести две диагонали. Следовательно, n-угольная призма имеет
диагонали.

Пример:

В наклонной треугольной призме расстояния между боковыми гранями соответственно равны 7 см, 15 см и 20 см. Найти расстояние между большей боковой поверхностью и противоположным боковым ребром.

Решение:

Известно, что расстояние между параллельными прямыми равно длине перпендикуляра, падающего из произвольной точки одной прямой в другую. Затем длины сторон перпендикулярного сечения ABC (черт. 26). Наибольшая грань призмы проходит через наибольшую сторону АС = 20 см этого сечения. Расстояние от края призмы B2B1 до передней плоскости
равна высоте BD треугольника ABC.

Тогда по формуле Герона получаем:

,

.

На другой стороне,
.

Отсюда
или
см.

Ответ: 4,2 см.

Читайте также: Острый угол прямоугольного треугольника: синус, косинус, тангенс, котангенс

Параллелепипед и куб

Призму, основаниями которой являются параллелограммы, называют параллелепипедом (рис. 27). Параллелепипеды, как и призмы, могут быть прямыми (рис. 27.а) и наклонными (рис. 27.б).

Поверхности параллелепипеда, не имеющие общей вершины, называются противоположными поверхностями.

Для параллелепипеда:

• -12 ребер, каждые четыре из которых равны (рис. 28.а),
• -6 параллельных и равных попарно поверхностей (рис. 28.б),
• -4 диагонали, которые пересекаются и точка пересечения делится надвое (рис. 28.в),
• — пересечение диагоналей является центром его симметрии (рис. 28.в). Прямой параллелепипед имеет ось симметрии (рис. 28.г) и плоскость симметрии (рис. 28.д).

Прямоугольный параллелепипед, основаниями которого являются прямоугольники, называется прямоугольным параллелепипедом (рис. 29). Ясно, что все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники.

Прямоугольный параллелепипед имеет три оси симметрии (рис. 30) и три плоскости симметрии (рис. 31).

Длина трех ребер, выходящих из одной вершины прямоугольного параллелепипеда, называется его размерами.

Свойство: В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали d равен сумме квадратов его размеров: а, b и с (рис. 32):

.

Прямоугольный параллелепипед, у которого все измерения равны, называется кубом. Ясно, что все грани куба равные квадраты. Куб имеет один центр симметрии, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.

Свойства призмы перечислены выше. Некоторые из них были показаны в 10-м классе. Доказательства остальных свойств проще, поэтому их можно выполнить самостоятельно.

Виды призм

В зависимости от количества углов в основании призмы ее можно назвать треугольной, квадратной и т д. (рис. 2).

Фигура 2.

Английский для начинающих Не откладывайте свои мечты на потом – начните общение с опытным преподавателем Узнать больше

Обратите внимание, что параллелепипед — это частный случай квадратной призмы.

Определение 2

Призму, у которой все двугранные углы равны ${90}^0$, называют прямой призмой (рис. 3). В противном случае он наклонен.

Рисунок 3. Прямая призма

Определение 3

Прямая призма, основанная на правильных $n-$угольниках, называется правильной призмой (рис. 4).

Рисунок 4

Основные свойства призмы

Основания призмы равные многоугольники. Боковые грани призмы представляют собой параллелограммы. Боковые ребра призмы параллельны и равны друг другу. Перпендикулярный срез перпендикулярен всем боковым кромкам и боковым поверхностям. Высота прямой призмы равна длине бокового ребра, высота наклонной призмы всегда меньше длины ребра. В прямой призме грани могут быть прямоугольниками или квадратами.

Объём призмы

Формула. Объем призмы через основание и высоту:

В = СочХ

Формула. Объем наклонной призмы через площадь перпендикулярного сечения и длину бокового ребра:

В = СпЛ

Формула. Объем правильной прямой призмы по высоте (h), длине стороны (a) и количеству сторон (n):

В =	н	ha2ctg	π
4	н

Площади боковой и полной поверхности призмы

На рис. 33 показаны высоты призмы HH1DD1

ABCDE-A1B1C1D1E1. Очевидно, высоты правильной призмы будут равны боковому ребру.

Боковая поверхность призмы (точнее, площадь боковой поверхности) равна сумме площадей боковых граней, а полная поверхность равна сумме боковой поверхности и площадей ее две базы.

Теорема. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту:

Доказательство. Пусть высота этой прямой призмы будет
, а периметр основания
(рис. 34). Известно, что каждая сторона прямой призмы является прямоугольником. Основания прямоугольников равны соответствующим сторонам основания призмы, а высоты равны высоте призмы.

Затем

Теорема. Боковая поверхность произвольной призмы равна произведению периметра перпендикулярной части призмы на ее боковое ребро:

Доказательство. Пусть периметр перпендикулярной части призмы равен Р (рис. 35). Сечение делит призму на две части (рис. 36,а). Сделаем параллельный перенос одной из этих частей так, чтобы основания нашей призмы совпали. В результате у нас получится новая прямая призма (рис. 36.б). Ясно, что боковая поверхность этой призмы равна боковой поверхности этой. Основание представляет собой перпендикулярное сечение, а боковое ребро равно
.

Тогда по приведенной выше теореме:

Формулы вычисления объема и площади поверхности призмы:

Для наглядности формул введем обозначения:

$P_{base}$ — периметр основания;

$S_{base}$ — базовая площадь;

$S_{side}$ — площадь боковой поверхности;

$S_{pp}$ — общая площадь поверхности;

$h$ — высота призмы.

$S_{сторона}=P_{основная} ч$

$S_{pp}=S_{сторона}+2S_{основная}$

$V=S_{первичный} ч$

В основании призмы могут лежать разные многоугольники, рассмотрим площади некоторых из них.

В основании лежит треугольник.

1. $S={a h_a}/{2}$, где $h_a$ — высота, проведенная к стороне $a$
2. $S={a·b·sin⁡α}/{2}$, где $a,b$ — смежные стороны, $α$ — угол между этими смежными сторонами.
3. Формула Герона $S=√{p(pa)(pb)(pc)}$, где $p$ — полупериметр $p={a+b+c}/{2}$
4. $S=pr$, где $r$ — радиус вписанной окружности
5. $S={abc}/{4R}$, где $R$ — радиус описанной окружности
6. Для прямоугольного треугольника $S={ab}/{2}$, где $a$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника.

В основании лежит четырехугольник

1. Прямоугольник

$S=a·b$, где $a$ и $b$ — смежные стороны.

2. Ромб

$S={d_1 d_2}/{2}$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба

$S=a^2·sin⁡α$, где $a$ — длина стороны ромба, а $α$ — угол между соседними сторонами.

3. Трапеция

$S={(a+b)·h}/{2}$, где $a$ и $b$ — основания трапеции, $h$ — высота трапеции.

Прямая призма называется правильной, если ее основания — правильные многоугольники.

Формула площади правильной призмы

1. Общая формула

Площадь (S) полной поверхности призмы равна сумме площади боковой поверхности и двух площадей основания.

Полный = Страница. + 2Сбас.

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту.

Страница = Поз. ⋅ ч

Формула периметра и площади основания правильной призмы зависит от вида многогранника. Ниже мы рассмотрим самые популярные виды.

2. Площадь правильной треугольной призмы

Основание: равносторонний треугольник.

Квадрат	Формула
база
боковая поверхность	Страница = 3ah» data-order=»Sбок. = 3ah»>Страница = 3ah
полный

3. Площадь правильной четырехугольной призмы

Основание: квадрат.

Квадрат	Формула
база	Сосн. = a2″заказ данных=»Sосн. = a2″>Sбаза = а2
боковая поверхность	Страница = 4ah» data-order=»Sбок. = 4ah»> Страница = 4ah
полный	Полный = 2a2 + 4ah» data-order=»Sполн. = 2a2 + 4ah»>Полный = 2a2 + 4ah

Примечание: если высота правильной квадратной призмы равна длине стороны основания, то мы имеем дело с кубом, площадь катета которого равна а2. А так как все шесть граней куба равны, то общая площадь грани равна 6а2.

4. Площадь правильной шестиугольной призмы

Основание: правильный шестиугольник

Квадрат	Формула
база
боковая поверхность	Страница = 6ah» data-order=»Sбок. = 6ah»>Страница = 6ah
полный

Примеры задач

упражнение 1:
Сторона правильной треугольной призмы равна 6 см, а высота 8 см. Найдите площадь полной поверхности фигуры.

Решение:
Воспользуемся правильной формулой, подставив в нее известные значения:

Задача 2:
Общая площадь поверхности правильной шестиугольной призмы равна 400 см2. Найдите высоту, если сторона основания равна 5 см.

Решение:
Выведем выражение для нахождения высоты призмы из формулы ее полной площади:

Рассмотрим площади правильных многоугольников:

1. Для равностороннего треугольника $S={a^2√3}/{4}$, где $a$ — длина стороны.

2. Квадрат

$S=a^2$, где $a$ — сторона квадрата.

3. Правильный шестиугольник

Разделим шестиугольник на шесть правильных треугольников и найдем площадь как:

$S=6 S_{triangles}={6 a^2√3}/{4}={3 a^2√3}/{2}$, где $a$ — сторона правильного шестиугольника.

Пример:

Найдите площадь поверхности прямой призмы, основание которой представляет собой ромб с диагоналями $10$ и $24$, а боковое ребро равно $20$.

Решение:

Построим прямую призму, в основании которой ромб.

Запишем формулу полной площади поверхности:

$S_{pp}=S_{сторона}+2S_{основная}=P_{основная} ч+2S_{ромб}$

В прямой призме высота равна боковому ребру, поэтому $h=С_1С=20$

Чтобы найти периметр основания, нужно знать сторону ромба. Рассмотрим один из прямоугольных треугольников, полученный в результате пересечения диагоналей, и применим теорему Пифагора.

Диагонали пересечения делятся пополам, поэтому катеты прямоугольного треугольника равны $5$ и $12$.

$AB=√{5^2+12^2}=√{25+144}=√{169}=13$

$P=13 4=52$

Теперь находим площадь основания: площадь ромба равна половине произведения диагоналей.

$S_{базы}={d_1 d_2}/{2}={10 24}/{2}=120$

Затем подставляем все найденные величины в формулу общей площади поверхности и вычисляем ее:

$S_{pp}=P_{основной} h+2S_{ромб}=52 20+2 120=1040+240=1280$

Ответ: $1280$

Цилиндр – это та же призма, в основе которой лежит окружность.

$S_{сторона}=P_{основание} h=2πRh$

$S_{pp}=S_{сторона}+2S_{основная}=2πRh+2πR^2=2πR(h+R)$

$V=S_{основной} ч=πR^2 ч$

Аналогичные призмы: если все линейные размеры призмы увеличить в $k$ раз, то объем увеличится в $k^3$ раз.

Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

$MN$ — средняя линия, так как она соединяет середины соседних сторон.

$MN {//} AC, MN = {AC}/{2}$

Подобие треугольников

Два треугольника называются подобными, если их углы равны, а стороны одного треугольника больше равных сторон другого треугольника в определенное число раз.

Число $k$ — коэффициент подобия (показывает, во сколько раз стороны одного треугольника больше сторон другого треугольника.)

1. Периметры подобных треугольников и их линейные величины (медианы, биссектрисы, высоты) связаны друг с другом как коэффициент подобия $k$.
2. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Прямоугольный треугольник и его свойства:

В прямоугольном треугольнике катеты — это две стороны треугольника, образующие прямой угол. Сторона гипотенузы лежит против прямого угла.

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90$ градусам.
2. Катет прямоугольного треугольника, противолежащий углу в 30$ градусов, равен половине гипотенузы. (Эта нога называется маленькой ногой.)

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$AC^2+BC^2=AB^2$

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$

Для острого угла $B: AC$ — противолежащий катет; $ВС$ — соседняя ветвь.

Для острого угла $A: BC$ — противолежащий катет; $AC$ — соседняя нога.

1. Синус (sin) острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
2. Косинусом (cos) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
3. Тангенс (tg) острого угла прямоугольного треугольника – это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
4. Котангенс (ctg) острого угла прямоугольного треугольника — это отношение прилежащего катета к противолежащему.
5. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.
6. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.
7. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы различаются по знаку: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

$α$	$30$	$45$	$60$
$сина$	${1}/{2}$	${√2}/{2}$	${√3}/{2}$
$cosα$	${√3}/{2}$	${√2}/{2}$	${1}/{2}$
$тга$	${√3}/{3}$	$1$	$√3$
$ctga$	$√3$	$1$	${√3}/{3}$

Теорема синусов

В любом треугольнике стороны связаны как синусы с противолежащими углами:

${a}/{sinα}={b}/{sinβ}={c}/{sinγ}=2R$, где $R$ — радиус окружности, описанной вокруг треугольника.

Теорема косинусов

Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

$a^2=b^2+c^2-2 bc cosα;$

$b^2=a^2+c^2-2 переменного тока cos⁡β;$

$c^2=b^2+a^2-2 ba cosγ.$