Как найти площадь поверхности шарового слоя (среза шара): формулы

Вычисления

Шар, сфера и их части

Введем следующие определения, относящиеся к шару, сфере и их частям.

Определение 1. Сферой с центром в точке O и радиусом r называется множество точек, расстояние до точки O которых равно r (рис. 1).

Определение 2. Сферой с центром в точке O и радиусом r называется множество точек, расстояние от которых до точки O не превышает r (рис. 1).

бильярдный шар
бильярдный шар

Рисунок 1

Таким образом, сфера с центром в точке O и радиусом r является поверхностью сферы с центром в точке O и радиусом r.

Примечание: Радиус сферы (радиус сферы) — это отрезок, соединяющий любую точку на сфере с центром сферы. Длину этого отрезка также часто называют радиусом сферы (радиусом сферы).

Определение 3. Сферический пояс (сферический пояс) – это часть сферы, заключенная между двумя параллельными плоскостями параллельных плоскостей (рис. 2).

Определение 4. Сферический слой – это часть сферы, заключенная между двумя параллельными плоскостями параллельных плоскостей (рис. 2).

сферический ремень шаровой ремень
сферический ремень шаровой ремень
сферический ремень шаровой ремень

Рис.2

Окружности, ограничивающие сферический пояс, называются основаниями сферического пояса.

Расстояние между плоскостями Расстояние между плоскостями оснований сферического пояса называется высотой сферического пояса.

Из определений 3 и 4 следует, что сферический слой ограничен сферическим поясом и двумя окружностями, плоскости которых параллельны и параллельны друг другу. Эти окружности называются основаниями сферического слоя.

Высота сферического слоя — это расстояние между плоскостями, расстояние между плоскостями оснований сферического слоя.

Определение 5. Сферическим сегментом называется каждая из двух частей, на которые шар делится секущей его плоскостью (рис. 3).

Определение 6. Каждая из двух частей, на которые шар делится секущей его плоскостью, называется сферическим сегментом (рис. 3).

сферический сегмент
сферический сегмент
сферический сегмент

Рис.3

Из определений 3 и 5 следует, что сферический сегмент представляет собой сферический пояс, в котором одна из плоскостей основания касается сферы (рис. 4). Высота такого сферического пояса называется высотой сферического сегмента.

Соответственно сферический сегмент представляет собой сферический слой, в котором одна из плоскостей оснований касается шара (рис. 4). Высота такого сферического слоя называется высотой сферического сегмента.

сферический сегмент и сферический пояс
сферический сегмент и сферический пояс
сферический сегмент и сферический пояс

Рис.4

По той же причине всю сферу можно рассматривать как сферический пояс, где обе плоскости заземления соприкасаются со сферой (рис. 5). Следовательно, весь шар представляет собой сферический слой, где обе плоскости основания касаются шара (рис. 5).

мяч и сферический пояс
мяч и сферический пояс
мяч и сферический пояс

Рис.5

Определение 7. Сферическим сектором называется фигура, состоящая из всех отрезков, соединяющих точки сферического отрезка с центром сферы (рис. 6).

сектор мяча
сектор мяча

Рис. 6

Высота сферического сектора равна высоте его сферического сегмента .

Комментарий. Сферический сектор состоит из сферического сегмента и конуса с общим основанием. Вершина конуса является центром сферы.

Читайте также: Что такое правильная пирамида: определение, виды, свойства

Площади сферы и ее частей. Объемы шара и его частей

В следующей таблице приведены формулы для расчета объема сферы и объемов ее частей, а также площади сферы и площадей ее частей.

Фигура Рисунок Формула Описание
Прохладный Объем сферы Площадь сферы S = 4πr2,

где
r — радиус сферы.

Диапазон пуль
Мяч где
r — радиус шара.
Объем мяча
Сферический ремень площадь сферического пояса объем сферического слоя S = 2пр,

где
r — радиус сферы,
h – высота сферического пояса.

Площадь сферического пояса не зависит от радиусов r1 и r2 !

Площадь сферического пояса
Мяч команда где
r1, r2 — радиусы оснований сферического слоя,
h – высота сферического слоя.
Объем сферического слоя
Сферический сегмент Объем сферического сегмента Площадь сферического сегмента S = 2пр,

где
r — радиус сферы,
h – высота сферического сегмента.

Площадь сферического сегмента
Шаровой сегмент где
r — радиус шара,
h – высота сферического сегмента.
Объем сферического сегмента
Сектор мяча Объем сферического сектора где
r — радиус шара,
h — высота сферического сектора.
Объем сферического сектора
Прохладный
Объем сферы Площадь сферы

Диапазон мяча:

S = 4πr2,

где
r — радиус сферы.

Мяч
Объем сферы Площадь сферы

Объем мяча:

где
r — радиус шара.

Сферический ремень
площадь сферического пояса объем сферического слоя

Площадь сферического пояса:

S = 2пр,

где
r — радиус сферы,
h – высота сферического пояса.

Площадь сферического пояса не зависит от радиусов r1 и r2 !

Мяч команда
площадь сферического пояса объем сферического слоя

Объем шаровой кровати:

где
r1, r2 — радиусы оснований сферического слоя,
h – высота сферического слоя.

Сферический сегмент
Объем сферического сегмента Площадь сферического сегмента

Площадь сферического сегмента:

S = 2пр,

где
r — радиус сферы,
h – высота сферического сегмента.

Шаровой сегмент
Объем сферического сегмента Площадь сферического сегмента

Объем шарового сегмента:

где
r — радиус шара,
h – высота сферического сегмента.

Сектор мяча
Объем сферического сектора

Объем сектора сферы:

где
r — радиус шара,
h — высота сферического сектора.

Определение шарового слоя

Сферический слой (или разрез шара) — это часть шара, которая остается между двумя пересекающими его параллельными плоскостями. Изображение ниже окрашено в желтый цвет.

  • R — радиус шара;
  • r1 — радиус первой режущей базы;
  • r2 — радиус второй режущей базы;
  • h — высота сферического слоя; перпендикулярно из центра первого основания к центру второго.

Сферическая поверхность

Чтобы найти площадь сферической поверхности сферического слоя, нужно знать радиус шара, а также высоту надреза.

Сферы пов. = 2πRh

Основания

Площадь оснований разреза шара равна произведению квадрата соответствующего радиуса на число π.

S1 = пр12

S2 = пр22

Полная поверхность

Общая площадь поверхности сферического слоя равна сумме площадей его сферической поверхности и двух его оснований.

Полная пов. = 2πRh + πr12 + πr22 = π(2Rh + r12 + r22)

Примечания:

  • если диаметры (d) даны вместо радиусов (R, r1 или r2), последние следует разделить на 2, чтобы найти искомые радиусы.
  • значение числа π при выполнении вычислений обычно округляют до двух знаков после запятой — 3,14.
Оцените статью
Блог о Microsoft Word