Как найти площадь прямоугольника, формула

Свойства прямоугольника

Прямоугольник – это квадрат, у которого все углы равны. Они также прямые и имеют угол 90°.

Основные свойства прямоугольника:

• диагонали равны по длине;
• противоположные стороны параллельны;
• противоположные стороны равны;
• смежные стороны всегда перпендикулярны;
• все четыре угла прямые;
• сумма углов 360°;
• диагонали равны по длине;
• квадрат — это частный случай прямоугольника.

Читайте также: 12 великих древнегреческих олимпийских богов: таблица

Формула расчета площади прямоугольника

Чтобы найти площадь прямоугольника, не нужно изобретать велосипед — великие умы придумали для этого специальные формулы. Давайте рассмотрим три из них.

Когда известно значение длины и ширины фигуры

Для расчета их нужно перемножить друг с другом.

S = a × b, где S — площадь; а, б — длина и ширина.

Онлайн-калькулятор площади прямоугольника поможет вам проверить результат, а научиться щелкать математические задачи как орехи — курс математики в Skysmart.

Когда нет данных о длине и ширине

Можно использовать формулу квадратов. Звучит это так: Умножаем половину произведения диагоналей на синус угла между ними.

S = 0,5 × d2 × (), где d — диагональ.

Диагональ – это отрезок, соединяющий противоположные стороны фигуры. Она есть на всех рисунках, где количество вершин больше трех. Диагонали прямоугольного треугольника равны, поэтому значения угла и одной диагонали будет достаточно.

Если известна любая сторона и диагональ прямоугольника

Чтобы найти площадь прямоугольника, нужно найти квадрат диагонали и любой стороны, из первого числа вычесть второе, найти корень результата и умножить длину известной стороны на полученное число. Вуаля!

S = a × √(d2 — a2), где a — известная сторона, d — диагональ.

найти площадь прямоугольника не получится, если длина и ширина даны в разных единицах. Для решения проблемы приведите все данные к одной единице измерения и все будет хорошо.

Популярные единицы площади:

• квадратный миллиметр (мм2);
• квадратный сантиметр (см2);
• квадратный дециметр (дм2);
• квадратные метры (м2);
• квадратные километры (км2);
• гектаров (га).

Площадь равностороннего треугольника

Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны.

Площадь равностороннего треугольника через сторону

{S = dfrac{sqrt{3} cdot a^2}{4}}

а — сторона равностороннего треугольника

Площадь равностороннего треугольника через высоту

{S = dfrac{h^2}{sqrt{3}}}

h — высота равностороннего треугольника

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

{S = dfrac{3 sqrt{3} cdot R^2}{4}}

R — радиус описанной окружности

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

{S = 3 sqrt{3} cdot r^2}

r — радиус описанной окружности

Примеры задач на нахождение площади треугольника

Задание 1

Найдите площадь треугольника со сторонами 13 14 15.

Решение

Для решения задачи воспользуемся формулой Герона.

S = sqrt{p cdot (pa) cdot (pb) cdot (pc)}

Сначала нам нужно найти полупериметр p:

p= dfrac{a+b+c}{2}p= dfrac{13+14+15}{2}= dfrac{42}{2} = 21

Теперь мы можем заменить ее формулой Герона и найти ответ:

S = sqrt{p cdot (pa) cdot (pb) cdot (pc)} = sqrt{21 cdot (21-13) cdot (21-14) cdot (21-15)} = sqrt{21 cdot (8) cdot (7) cdot (6)} = sqrt{21 cdot 336} = sqrt{7056} = 84 :cm^2

Ответ: 84 см²

Проверим правильность решения с помощью калькулятора .

Задача 2

Найдите площадь прямоугольного треугольника, катет и гипотенуза которого соответственно равны 28100.

Решение

Воспользуемся формулой.

S = dfrac{1}{2} cdot a cdot sqrt{c^2 — a^2} = dfrac{1}{2} cdot 28 cdot sqrt{100^2 — 28^2 } = dfrac{1}{2} cdot 28 cdot sqrt{10000 — 784} = dfrac{1}{2} cdot 28 cdot sqrt{9216} = dfrac{1}{2} cdot 28 cdot 96 = 14 cdot 96 = 1344 :см^2

Ответ: 1344 см²

Проверим ответ с помощью калькулятора .

Задача 3

Найдите площадь прямоугольного треугольника, катет и гипотенуза которого соответственно равны 15 и 17.

Решение

Проблема похожа на предыдущую, поэтому и решение очень похоже.

S = dfrac{1}{2} cdot a cdot sqrt{c^2 — a^2} = dfrac{1}{2} cdot 15 cdot sqrt{17^2 — 15^2 } = dfrac{1}{2} cdot 15 cdot sqrt{289 — 225} = dfrac{1}{2} cdot 15 cdot sqrt{64} = dfrac{1}{2} cdot 15 cdot 8 = 15 cdot 4 = 60 : см^2

Ответ: 60 см²

Экзамен .

Задача 4

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если гипотенуза равна 40 см, а острый угол равен 60°.

Решение

Для решения задачи воспользуемся формулой.

S = dfrac{1}{4} cdot c^2 cdot sin{(2 alpha)} = dfrac{1}{4} cdot 40^2 cdot sin{(2 cdot 60 °)} = dfrac{1}{4} cdot 1600 cdot sin{(120°)} = 400 cdot dfrac{sqrt{3}}{2} = 200 sqrt{3} : см^2 прибл. 346,41016 : см^2

Ответ: 200 sqrt{3} : см^2 ок. 346,41016 : см^2

Экзамен .

Упражнение 5

Найдите площадь равнобедренного треугольника, сторона которого равна 7 см, а основание 4 см.

Решение

В этом упражнении мы используем формулу для нахождения площади равнобедренного треугольника через основание и сторону.

S = dfrac{b}{4} sqrt{4a^2 — b^2} = dfrac{4}{4} sqrt{4 cdot 7^2 — 4^2} = sqrt{4 cdot 49 — 16} = sqrt{196 — 16} = sqrt{180} = sqrt{36 cdot 5} = 6sqrt{5} : cm^2 прибл. 13,41641 : см^2

Ответ: 6sqrt{5} : см^2 прибл. 13.41641

Экзамен .

Упражнение 6

Найдите площадь равнобедренного треугольника, основание которого равно 30, а сторона 17.

Решение

Решим эту задачу по аналогии с предыдущей.

S = dfrac{b}{4} sqrt{4a^2 — b^2} = dfrac{30}{4} sqrt{4 cdot 17^2 — 30^2} = dfrac{30} {4} sqrt{4 cdot 289 — 900} = dfrac{30}{4} sqrt{1156 — 900} = dfrac{30}{4} sqrt{256} = dfrac{30}{ 4} cdot 16= 30 cdot 4 = 120 : см^2

Ответ: 120 см²

Экзамен .

Упражнение 7

Найдите площадь равностороннего треугольника со стороной 12 см.

Решение

Используем формулу для решения задачи.

S = dfrac{sqrt{3} cdot a^2}{4} = dfrac{sqrt{3} cdot 12^2}{4} = dfrac{sqrt{3} cdot 144} {4} = 36 sqrt{3} : см^2 прибл. 62,35383 : см^2

Ответ: 36 sqrt{3} : см^2 ок. 62,35383 : см^2