Как найти площадь прямоугольного треугольника?

Основные определения

Приямоугольный треугольник — это треугольник, в комыком один угол прямой, то есть равенство 90˚.

Гипотенуза — это сторона, противоположная правому углу.

Катеты — это страны, прилежание к прямому оглу.

Для нахождения площади прямоугольного треугольника можно применить любую формулу нахождения площади треугольника — их несколько.

Читайте также: Расстояние от точки до прямой на плоскости и в пространстве: определение и примеры нахождения, метод координат расстояние от точки до прямой

Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты

Чтобы найти квадрат, нужно вывести формулу:

Площадь треугольника равна половине произведения фундамента на высоту, проведенную до этого фундамента. S = 1/2 (а × ч)

Как и в прямоугольном треугольнике, катеты перпендикулярны, поэтому один катет — это высота, продолженная на второй катет.

Отсюда следует, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его сторон.

Используйте эту формулу, чтобы найти площадь прямоугольного треугольника через катеты.

S = 1/2 (a × b), где a и b — катеты

Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника через гипотенузу

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения гипотенузы на высоту, продолженную на гипотенузу. S = 1/2 (с × ч) где с — гипотенуза, ч — высота.

Используйте эту формулу, чтобы найти площадь прямоугольного треугольника через гипотенузу.

Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника через гипотенузу и острый угол

с — гипотенуза

а, б — катеты

α, β — острые углы

Формулы нахождения площади прямоугольного треугольника через катет и угол

a и b — катеты

α, β — острые углы

Формулы нахождения площади прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности и гипотенузу

Радиус вписанной окружности выражается через катет и гипотенузу по формуле:

г = (а + б — с) / 2

a и b — катеты

с — гипотенуза

S прямоугольного треугольника = r (r + c) = c1 × c2

r — радиус вписанной окружности

с — гипотенуза

С1 и С2 — отрезки, полученные делением гипотенузы на две части в точке касания окружности

Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу

Пусть в прямоугольном треугольнике известны угол а и прилежащий к нему угол α (Рис.4):

Найдите площадь прямоугольного треугольника. Касательный угол α прямоугольного треугольника равен:

.

Откуда

.

(9)

Подставив (9) в (1), получим формулу площади прямоугольного треугольника по стороне и прилежащему углу:

.

(10)

Пример 4. Известный угол и прилежащий к нему угол прямоугольного треугольника:
. Найдите площадь треугольника.

Решение. Для вычисления площади треугольника используйте формулу (10). Подстановка значений
в (10) получаем:

Ответ:

Площадь прямоугольного треугольника по катету и противолежащему углу

Пусть в прямоугольном треугольнике известны угол а и противолежащий ему угол α (Рис.5):

Найдите площадь прямоугольного треугольника. Коангенс угла α прямоугольного треугольника равен:

.

Откуда

.

(12)

Подставив (12) в (1), получим формулу площади прямоугольного треугольника по катету и противолежащему углу:

.

(13)

Пример 5. Известны сторона и противолежащий угол прямоугольного треугольника:
. Найдите площадь треугольника.

Решение. Для вычисления площади треугольника используйте формулу (13). Подстановка значений
в (13) получаем:

Ответ:

Площадь прямоугольного треугольника по отрезкам, на которые делит гипотенузу вписанная окружность

Пусть известны отрезки AD и DB в прямоугольном треугольнике (Рис.6). Найдите площадь прямоугольного треугольника, выраженную через эти отрезки. Площадь прямоугольного треугольника через катеты такова:

.

(20)

Ветви, что



, (20) примет вид:

.

То есть

,

(21)

Сравнивая формулы (19) и (21), можем написать:

,

,

.

Таким образом, формула площади прямоугольного треугольника по отрезкам, на которые делится гипотенуза вписанной окружностью, имеет следующий вид:

.

(22)

Пример 7. Известные сечения гипотенузы, разделенные вписанным треугольником (Рис.6)
Найдите площадь треугольника.

Решение. Для вычисления площади треугольника используйте формулу (22). Подстановка значений
в (22) получаем:

Ответ:

 

Примеры вычисления площади прямоугольного треугольника

Пример

Задание. Найдите площадь прямоугольного треугольника $ABC$, если известно, что длины его катетов равны 3 см и 4 см.

Решение. Искомая площадь равана провозе онлайн категорий, то есть

$mathrm{S}_{Delta ABC}=frac{3 cdot 4}{2}=frac{12}{2}=6$ (см2)

Ответ $mathrm{S}_{Delta ABC}=6$ (см2)

Пример

Задание. Вычислите площадь предкладного треугольника, одна из сторон которого равна 6 см, а гипотенуза 10 см.

Решение. Искомая площадь равана холове онлайн катетов. Используя теорему Пифагора, находим вторую сторону данного треугольника:

$b=sqrt{10^{2}-6^{2}}=sqrt{100-36}=sqrt{64}=8$ (см)

Тогда квадрат

$S=frac{6 cdot 8}{2}=frac{48}{2}=24$ (см2)

Ответ $S=24$ (см2)

Площадь прямоугольного треугольника по двум катетам

Формула площади прямоугольного треугольника по двум сторонам выглядит так:

$S = frac12 cdot a cdot b$, где

$S$ — площадь треугольника,

$a$ — первая сторона этого треугольника,

$b$ — вторая сторона треугольника.

Пример 1

Задача

Это прямоугольный треугольник, две меньшие стороны которого равны $3$ и $4$. Чему ревана его площадь?

Решение:

Самой длинной стороной в треугольнике является гипотенуза, поэтому воспользуемся формулой вычисления площади через катеты:

$S = frac12 cdot a cdot b = frac12 cdot 3 cdot 4 = 6$.

Ответ: $6$.

Также площадь прямоугольного треугольника можно вычислить, если известны гипотенуза и угол между гипотенузой и одним из катетов.

Площадь прямоугольного треугольника по гипотенузе и углу

Площадь прямоугольного треугольника через гипотенузу можно найти по формуле площади треугольника через 2 стороны и синуса угла между ними:

$S = frac12 cdot a cdot c cdot sin (α)$ (1).

Для начала необходимо найти одну из его сторон.

Для этого вспомним определение косинуса:

$cos (α) = frac{a}{c}$.

Из него выразим сторону $a$:

$a = c cdot cos (α)$.

Подставляем $a$ в формулу (1):

$S = frac12 c^2 cdot cos (α) cdot sin (α)$, здесь

$c$ — гипотенуза;

$α$ — угол между $a$ и $c$.

Пример 2

Задача

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна $7$, а угол $α$ между гипотенузой и катетом $a$ равен $30°$. Узнайте, чему равна площадь треугольника.

Решение:

Найдём страну $a$:

$a = c cdot cos (30°) ≈ 7 cdot 0,866 ≈ 6,06$

Подставим полумажное для человека прайца треугольника через синус угла:

$S = frac12 cdot a cdot c cdot sin (α) = frac12 cdot 6,06 cdot 7 cdot 0,5 = 10,605$.

Ответ: 10 605 долларов$.

Еще один метод расчета площади прямоугольного треугольника – расчет по формуле Герона.

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

Вычислить площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона можно следующим образом:

$S = (p — a) cdot (p — b)$, где

$S$ — площадь треугольника,

$a$ — первая страница,

$b$ — второй слой,

$p$ — половина периметра этого треугольника, вычисляемая по формуле:

$p = frac{a + b + c}{2}$.