Как найти площадь трапеции abcd: формула с основаниями, без высоты

Что такое трапеция

Но сначала было бы полезно вспомнить, что представляет собой эта геометрическая фигура.

Трапеция – это геометрическая фигура, представляющая собой квадрат, две противоположные стороны которого параллельны.

Последнее утверждение очень важно. ТОЛЬКО ДВЕ противоположные стороны параллельны трапеции. Ведь если бы обе пары лежали на параллельных прямых, это уже был бы параллелограмм.

Вот так выглядит трапеция:

А вот и параллелограмм:

Кстати, именно по этому принципу древний математик Евклид разделил все квадраты на две большие категории.

Именно он впервые описал различные геометрические фигуры, в том числе трапеции и параллелограммы. И все свои соображения он подробно изложил в книге «Начинающий», которая датируется 300 г до н.э.

Раз уж мы решили вычислить это значение, давайте вспомним, что оно означает.

Площадь – это числовое значение геометрической фигуры, нарисованной в двумерном (плоском) пространстве. Иными словами, это пространство, ограниченное границами фигуры, и находящееся как бы внутри нее.

В нашем случае площадь — это область, заштрихованная синим цветом:

Кстати, в древности вместо термина «площадь» говорили «квадрат». Предполагалось, что любую фигуру можно разделить на равные квадраты со стороной «единица». Отчасти это понятие дошло до наших дней.

Ведь именно в «квадратных метрах» мы измеряем площадь комнаты/квартиры/дачи/офиса. А в «квадратных километрах» часто выражают размер территории. Например, когда в телевизионных новостях говорят о масштабах лесных пожаров или наводнений.

Способ расчета площади трапеции

Через длины оснований и высоту Через центральную линию и высоту Через длины сторон и оснований По диагоналям и углу между ними Для равнобедренной трапеции Основание а: Основание b: Высота: Осевая линия: Основание а: Основание b: Сторона 1: Сторона 2: Диагональ 1 : Диагональ 2 : Угол α: ° Радиус: Угол α: °

Трапеция – это квадрат, у которого две стороны параллельны (основание), а две другие не параллельны (стороны).
Формула площади трапеции:
,
где а, b — основания трапеции, h — высота

Трапеция – это квадрат, у которого две стороны параллельны (основание), а две другие не параллельны (стороны).
Формула площади трапеции:
,
где m — центральная линия, h — высота

Трапеция – это квадрат, у которого две стороны параллельны (основание), а две другие не параллельны (стороны).
Формула площади трапеции:

,
где а, b — основания трапеции, c, d — стороны

Трапеция – это квадрат, у которого две стороны параллельны (основание), а две другие не параллельны (стороны).
Формула площади трапеции:
,
где d1, d2 — диагонали, α — угол между ними

Трапеция – это квадрат, у которого две стороны параллельны (основание), а две другие не параллельны (стороны).
Формула площади трапеции:
где r — радиус вписанной окружности, α — угол между основанием и стороной

Читайте также: Пирамида с равными боковыми ребрами

Формулы вычисления площади

По длине оснований и высоте

Площадь трапеции (S) равна половине суммы ее оснований, умноженной на вычитаемую из них высоту.

Через длины всех сторон (Формула Герона)

Чтобы вычислить площадь трапеции, нужно знать длины всех сторон:

р — полупериметр трапеции, вычисляемый по формуле:

Через диагонали и угол между ними

Площадь трапеции равна половине произведения диагоналей и синуса угла между ними. Рассчитывается по одной из двух приведенных ниже формул:

По размеру средней линии и высоты

S=m×h, где S — площадь, m — центральная линия, h — высота

Отрезок, идущий параллельно основаниям и делящий стороны пополам, называется средней линией трапеции. Если у нас есть похожие параметры, достаточно их перемножить между собой. Используем формулу: S=, где S — площадь, m — центральная линия, h — высота.

Если известны все стороны

S=​​​(a+b)/2​​⋅√(​c​²​​−(((ba)² + c² -d²) / 2(ba)) ²

Если мы знаем значения всех оснований и сторон, используем формулу трапеции. Здесь a,b — основания, c,d — стороны.

По основаниям и углам, прилегающим к одному из оснований

S = 1/2 * (b²-a²) * (sin(α) * sin(β)) / (sin(α+β))

Когда мы знаем значения оснований a и b, а также знаем углы α и β, прилежащие к одному из оснований, мы можем использовать эту формулу.

Приведенные выше формулы площади применимы ко всем типам трапеций. Для решения задач, связанных с равнобедренными трапециями, используются другие алгоритмы:

Все стороны равнобедренной трапеции ABC известны

S = (a + b) / 2 * √c² — ((ba)² / 4)

Здесь используется упрощенная формула, где S — площадь, а и b — основания, а с — одна из сторон.

Даны значения основания, боковых сторон и прилегающих углов к одному из оснований

С этими входными данными мы можем использовать две формулы для вычисления площади трапеции. Обозначения: S — площадь, а и b — основания, с — сторона, α — угол.

S = c * sin (α) * (a + c * cos (α))

S = c * sin (α) * (bc * cos (α))

Использования радиуса вписанной окружности

Если мы знаем радиус (r) вписанной окружности, можно использовать две формулы. В первом дополнительно используем размеры оснований (а, b), во втором угол α примыкающий к основанию:

S = 4*r²/sin(α)

S = r*(a+b) = √(a*b)/2 * (a+b)

Примеры задач

упражнение 1
Найдите площадь трапеции, если основания равны 4 и 7 см, а высота 4 см.

Решение:
Воспользуемся первой формулой, рассмотренной выше: S = 1/2 * (4 см + 7 см) * 4 см = 22 см2.

Задача 2
Найдите площадь трапеции, если основания равны 6 см и 12 см, а стороны 8 см и 10 см.

Решение:
Поскольку мы знаем длину всех сторон, используем формулу Герона:
S = (6+12) / |6-12| * √(18-6)(18-12)(18-6-8)(18-6-10) = 18/6 * √576 = 72 см2.

Задача 1

Дано: трапеция с основаниями а=4см, b=8см и высотой h=5см. Как найти площадь трапеции? Берем формулу S= 1/2×(a+b)×h из первого примера и подставляем значения S= Ответ: 30 см2.

Задача 2

Дано: равнобедренная трапеция с диагоналями x=12 см, y=17 см. Угол в точке их пересечения равен 300. Необходимо вычислить площадь. Для этого воспользуемся соответствующей формулой: S=​1/2​​×d​₁​​×d​₂​​×sin(α). Из табличных значений мы знаем, что синус 300=1/2. Подставляем значения: Ответ: 51 см2.

Задача 3

Условия простые. Значение центральной линии m=15 см и высота h=21 см известны. Умножаем эти значения на формулу S=m×h. Ответ: Площадь трапеции равна 315 см2.

Задача 4

Дано: верхнее основание трапеции а=5 см, нижнее основание b=15 см. Это вписанная окружность радиусом r=2,5 см. Необходимо вычислить площадь трапеции. Для этого воспользуемся формулой S = r * (a + b) = 50 см2.

Задача 5

Это равнобедренная трапеция. Основания трапеции известны a=10 см, b=22 см. Угол при нижнем основании равен 450. Необходимо вычислить площадь. Для этого подставляем значения в геометрическую формулу, приведенную в способе 8: S = (b²-a²) * tg (α)/4 = 192 см2. Тангенс 450=1 (взято из табличных данных).