Как найти площадь треугольника, формула для 3 и других классов

Основные понятия

Треугольник – это геометрическая фигура, полученная из трех отрезков. Их соединили потребляющими точками, не лежащими на одной праймой. Отрезки принято называть стронами, а точни — вершинами.

Площадь – числовая характеристика, дающая нам информацию о размере части плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Популярные единицы измерения площади:

• квадратный миллиметр (мм2);
• квадратный сантиметр (см2);
• квадратный дециметр (дм2);
• кравадный метр (м2);
• квадратный километр (км2);
• гектаров (га).

Читайте также: Деление в столбик ➗ примеры и правила, как научиться

Свойства треугольника

1. длина любой стороны треугольника меньше суммы длин другой стороны, но разность больше длины другой стороны;
2. высота треугольника образует прямой угол со сторной, к колично провенана;
3. площадь треугольника равна половине произведения длины высоты треугольника на длину стороны, к которой проведена высота SABC=a⋅h/2.

Пример. Можно ли построить треугольник из отрезков с длиной: 3 см, 7 см, 4 см?

Необходимо помнить следующее правило: если сумма любых двух сторон меньше или равна оставшейся стороне, то треугольник построить нельзя.
3+4=7, значит треугольник построить не получится.

Пример. Можно ли построить треугольник из отрезков с длиной: 16 см, 32 см, 18 см?

Необходимо помнить следующее правило: если сумма любых двух сторон меньше или равна оставшейся стороне, то треугольник построить нельзя.
Так что для указанных длин будут справедливы следующие уравнения: 16 + 18 > 32 и 16 > 32 − 18, то треугольник будет построен.

Пример. Можно ли построить треугольник из отрезков с длиной: 1 см, 3 см, 7 см ?

Необходимо помнить следующее правило: если сумма любых двух сторон меньше или равна оставшейся стороне, то треугольник построить нельзя.
3 + 1 < 7, поэтому построить треугольник не получится. /показать спрятать

Пример. Одна сторона, образующая прямой угол прямоугольного треугольника ABD, равна 4 см, другая сторона, образующая прямой угол, в 2 раза меньше. Определить площадь треугольника.

Пусть АВ = 4 см, тогда сторона ВС = 4 : 2 = 2. И тогда площадь треугольника будет равна:
S = 2 * 4 : 2 = 4 см2

Одна сторона, образующая прямой угол прямоугольного треугольника ABD, равна 12 см, другая сторона, образующая прямой угол, в 3 раза меньше.
Определить площадь треугольника.

Пусть АВ = 12 см, тогда сторона ВС = 12 : 3 = 4. И тогда площадь треугольника будет равна:
S = 12 * 4 : 2 = 24 см2

Рассчитай площадь треугольника ABC, если дана площадь цели — 1 м2.
В треугольнике от вришины B проведём перпендикулярно стороне AC. Таким образом, этот треугольник разбивается на два прямоугольных треугольника.
Каждая из них — половина прямоугольника.

Следовательно, площадь можно рассчитать следующим образом:

SABC=4⋅4/2+3⋅4/2=(16+12)/2=28/2=14м2.

Известно, что периметр равностороннего треугольника равен 21 см. Определение перемитер данного четырехугольника, користано из раносторонних треугольников.

Известно, что периметр равностороннего треугольника равен 21 см.

Значит, одна сторона треугольника равна 7 см.

Периметр этого четырехугольника состоит из 4 таких сторон, поэтому он равен 28 см.

Это равносторонний треугольник. 2 раз сделано следующее:

•  Середины отмечены и соединены со всех сторон.
•  На сторонах внутреннего треугольника снова отмечают и соединяют средние точки.
  Треугольник, который образовался на этот раз, украшен розовым цветком.
•  Сколько маленьких треугольников нужно, чтобы покрыть этот треугольник?

Внутренний треугольник состоит из 4-х маленьких треугольников, которые такие же, как и остальные 3 треугольника, поэтому всего 4⋅4=16 маленьких треугольников.

•  Чему равна площадь большого треугольника, если площадь розового треугольника равна 4 м²?

Площадь большого треугольника 16⋅4=64 м².

•  Сколько маленьких треугольников получится, если повторить эту конструкцию 4 раза?

очевидно, что в каждом следующем построении количество маленьких треугольников увеличивается в 4 раза.

Если повторить эти действия (построить такую ​​конструкцию) 4 раза, общее количество маленьких треугольников будет 256.

• Сколько маленьких треугольников получится, если повторить это построение 3 раза?

очевидно, что в каждом следующем построении количество маленьких треугольников увеличивается в 4 раза.

Если повторить эти действия (построить эту конструкцию) 3 раза, то общее количество маленьких треугольников будет 64.

Определить площадь данных фигур, если площадь одних цель равана 6 см2.
1)

Сколько клеток образуют площадь фигуры? Чему ревана площадь фигуры?

Фигура образует 2 ячейки, а ее площадь равана 6*2 = 12 кв.см.
Сколько клеток образуют площадь фигуры? Чему ревана площадь фигуры?

На втором рисунке будет 8 ячеек. Площадь фигур равна 8 ⋅ 6 = 48 см2 .

Подумайте, как построены эти фигуры, и определите, сколько клеток будет в следующих двух фигурах, если они построены по одному и тому же образцу.

На третьем рисунке — 18 ячеек, на четвертом — 32 ячейки.

Общие формулы расчета площади треугольника

По основанию и высоте

Площадь (S) треугольника устанавливается

Формула Герона

Чтобы найти площадь (S) треугольника, необходимо знать длины всех его сторон. Считается следующим образом:

p – половина периметра треугольника:

Через две стороны и угол между ними

Квадрат треугольника (S) равен половине произведения двух его сторон и синуса угла между ними.

Если треугольник прямоугольный

То есть один из его углов равен 90 градусов.

Надо перемножить катеты и бедилить на два. Катеты – это две меньшие страны, в сравнении с гипотенузой. Гипотенуза самая длинная сторона, она всегда лежит против угла 90 градусов.

Если он равнобедренный

Вот почему у него равные стороны. В такую ​​часть надо высоту к обоснинию (сторона, которая не равна «ногам»), умножьте высоту на основание и разделите результат на два.

Если он равносторонний

То есть все три стороны равны. Ваши действия:

1. Найдите сторону квадрата — умножьте эту сторону ни на что. Если ваша сторона равна 4, умножьте 4 на 4, будет 16.
2. Умножьте полученное значение на корень из 3. Это примерно 1,732050807568877293527.
3. Поделите все на 4.

Если известна сторона и высота

Площадь любого треугольника равна половине стороны произведения на высоте, проведенной к этой стороне. Именно к этому, а не к какому-то другому.

Чтобы отнести высоту в сторону, нужно найти вершину (угол), которая противоположна этой стороне, а затем провести от нее прямую в сторону под углом 90 градусов. На рисунке высота отмечена синим цветом и буквой h, а линия, на которую она спускается, отмечена красным цветом и буквой a.

Если известны две стороны и градус угла между ними

Если вы знаете, чему равны две стороны и угол между ними, то вам нужно найти синус этого угла, умножить его на первую сторону, умножить на вторую и снова умножить на ½:

Если известны длины трех сторон

Сделай так:

1. Найдите периметр. Для этого сложите все три стороны.
2. Видимый полупериметр – разделите периметри на два. Запомните значение.
3. Вычтите длину первой стороны из половины периметра. Запомните
4. Вычтите длину второй стороны из половины периметра. Также помните.
5. Вычтите из половины периметра длину третьей стороны. И ты вспомнил.
6. Умножьте половину периметра на каждое из этих чисел (разницу с первой, второй и третьей стороной).
7. Найдите квадратный корень.

Эта формула до сих пор называется формулой Героны. Запишите, если учитель спросит.

Если известны три стороны и радиус описанной окружности

Окружность можно описать вокруг любого треугольника. Чтобы найти площадь «вписанного» треугольника — того, что «вписан» в окружность, нужно умножить три его стороны и разделить их на четыре радиуса. Смотрите картинку.

Если известны три стороны и радиус вписанной окружности

Если вам удалось написать в окружности треугольника, то это обязательно относится к каждой из его сторон. Следовательно, расстояние от центра окружности до каждой стороны треугольника есть его радиус.

Чтобы найти площадь, сначала вычислите половину периметра — сложите все стороны и разделите на два. А потом умножить на радиус.

Площадь прямоугольного треугольника

Площадь (S) соответствует полове онлайн его катетов.

Площадь равнобедренного треугольника

Квадрат (S) рассчитывается по следующей формуле:

Площадь равностороннего треугольника

Чтобы найти площадь правильного треугольника (все стороны фигуры равны), нужно воспользоваться одной из приведенных ниже формул:

Через длину стороны

Через высоту

Примеры задач

задание 1
Найдите площадь треугольника, если одна из его сторон равна 7 см, а продолжение к ней высоты равно 5 см.

Решение:
Воспользуемся формулой, в которой участвуют длина стороны и высота:
S = 1/2 ⋅ 7 см ⋅ 5 см = 17,5 см2.

Задание 2
Найдите треугольник, стороны которого равны 3, 4 и 5 см.

Решение 1:
Воспользуемся формулой Героны:
Полупериметр (p) = (3 + 4 + 5) / 2 = 6 см.

Следовательно, S = √6(6-3)(6-4)(6-5) = 6 см2.

Решение 2:
Т.к треугольник со сторонами 3, 4 и 5 – прямоугольный, площадь которого можно рассчитать по соответствующей формуле:
S = 1/2 ⋅ 3 см ⋅ 4 см = 6 см2.