- Основные понятия
- Свойства треугольника
- Общие формулы расчета площади треугольника
- По основанию и высоте
- Формула Герона
- Через две стороны и угол между ними
- Если треугольник прямоугольный
- Если он равнобедренный
- Если он равносторонний
- Если известна сторона и высота
- Если известны две стороны и градус угла между ними
- Если известны длины трех сторон
- Если известны три стороны и радиус описанной окружности
- Если известны три стороны и радиус вписанной окружности
- Площадь прямоугольного треугольника
- Площадь равнобедренного треугольника
- Площадь равностороннего треугольника
- Через длину стороны
- Через высоту
- Примеры задач
Основные понятия
Треугольник – это геометрическая фигура, полученная из трех отрезков. Их соединили потребляющими точками, не лежащими на одной праймой. Отрезки принято называть стронами, а точни — вершинами.
Площадь – числовая характеристика, дающая нам информацию о размере части плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.
Популярные единицы измерения площади:
- квадратный миллиметр (мм2);
- квадратный сантиметр (см2);
- квадратный дециметр (дм2);
- кравадный метр (м2);
- квадратный километр (км2);
- гектаров (га).
Читайте также: Деление в столбик ➗ примеры и правила, как научиться
Свойства треугольника
- длина любой стороны треугольника меньше суммы длин другой стороны, но разность больше длины другой стороны;
- высота треугольника образует прямой угол со сторной, к колично провенана;
- площадь треугольника равна половине произведения длины высоты треугольника на длину стороны, к которой проведена высота SABC=a⋅h/2.
Пример. Можно ли построить треугольник из отрезков с длиной: 3 см, 7 см, 4 см?
Необходимо помнить следующее правило: если сумма любых двух сторон меньше или равна оставшейся стороне, то треугольник построить нельзя.
3+4=7, значит треугольник построить не получится.
Пример. Можно ли построить треугольник из отрезков с длиной: 16 см, 32 см, 18 см?
Необходимо помнить следующее правило: если сумма любых двух сторон меньше или равна оставшейся стороне, то треугольник построить нельзя.
Так что для указанных длин будут справедливы следующие уравнения: 16 + 18 > 32 и 16 > 32 − 18, то треугольник будет построен.
Пример. Можно ли построить треугольник из отрезков с длиной: 1 см, 3 см, 7 см ?
Необходимо помнить следующее правило: если сумма любых двух сторон меньше или равна оставшейся стороне, то треугольник построить нельзя.
3 + 1 < 7, поэтому построить треугольник не получится. /показать спрятать
Пример. Одна сторона, образующая прямой угол прямоугольного треугольника ABD, равна 4 см, другая сторона, образующая прямой угол, в 2 раза меньше. Определить площадь треугольника.
Пусть АВ = 4 см, тогда сторона ВС = 4 : 2 = 2. И тогда площадь треугольника будет равна:
S = 2 * 4 : 2 = 4 см2
Одна сторона, образующая прямой угол прямоугольного треугольника ABD, равна 12 см, другая сторона, образующая прямой угол, в 3 раза меньше.
Определить площадь треугольника.
Пусть АВ = 12 см, тогда сторона ВС = 12 : 3 = 4. И тогда площадь треугольника будет равна:
S = 12 * 4 : 2 = 24 см2
Рассчитай площадь треугольника ABC, если дана площадь цели — 1 м2.
В треугольнике от вришины B проведём перпендикулярно стороне AC. Таким образом, этот треугольник разбивается на два прямоугольных треугольника.
Каждая из них — половина прямоугольника.
Следовательно, площадь можно рассчитать следующим образом:
SABC=4⋅4/2+3⋅4/2=(16+12)/2=28/2=14м2.
Известно, что периметр равностороннего треугольника равен 21 см. Определение перемитер данного четырехугольника, користано из раносторонних треугольников.
Известно, что периметр равностороннего треугольника равен 21 см.
Значит, одна сторона треугольника равна 7 см.
Периметр этого четырехугольника состоит из 4 таких сторон, поэтому он равен 28 см.
Это равносторонний треугольник. 2 раз сделано следующее:
- Середины отмечены и соединены со всех сторон.
- На сторонах внутреннего треугольника снова отмечают и соединяют средние точки.
Треугольник, который образовался на этот раз, украшен розовым цветком. - Сколько маленьких треугольников нужно, чтобы покрыть этот треугольник?
Внутренний треугольник состоит из 4-х маленьких треугольников, которые такие же, как и остальные 3 треугольника, поэтому всего 4⋅4=16 маленьких треугольников.
- Чему равна площадь большого треугольника, если площадь розового треугольника равна 4 м²?
Площадь большого треугольника 16⋅4=64 м².
- Сколько маленьких треугольников получится, если повторить эту конструкцию 4 раза?
очевидно, что в каждом следующем построении количество маленьких треугольников увеличивается в 4 раза.
Если повторить эти действия (построить такую конструкцию) 4 раза, общее количество маленьких треугольников будет 256.
- Сколько маленьких треугольников получится, если повторить это построение 3 раза?
очевидно, что в каждом следующем построении количество маленьких треугольников увеличивается в 4 раза.
Если повторить эти действия (построить эту конструкцию) 3 раза, то общее количество маленьких треугольников будет 64.
Определить площадь данных фигур, если площадь одних цель равана 6 см2.
1)
Сколько клеток образуют площадь фигуры? Чему ревана площадь фигуры?
Фигура образует 2 ячейки, а ее площадь равана 6*2 = 12 кв.см.
Сколько клеток образуют площадь фигуры? Чему ревана площадь фигуры?
На втором рисунке будет 8 ячеек. Площадь фигур равна 8 ⋅ 6 = 48 см2 .
Подумайте, как построены эти фигуры, и определите, сколько клеток будет в следующих двух фигурах, если они построены по одному и тому же образцу.
На третьем рисунке — 18 ячеек, на четвертом — 32 ячейки.
Общие формулы расчета площади треугольника
По основанию и высоте
Площадь (S) треугольника устанавливается
Формула Герона
Чтобы найти площадь (S) треугольника, необходимо знать длины всех его сторон. Считается следующим образом:
p – половина периметра треугольника:
Через две стороны и угол между ними
Квадрат треугольника (S) равен половине произведения двух его сторон и синуса угла между ними.
Если треугольник прямоугольный
То есть один из его углов равен 90 градусов.
Надо перемножить катеты и бедилить на два. Катеты – это две меньшие страны, в сравнении с гипотенузой. Гипотенуза самая длинная сторона, она всегда лежит против угла 90 градусов.
Если он равнобедренный
Вот почему у него равные стороны. В такую часть надо высоту к обоснинию (сторона, которая не равна «ногам»), умножьте высоту на основание и разделите результат на два.
Если он равносторонний
То есть все три стороны равны. Ваши действия:
- Найдите сторону квадрата — умножьте эту сторону ни на что. Если ваша сторона равна 4, умножьте 4 на 4, будет 16.
- Умножьте полученное значение на корень из 3. Это примерно 1,732050807568877293527.
- Поделите все на 4.
Если известна сторона и высота
Площадь любого треугольника равна половине стороны произведения на высоте, проведенной к этой стороне. Именно к этому, а не к какому-то другому.
Чтобы отнести высоту в сторону, нужно найти вершину (угол), которая противоположна этой стороне, а затем провести от нее прямую в сторону под углом 90 градусов. На рисунке высота отмечена синим цветом и буквой h, а линия, на которую она спускается, отмечена красным цветом и буквой a.
Если известны две стороны и градус угла между ними
Если вы знаете, чему равны две стороны и угол между ними, то вам нужно найти синус этого угла, умножить его на первую сторону, умножить на вторую и снова умножить на ½:
Если известны длины трех сторон
Сделай так:
- Найдите периметр. Для этого сложите все три стороны.
- Видимый полупериметр – разделите периметри на два. Запомните значение.
- Вычтите длину первой стороны из половины периметра. Запомните
- Вычтите длину второй стороны из половины периметра. Также помните.
- Вычтите из половины периметра длину третьей стороны. И ты вспомнил.
- Умножьте половину периметра на каждое из этих чисел (разницу с первой, второй и третьей стороной).
- Найдите квадратный корень.
Эта формула до сих пор называется формулой Героны. Запишите, если учитель спросит.
Если известны три стороны и радиус описанной окружности
Окружность можно описать вокруг любого треугольника. Чтобы найти площадь «вписанного» треугольника — того, что «вписан» в окружность, нужно умножить три его стороны и разделить их на четыре радиуса. Смотрите картинку.
Если известны три стороны и радиус вписанной окружности
Если вам удалось написать в окружности треугольника, то это обязательно относится к каждой из его сторон. Следовательно, расстояние от центра окружности до каждой стороны треугольника есть его радиус.
Чтобы найти площадь, сначала вычислите половину периметра — сложите все стороны и разделите на два. А потом умножить на радиус.
Площадь прямоугольного треугольника
Площадь (S) соответствует полове онлайн его катетов.
Площадь равнобедренного треугольника
Квадрат (S) рассчитывается по следующей формуле:
Площадь равностороннего треугольника
Чтобы найти площадь правильного треугольника (все стороны фигуры равны), нужно воспользоваться одной из приведенных ниже формул:
Через длину стороны
Через высоту
Примеры задач
задание 1
Найдите площадь треугольника, если одна из его сторон равна 7 см, а продолжение к ней высоты равно 5 см.
Решение:
Воспользуемся формулой, в которой участвуют длина стороны и высота:
S = 1/2 ⋅ 7 см ⋅ 5 см = 17,5 см2.
Задание 2
Найдите треугольник, стороны которого равны 3, 4 и 5 см.
Решение 1:
Воспользуемся формулой Героны:
Полупериметр (p) = (3 + 4 + 5) / 2 = 6 см.
Следовательно, S = √6(6-3)(6-4)(6-5) = 6 см2.
Решение 2:
Т.к треугольник со сторонами 3, 4 и 5 – прямоугольный, площадь которого можно рассчитать по соответствующей формуле:
S = 1/2 ⋅ 3 см ⋅ 4 см = 6 см2.