Как найти произведение двух комплексных чисел: формулы, примеры

Вычисления

Алгебраическая форма записи комплексных чисел

Пусть x и y — произвольные действительные числа.

Множеством комплексных чисел называется множество всех возможных пар (x, y) действительных чисел, где операции сложения, вычитания и умножения определены в соответствии с описанными ниже правилами.

Множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел, так как множество действительных чисел содержится в нем в виде пар (x, 0).

Комплексные числа, заданные парами (0, y), называются чисто мнимыми числами.

Для комплексных чисел существует несколько форм записи: алгебраическая запись, тригонометрическая запись и экспоненциальная (экспоненциальная) запись.

Алгебраическая форма — это форма записи комплексных чисел, в которой комплексное число z, заданное парой действительных чисел (x, y), записывается как

z знак равно х + я . (1)

где используется символ i, называемый мнимой единицей.

Число x называется действительной (вещественной) частью комплексного числа z = x + iy и обозначается Re z.

Число y называется мнимой частью комплексного числа z = x + iy и обозначается Im z.

Комплексные числа с Im z = 0 являются действительными числами.

Комплексные числа с Re z = 0 — чисто мнимые числа.

Тригонометрическая и экспоненциальная формы записи комплексных чисел будут рассмотрены чуть позже.

Умножение в алгебраической форме

Произведение двух комплексных чисел x = a1 + b1i и y = a2 + b2i также является комплексным числом z:

z = x ⋅ y = (a1a2 – b1b2) + (a1b2 + b1a2) ⋅ i

Формула получается путем умножения биномов (a1 + b1i)(a2 + b2i). При этом не забываем, что i2 = -1.

Пример 1
Найдем произведение комплексных чисел: x = 3 + 7i и y = 2 – i.

Решение:
x ⋅ y = (3 + 7i)(2 – i) = 3 ⋅ 2 – 3 ⋅ i + 7i ⋅ 2 – 7i ⋅ i = 6 – 3i + 14i – 7i2 = 6 + 11i – 7 ⋅ (-1) = 13 + 11и.

Произведение в тригонометрической форме

Комплексные числа могут быть представлены в тригонометрической форме, например, x = |x| ⋅ (cos φ1 + i ⋅ sin φ1) и y = |y| ⋅ (cos φ2 + i ⋅ sin φ2).

В этом случае формула продукта выглядит так:

х ⋅ у = | х | ⋅ |у| ⋅ cos(φ1 + φ2) + i ⋅ sin(φ1 + φ2)

Пример 2
Перемножим два комплексных числа: x = 2 ⋅ (cos 15° + i ⋅ sin 15°) и y = 5 ⋅ (cos 30° + i ⋅ sin 30°).

Решение:
|х| ⋅ |у| = 2 ⋅ 5 = 10
φ1 + φ2 = 15° + 30° = 45°
x ⋅ y = 10 ⋅ (cos 45° + i ⋅ sin 45°)

Читайте также: Шар, вписанный в цилиндр

Свойство операции умножения

Операция умножения обладает следующим неочевидным свойством.

Это означает, что при перемножении двух чисел их аргументы (углы) складываются, а длина умножается.

Посмотрите еще раз внимательно на умножение. Я специально пометил вершины, чтобы было видно, что при умножении вершины действительно складываются.

Комплексные числа | Основные операции

Допустим, у нас есть число X. Когда мы умножаем его на другое число Y, мы, таким образом, расширяем число X до |Y| раз и повернуть на угол Arg(Y).

Кстати, операции поворота и растяжения коммутируют друг с другом. Им неважно, в каком порядке мы их выполняем. Они как бы бегут одновременно.

В какую сторону отмерять углы?

Есть некоторая неоднозначность в измерении углов. Например, числовой аргумент на изображении равен -45 градусов. Но мы могли бы также сказать, что угол +315 градусов.

числовой аргумент равен -45 или +315 числовой аргумент равен -45 или +315

Хитрость в том, что для операции умножения не имеет значения, как мы измеряем углы.

Например, когда мы умножаем два числа единичной длины на аргумент -45, мы получаем угол -90 градусов. Таким образом, мы получаем число, равное минус мнимое.

Если отложить углы в обратную сторону и считать, что аргументы этих чисел не -45, а +315. Итак, когда мы складываем углы, мы получаем +630. Это то же самое, что -90. И снова получаем минус мнимой единицы.

Хотя у нас есть некоторая неопределенность в измерении углов, это никак не влияет на результат операции умножения. Умножение совершенно уникально.

Модуль и Аргумент комплексного числа

Если рассматривать комплексное число как вектор, то можно найти его модуль, т.е длину вектора. Для этого воспользуемся обычной теоремой Пифагора.

модуль комплексного числа Модуль комплексного числа

Мы также можем определить так называемый аргумент для комплексных чисел. Аргументом является угол между положительным направлением действительной оси и вектором.

Комплексные числа | Основные операции

Если комплексное число расположено в верхней полуплоскости, аргумент считается положительным, в противном случае — отрицательным. Таким образом, аргумент принимает значения от -Пи до Пи радиан (или от -180 до 180 градусов).

По сути, модуль и аргумент — это просто еще одно представление комплексного числа. Это его полярные координаты. Если мы знаем модуль и аргумент, то это число определяет само себя.

Примеры

Лучший способ понять теорию — посмотреть на достаточное количество примеров. Это то, что мы собираемся сделать.

Все наши примеры будут связаны с операцией умножения, потому что она самая интересная.

Умножение на нуль

Если модуль одного из аргументов равен нулю, модуль результата также будет равен нулю при умножении. В результате получаем известное тождество

Умножение на действительное число

Я уже говорил, что умножение на комплексное число рождает сразу два эффекта: вращение и растяжение. Мы можем получить каждый из этих эффектов отдельно.

Например, умножение любого числа X на действительное число Y (аргумент равен 0) просто увеличивает число X в Y раз. И мы получаем операцию растяжения без вращения.

синий вектор имеет то же направление, что и красный, но другую длину
синий вектор имеет то же направление, что и красный, но другую длину синий вектор имеет то же направление, что и красный, но другую длину

Умножение на число единичной длины

Наоборот, мы можем получить операцию поворота без растяжения, если умножим число X на комплексное число Y единичной длины. Тогда число X просто поворачивается на угол, равный аргументу числа Y.

синий вектор имеет ту же длину, что и красный, но повернут относительно него на угол, заданный зеленым вектором
синий вектор имеет ту же длину, что и красный вектор, но повернут относительно него на угол, заданный зеленым вектором

Умножение на мнимую единицу

Умножение на воображаемую единицу дает поворот на 90 градусов.

синий вектор повернут на 90 градусов против часовой стрелки относительно красного вектора
синий вектор повернут на 90 градусов против часовой стрелки относительно красного вектора синий вектор повернут на 90 градусов против часовой стрелки относительно красного

А умножение на минус мнимой единицы дает поворот на 90 градусов в противоположном направлении.

синий вектор повернут на 90 градусов по часовой стрелке относительно красного вектора
синий вектор повернут на 90 градусов по часовой стрелке относительно красного вектора синий вектор повернут на 90 градусов по часовой стрелке относительно красного вектора

Умножение на действительную единицу

Самый банальный вариант — умножение на действительную единицу. Нам нужно повернуть фигуру X на нулевой угол и растянуть ее 1 раз. Другими словами, мы получим число X без изменений.

синий вектор равен красному
синий вектор равен красному синий вектор равен красному

Это именно то, к чему мы привыкли со школы. Умножение любого числа на единицу должно дать одно и то же число.

Умножение мнимой единицы на мнимую единицу

Аргумент мнимой единицы равен 90 градусам, а модуль равен единице. Это означает, что когда мы возводим воображаемую единицу в квадрат, мы получаем количество единиц длины, повернутых на 180 градусов. А именно -1.

квадрат мнимой единицы равен -1 квадрат мнимой единицы равен -1

Мы также уже знаем это свойство, потому что приняли его за определение мнимой единицы

определение воображаемой единицы определение воображаемой единицы

Умножение отрицательного действительного числа на положительное действительное число

Отрицательное число имеет аргумент 180 градусов. А положительный — аргумент 0. При умножении аргументы складываются и получается угол 180 градусов. В результате снова получается отрицательное число.

минус раз плюс дает минус минус раз плюс дает минус

Это правило известно нам как «минус, умноженный на плюс, дает минус».

Умножение двух отрицательных действительных чисел

Когда мы добавляем аргументы к двум отрицательным числам (два раза по 180), мы получаем полный поворот на 360 градусов. Результат — положительное число.

минус раз минус дает плюс минус раз минус дает плюс

И мы знаем это правило как «минус, умноженный на минус, дает плюс».

Мне очень интересно, как вышеуказанные правила выражаются через добавление углов :).

Оцените статью
Блог о Microsoft Word