Как найти производную логарифма: натурального, сложной функции

Виды логарифмов

Прежде чем перейти к формулам для производных, напомним, что для некоторых логарифмов существуют отдельные названия:

1. Десятичный логарифм (lg x)

логх = лог10х

Это логарифм x по основанию 10.

2. Натуральный логарифм (ln x)

журнал х = журнал х

Они представляют собой логарифм числа x по основанию e (показатель степени).

Общая формула производной логарифма

Производная логарифма х по основанию а равна числу 1, деленному на произведение натурального логарифма а и числа х.

Производная натурального логарифма

Производная натурального логарифма x равна 1, деленному на x.

Эта формула выводится следующим образом:

Приведение ln ei в этом случае возможно благодаря свойству логарифма:

Производная натурального логарифма комплексной функции u = u(x):

Объяснение и обоснование

Для обоснования формул для производных показательной и логарифмической функций воспользуемся свойством функции без доказательства

• производные функции
  как и сама функция
  , это

При a > 0 по основному логарифмическому тождеству имеем

Тогда по правилу нахождения производной сложной функции:

По полученной формуле можно найти значение производной показательной функции для любого значения
Следовательно, экспоненциальная функция дифференцируема в каждой точке своей области определения и, следовательно, непрерывна в каждой точке своей области определения (для всех действительных значений
).

Для логарифмической функции сначала находим производную функции
(предполагая без доказательства существование его производной). Область действия этой функции
это

На
по основному логарифмическому тождеству имеем
Это равенство означает, что
функции
совпадает (это та же функция, определенная на множестве
а это значит, что их производные также совпадают. Используя правило нахождения производной комплексной функции для левой части равенства, получаем:
это
Отсюда

Потому что
что

Поэтому,

— постоянный).

Комментарий. Формула
был оправдан только для целых значений
Докажем, что оно выполняется для всех действительных значений

* Помните, что
иррациональное число, первый знак которого следующий:

Если
является любым нецелым числом, то функция
определяется только тогда, когда
Тогда согласно основному логарифмическому тождеству
По правилу вычисления производной сложной функции получаем:

Поэтому по формуле
может использоваться для всех действительных значений
(в данном случае только для этих значений
для которого определена его правая часть).

На основании полученного результата также обосновывается формула

которые можно использовать для этих значений
для которого определена его правая часть.

Если
— четное число, поэтому ОДЗ в правой части формулы (1):
Но при этом условии

Если
— нечетное число, то ОДЗ в правой части формулы (1) задается условием:
На
равенство (2) остается в силе. На
принять это во внимание
а также тот факт, что для нечетных
номер 1 —
будет четным (так
). Затем

Поэтому слишком странно
для всех
формула (1) также выполняется.

В последнем случае такие громоздкие преобразования приходилось проводить из-за того, что при
выражение
не определено, а выражение
существует, потому что

Читайте также: Радиусы описанной и вписанной окружностей в квадрат — формулы, примеры, калькулятор

Примеры задач

упражнение 1:
Найдите производную функции y(x) = log4x.

Решение:
Используя общую формулу производной, получаем:

Задача 2:
Вычислить производную функции y = ln x / 5.

Решение:
Воспользуемся свойством производной, согласно которому константу можно вынести из-под знака производной, а затем воспользуемся формулой натурального логарифма:

Как вывести формулу логарифмической производной

Для получения этой формулы необходимо сначала взять логарифм по основанию е, а затем упростить полученную функцию, используя основные свойства логарифмов. После этого нужно вычислить производную неявно заданной функции:

y=f(x)ln y=ln(f(x))(ln y)’=(ln(f(x)))’1y y’=(ln(f(x)))’⇒y’ = y(ln(f(x)))’

Примеры использования формулы

Покажем на примере, как это делается.

Пример 1

Вычислите производную экспоненциальной функции переменной x в степени x.

Решение

Выполняем логарифмирование по указанному основанию и получаем ln y=ln xx. Принимая во внимание свойства логарифма, это можно выразить как ln y=x·ln x. Теперь разделим левую и правую части уравнения и получим результат:

ln y=x ln xln y’=x ln x’1y y’=x’ ln x+ ln x’⇒y’=y 1 ln x+x 1x=y (ln x+ 1)=xx (lnx+1)

Ответ: xx’=xx (ln x+1)

Эту задачу можно решить и по-другому, без логарифмической производной. Во-первых, нам нужно преобразовать исходное выражение, чтобы перейти от дифференцирования экспоненциальной степенной функции к вычислению производной сложной функции, например:

y=xx=eln xx=ex ln x⇒y’=(ex ln x)’=ex ln xx ln x’=xx x’ ln x+x (ln x)’= =xx 1 log x+x 1x= хх журнал х+1

Рассмотрим еще одну проблему.

Пример 2

Вычислите производную функции y=x2+13×3 sin x.

Решение

Исходная функция представлена ​​в виде дроби, а значит, мы можем решить задачу с помощью дифференцирования. Однако эта функция довольно сложная, а значит, потребуется много преобразований. Поэтому здесь мы должны использовать логарифмическую производную y’=y ln(f(x))’. Объясним, почему такой расчет более практичен.

Начнем с поиска ln(f(x)). Для дальнейшего преобразования нам понадобятся следующие свойства логарифма:

• логарифм дроби можно представить как разность логарифмов;
• логарифм произведения можно представить в виде суммы;
• если выражение под логарифмом имеет степень, мы можем вынести его как коэффициент.

Преобразуем выражение:

ln(f(x))=ln(x2+1)13×3 sin x12=ln(x2+1)13-ln(x3 sin x)12==13ln(x2+1)-32ln x-12ln sin x

В результате мы получили достаточно простое выражение, производные которого легко вычислить:

(ln(f(x)))’=13ln(x2+1)-32ln x-12ln sin x’==13ln(x2+1)’-32ln x’-12ln sin x’==13(ln(x2) +1))’-32(ln x)’-12(ln sin x)’==13 1×2+1 x2+1′-32 1x-12 1sin x (sin x)’==13 2xx2+1- 32x -cos x2 sinx

Теперь то, что мы сделали, нужно заменить формулой логарифмической производной.

Ответ: y’=y ln(f(x))’=x2+13×3 sin x 13 2xx2+1-32x-cos x2 sin x

Для закрепления материала изучите пару следующих примеров. Здесь будут приведены только расчеты с минимальными комментариями.

Пример 3

Дана экспоненциальная степенная функция y=(x2+x+1)x3. Вычислите его производную.

Решение:

y’=y (ln(f(x)))’=(x2+x+1)x3 ln(x2+x+1)x3’==(x2+x+1)x3 x3 (x2 +x+1)’==(x2+x+1)x3 x3’ln(x2+x+1)+x3ln(x2+x+1)’==(x2+x+1)x3 3×2 ln(x2+x+1))+x3 1×2+x+1 x2+x+1’==(x2+x+1)x3 3×2 ln(x2+x+1)+x32x+1×2+ x+1==(x2+x+1)x3 3×2 пер(х2+х+1)+2х4+х3х2+х+1

Ответ: y’=y (ln(f(x)))’=(x2+x+1)x3 3×2 ln(x2+x+1)+2×4+x3x2+x+1

Пример 4

Вычислите производную выражения y=x2+13 x+1 x3+14×2+2x+2.

Решение

Воспользуемся формулой логарифмической производной.

y’=y lnx2+13 x+1 x3+14×2+2x+2’==y lnx2+13+lnx+1+lnx3+14-lnx2+2x+2’==y 13ln(x2 +1)+12lnx +1+14ln(x3+1)-12ln(x2+2x+2)’==y (x2+1)’3(x2+1)+x+1’2(x+1)+(x3+1))’4×3+1-x2+2x+2’2×2+2x+2==x2+13 x+1 x3+14×2+2x+2 2×3(x2+1)+12(x+1)+3×24(x3+ 1)-2х+22(х2+2х+2)

Отвечать:

у’=х2+13 х+1 х3+14х2+2х+2 2х3(х2+1)+12(х+1)+3х24(х3+1)-2х+22(х2+2х+2).

Примеры решения задач

Пример №1

Найдите производную функции:

Решение:

Комментарий:

Последовательно определяем, из какого выражения взята производная (ориентируясь на результат последнего действия). В упражнении 1 сначала берется производная от суммы:
Затем для каждого из слагаемых используется правило вычисления производной сложной функции: производная
и умножается на
Полученный результат желательно упростить формулой:
В упражнении 2 сначала берется производная от частного:
а для производной знаменателя используется правило вычисления производной сложной функции (производной
умножается на
).

Пример №2

Найдите уравнение касательной к графику функции
точка

Решение:

Если
что

Затем
Вставляет эти значения в уравнение касательной
мы получаем:
Это
искомое уравнение касательной.

Комментарий:

Уравнение касательной к графику функции
в точке с абсциссой
обычно пишут так:
Чтобы написать это уравнение для заданной функции, необходимо найти
производная
и значение
. Для проведения соответствующих расчетов эту функцию удобно обозначить как
а чтобы найти его производную, используйте формулу производной произведения:

Пример №3

1) Постройте функцию
2) Найдите наибольшее значение параметра
, для которого уравнение
имеет один корень.

Комментарий:

Для выполнения упражнения 1 рассмотрим функцию
по общей схеме и по результатам исследования строим график. При проверке функции на четность и нечетность можно использовать тот факт, что бухгалтерская или нечетная функция включает точки в свою область определения. Поэтому область определения таких функций должна быть симметрична относительно точки 0. Если это условие не выполняется, то функция не может быть четной или нечетной. Для лучшего представления о виде графика целесообразно уточнить назначение функции в конце области определения
На
правильно (когда
) значение

Затем
(рис. 18.2). Но в
мы не можем провести такую ​​оценку (получаем неопределенность вида
В этом случае поведение функции при
можно уточнить дополнительными баллами.

При выполнении задания 2 целесообразно использовать графическую иллюстрацию решения. Это можно сделать двумя способами:

• I. Используя эквивалентные преобразования, приведите это уравнение к виду
  и по графику, построенному в упражнении 1, найти, сколько корней имеет уравнение
  для разных значений параметров
• II. Применить графическое решение непосредственно к уравнению
  (графики функций
  известного нам), а для изучения единственности корня использовать геометрический смысл производной.

Решение:

1) Исследуйте функцию

1. Объем определения:

2. Функция не является ни четной, ни нечетной, так как ее область определения не симметрична относительно точки 0. 3. Точки пересечения графика с осями координат. График не пересекает ось
На оси
это
Итак, в
мы получаем:

— абсцисса пересечения графика с осью
4. Производные и критические точки.

Производная существует на всей области определения функции
(то есть когда
), поэтому функция непрерывна на всей области определения.
Затем
Отсюда в
мы получаем
поэтому,
— критическая точка.

5. Отмечаем критические точки на области определения функции и находим знак
в каждом из полученных интервалов (рис. 18.1).

Составляем таблицу, где отмечаем интервалы возрастания, убывания и экстремумы функции.

6. Найдем координаты нескольких точек на графике функции:

Обратите внимание, что когда
верно (
)) значение
На самом деле,

7. По результатам исследования строим график функции
(см рис. 18.2).

Способ решения проблемы 2

Диапазон допустимых значений для этого уравнения
дается неравенством
Но потом
и это уравнение на ОДЗ эквивалентно уравнению
Решим последнее уравнение графически. Для этого построим функцию
(см упражнение 1) и график функции
(18.3). Как видите, уравнение
имеет один корень только для
и в
(на
уравнение имеет два корня, и когда
— уравнение не имеет корней). Следовательно, наибольшее значение параметра равно
, для которого уравнение
имеет один корень

II способ решения задачи 2

Рассмотрим графическую иллюстрацию (рис. 18.4) решения этого уравнения

Функция
увеличивается и принимает все значения от
График функции
это прямая линия, проходящая через начало координат. На
прямой
пересекает график функции
только в одной точке (линия 1 на рис. 18.4). Следовательно, уравнение (1) имеет единственный корень (фактически функция
возрастает, а функция
уменьшается, поэтому уравнение (1) может иметь только один корень).

На
уравнение (1) имеет вид
а также имеет один корень

На
прямой
можно коснуться графика функции
(прямая 2 на рис. 18.4). Тогда уравнение (1) будет иметь единственный корень. Также напрямую
может проходить в первой четверти под касательной (прямая 3 на рис. 18.4).

Тогда уравнение (1) будет иметь два корня. Если прямая линия
пройдет в первой четверти выше касательной (линия 4 на рис. 18.4), то уравнение (1) не будет иметь корней.

Узнайте, когда линия
будет касаться графика функции
Оставьте точку контакта
имеет абсциссу
Когда мы рассматриваем геометрический смысл производной, мы получаем, что
(значение производной в точке
равен наклону касательной, проходящей через точку
). Потому что
Итак, из равенства
у нас есть
Отсюда
Тогда уп = В -. С другой стороны, поскольку точка соприкосновения
находится на касательной
то его координаты также удовлетворяют уравнению касательной. Мы получаем
Затем
поэтому,
Таким образом, это уравнение будет иметь единственный корень только тогда, когда
и в
. Тогда наибольшее значение параметра
, для которого уравнение
имеет один корень

Пример №4

Докажите, что для всех действительных значений
неравенство

Решение:

Рассмотрим особенность

Домен:

Производная
существует во всей области определения. Отсюда функция
непрерывно по всей числовой прямой:

— критическая точка. Отмечаем критическую точку на области определения функции
определяем знаки производной и функции функции в каждом из полученных интервалов (рис. 18.5).

Как видите, непрерывная функция
имеет на интервале
только одна критическая точка, точка минимума, в которой функция принимает наименьшее значение на этом интервале. Тогда для всех действительных значений
ценности
это
Поэтому,
для всех реальных значений
.

Комментарий:

Воспользуемся производной, чтобы доказать это неравенство. Для этого изучим функцию
что является разностью между левой и правой частями неравенства. Для всех реальных значений
эта функция не возрастает и не убывает, поэтому рассуждения, приведенные для решения предыдущих задач, не могут быть использованы. Затем в результате исследования попробуем найти наибольшее или наименьшее значение функции

по всей числовой прямой. Для этого можно использовать свойство: если непрерывная функция
имеет только одну точку экстремума на заданном интервале
и это точка минимума, поэтому на этом интервале функция принимает минимальное значение в точке
. Тогда воспользуемся тем, что когда в точке

функция принимает наименьшее значение в заданном интервале, тогда для всех значений
из этого интервала
(при необходимости можно также указать, что знак равенства достигается только в точке
).

При доказательстве числовых неравенств или сравнении двух чисел часто бывает удобно перейти к более общему функциональному неравенству

Пример №5

Сравните числа

Комментарий:

Чтобы спланировать решение, можно рассуждать следующим образом. Мы не знаем, какое из этих чисел наибольшее:
или
, поэтому в ходе анализа ставим между ними знак «
«. Этот знак неравенства, указывающий острым концом вниз, говорит о том, что мы не знаем, в каком направлении указывать. Выполним преобразование неравенства, пока не узнаем, какое число наибольшее.

Затем заменяем знак «
» соответствующий знак неравенства: «
«или «
», который мы запишем в решении. (При анализе при необходимости изменить знак неравенства знак «
» изменить на символ «

», а в записи решения в нужном месте меняем знак неравенства.) При анализе формы регистрации
также будет называться неравенством (но, конечно, не решением). Учитывайте несоответствие
Это неравенство с положительными членами (

), поэтому обе его части можно взять в виде логарифма. Поскольку функция
увеличивается, то после логарифмирования обеих частей по основанию
знак неравенства не меняется, и мы получаем неравенство
в этом разница
Потому что
то после деления обеих частей последнего неравенства на
знак неравенства не меняется, и мы получаем неравенство
Заметим, что левая и правая части этого неравенства содержат значения одной и той же функции
Давайте исследуем эту функцию, используя восходящие и нисходящие производные.

Кроме того, учитывая, что
сравним полученные выражения, а затем заданные выражения (проведя все преобразования как при анализе, только в обратном порядке).

Решение:

Рассмотрим особенность
Объем:
Производная
существует во всей области определения. Узнайте, когда
Таким образом, в области определения мы получаем эквивалентное уравнение
это
— критическая точка. Отмечаем критическую точку на области определения функции
и определить знаки производной и функции функции в каждом из полученных интервалов (рис. 18.6).

Функция
уменьшается на интервале
а так как она непрерывна на всей области определения, то и убывает на отрезке
Потому что
что
это
Умножьте обе части этого неравенства на положительное число
(знак неравенства не меняется), получаем неравенство
Затем
Поскольку функция
увеличение

Отвечать:

Пример №6

Решите уравнение

Комментарий:

Если мы попытаемся применить к этому уравнению схему решения показательных уравнений (см стр. 178), то сможем реализовать только первый ее пункт — избавиться от числовых членов в показателях. Но нельзя привести все степени к одному основанию (с удобными показателями степени) или к двум основаниям для получения однородного уравнения, или перевести все слагаемые в одну сторону и разложить полученное выражение на множители. Попробуем использовать свойства соответствующих функций. Но и на этом пути мы пренебрегаем конечностью ОДЗ (она бесконечна), оценкой значений левой и правой частей уравнения (они обе находятся в пределах
). Также нельзя пользоваться теоремами о корнях уравнений (в обеих частях этого уравнения стоят возрастающие функции). Далее попробуем найти корни этого уравнения и доказать, что других корней оно не имеет (уравнение удобно временно привести к виду
). Последовательно заменить
понять это
это уравнение

имеет три корня. Чтобы убедиться в отсутствии других корней, достаточно доказать, что функция
не более трех интервалов увеличения или уменьшения; и учитывая преемственность
на всей числовой прямой, для этого достаточно доказать, что она имеет не более двух критических точек, т е уравнение
имеет не более двух корней. Теперь рассмотрим уравнение
после его преобразования можно провести аналогичные рассуждения, но уже для двух корней (как это сделано в примере на стр. 139). Выполнение преобразований уравнений

, учтем, что все члены имеют одинаковую степень —
(т е однородна по трем функциям переменной
, фактически:
). Разделив обе части уравнения
степени по основанию 2, 3 или 4, можно уменьшить количество выражений с переменной на единицу.

Решение:

Это уравнение эквивалентно уравнению
это,

Обозначать
Потому что

тогда уравнение
имеет три корня: 0, 1, 3. Докажем, что уравнение (1) не имеет других корней. Для этого достаточно доказать, что функция
интервалов возрастания или убывания не более трех, а учитывая непрерывность функции
на всей прямой достаточно доказать, что функция имеет не более двух критических точек. Домен:

Производная
существует для всех значений
. Следовательно, критические и точки и могут иметь только эти значения
, по которому
Мы получаем уравнение

Потому что
то после деления обеих частей последнего уравнения на
получаем эквивалентное уравнение

Чтобы доказать, что уравнение (2) имеет не более двух корней, достаточно доказать, что функция
стоит в левой части уравнения, имеет не более двух интервалов возрастания или убывания. Учитывая непрерывность этой функции на всей вещественной прямой, достаточно доказать, что она имеет только одну критическую точку. На самом деле,
существует для всех значений
. Поэтому только эти значения могут быть критическими точками
, по которому
Получаем однородное уравнение

Потому что
поэтому, разделив обе части уравнения на это выражение, мы получим эквивалентное уравнение
Отсюда
. При условии, что
мы получаем:
Следовательно, последнее уравнение имеет единственный корень. Тогда функция
имеет единственную критическую точку, поэтому уравнение (2) имеет не более двух корней. Это означает, что функция
имеет не более двух критических точек. Тогда уравнение (1) (а значит, и это уравнение) имеет не более трех корней. Но мы уже знаем три корня этого уравнения: 0, 1, 3, поэтому других корней у этого уравнения нет. Ответ: 0, 1, 3.

Производные показательной и логарифмической функций — формулы и доказательство

Докажем следующие формулы производных:

1. Пусть задана функция
Исправить произвольное значение
аргумент и увеличить его 
Тогда функция возрастает

Поэтому,

Если 
Это следует из того, что наклон касательной к графику функции 
в точку
равно 1 рис. 22. В математическом анализе доказывается следующее утверждение: если
Если значение
исправлено, когда 
важность 
не меняется. Следовательно, если 
Это означает, что функция 
дифференцируемый в каждой точке
и

2. Как известно, для каждого 
равенство
Поэтому

По теореме о производной комплексной функции

Итак, формула 2 доказана.

3. Если 

А по теореме о производной комплексной функции

Поэтому, 
отсюда 

4. На каждом 
по формуле перехода

Поэтому,

Используя проверенные формулы, можно найти производные любой экспоненциальной или логарифмической функции и, таким образом, исследовать эти функции.

Примечание! Если функция содержит логарифм сложного выражения, целесообразно прологировать выражение перед поиском его производной.

Пример №7

Найдите производную функции 

Решение:

Теперь мы можем вывести формулу производной степенной функции 
— произвольное действительное число. Если
Поэтому

Тогда формула 
ранее доказано только для натурального показателя 
верно для всех настоящих
и положительный 

Формулу для нахождения производной логарифмической функции можно вывести по-разному, используя тот факт, что функция 
функция, обратная 

Выясним, как связаны производные взаимно обратных функций.

Теорема Если функция 
обратим (строго монотонно) на отрезке 
и имеет ненулевую производную 
в любой точке этого интервала, то это обратная функция 
который также имеет производную 
более того:

Обоснуем эти формулы, используя геометрический смысл производной.

Позволять 
являются взаимно обратными функциями. Затем задают такую ​​же кривую (рис. 69). Если касательная к этой кривой в точке 
формы с осью
угол 
и с осью 
угол
что 
Потому что 
Из этого соотношения следует 
Строгое доказательство этой теоремы рассматривается в университетском курсе исчисления.

Воспользуемся формулой 
различать функцию 
функция, обратная 

Мы получаем:

Пример №8

Найдите производную функции:

Решение:

Пример №9

Напишите уравнение касательной к графику функции 
если точка касания имеет ординату 

Решение:

Найдите абсциссу точки касания: 
отсюда 

Найдем производную функции 
и стоимость точки 

Запишем касательное уравнение в виде 

или 
отсюда 

Пример №10

Найдите производную функции 

Решение:

Данная функция является суммой степенной и показательной функций. Для нахождения его производной воспользуемся соответствующими формулами: 

Определение производной показательной и логарифмической функций

Существует ли функция, производная которой равна самой функции? На этот вопрос легко ответить. Например, этим свойством обладает функция, которая является нулевой константой.

Можно ли указать такую ​​функцию
определяется на
ненулевая постоянная такая, что
для всех
? Ответ на этот вопрос не очевиден.

Оказывается, среди экспоненциальных функций
просто есть такая функция
для всех
. Для этой функции число, которое

нижняя часть степени, обозначенная буквой
, а сама функция имеет вид
Поэтому,

Установлено, что количество
— иррациональный. Его можно записать в виде бесконечной непериодической десятичной дроби:

Функция
называется показателем.

Отметим одну особенность экспоненциального графика.

У нас есть:

Следовательно, касательная к графику экспоненты в точке с абсциссой, равной нулю, имеет наклон, равный 1. То есть эта касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол 45° (рис. 23.1).

Выводим формулу для нахождения производной показательной функции

У нас есть:
Затем

Используя правило вычисления производной сложной функции, запишем:

Базовый логарифм
называется натуральным логарифмом и обозначается
это
Итак, в
можно написать:

Эта формула показывает, что существует прямо пропорциональная зависимость между значением производной экспоненциальной функции и соответствующим значением самой функции. Коэффициент пропорциональности равен

В разделе 20 мы установили, что логарифмическая функция
является дифференцируемым. Найдите формулу для вычисления производной логарифмической функции.

Для всех
равенство
Тогда функции
и

имеют ту же функцию. Следовательно, для любого
равенство
это

Левая часть этого равенства равна 1. В правой части получаем:
Затем
Отсюда

У нас есть:

Поэтому,

Пример №11

Найдите производную функции:

Решение:

1) Применяя теорему к производной произведения двух функций, получаем:

2) У нас есть:

3) Используя теорему о производной комплексной функции, запишем:

4) У нас есть:

5) Применяя теорему к производной комплексной функции, получаем:

6) У нас есть:

Пример №12

Равен касательной к графику функции

если эта касательная параллельна прямой

Решение:

Так как наклон прямой
равно 4, поэтому наклон искомой касательной
Найдите абсциссу
точки соприкосновения. У нас есть:
Потому что
что

Отсюда

Тогда искомое уравнение имеет вид

Отвечать:

Ответ: у = 4х + 1.

Пример №13

Найдите интервалы возрастания и убывания и точки экстремума функции:

Решение:

1) У нас есть:

Изучив знак производной функции
(рис. 23.2), получаем, что функция
увеличивается на интервале
уменьшается в интервале

2) У нас есть:

Исследуйте знак
на

У нас есть:
на
Отсюда
Точно так же мы находим его
на

Мы получаем эту функцию
увеличивается на интервале
уменьшается в интервале
(рис. 23.3).

3) У нас есть:

Затем
на
или
Следовательно, эта функция имеет две критические точки:
и
Изучив знак производной функции
на
(рис. 23.4), заключаем, что функция
увеличивается со временем
уменьшается в интервале

Пример №14

Докажите, что: 1) экспоненциальная функция
выпукла вниз; 2) когда
логарифмическая функция
выпукла вверх, а когда
выпуклая вниз.

Решение:

1) У нас есть:

Потому что
для всех
тогда экспоненциальная функция
является выпуклым вниз.

2) Напишем:

Если
что
Поэтому
для всех
Следовательно, когда
логарифмическая функция
является выпуклым вверх.

На
тем же способом мы это доказываем
и логарифмическая функция
является выпуклым вниз.