Как найти радиус описанной около квадрата окружности: через сторону, диагональ

Свойства квадрата

Все свойства параллелограмма, ромба, прямоугольника справедливы и для квадрата.

Признаки квадрата

Квадрат будет квадратом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1. Все стороны равны и между внутренними углами есть прямой угол.

2. Диагонали равны, перпендикулярны и, пересекаясь, делятся пополам.

3. Квадрат обладает вращательной симметрией: он не изменится при повороте на 90˚.

Окружность вписанная в квадрат

Чтобы формула нахождения радиуса вписанной окружности в квадрат r вычислялась правильно, необходимо сначала вспомнить, какими свойствами обладает эта фигура.
На площади:

• все углы прямые, то есть равны 90°;
• все стороны, как углы, равны;
• диагонали равны, точка пересечения строго делится пополам и пересекается под углом 90°.

При этом окружность, вписанная в выпуклый многоугольник, обязательно касается всех сторон. Обозначим квадрат ABCD, пересечение диагоналей O. Как видно из рисунка 1, пересечение прямых AC и BD дает равнобедренный треугольник AOB, где стороны AO=OB, углы OAB=ABO=45 °, а угол АОВ=90°. Тогда радиус вписанной окружности в квадрат будет не чем иным, как высотой ОЕ получившегося равнобедренного треугольника АОВ.

Если принять, что сторона квадрата равна у, то формула нахождения радиуса вписанной окружности в квадрат будет выглядеть так:

Пояснение: в равнобедренном треугольнике AOB высота OE или радиус r делит основание AB пополам (свойства), образуя прямоугольный треугольник с прямым углом OEB. В малом треугольнике EBO основание OB образует углы 45° со сторонами OE и EB. Значит треугольник EBO тоже равнобедренный. Стороны ОЕ и ЕВ равны.

Для наглядности приведем численный пример нахождения значения радиуса вписанной окружности в квадрат со стороной, равной 13 см. В этом случае значение вписанного радиуса будет:

Решение обратной задачи также несложно. Предположим, что известен радиус вписанной окружности — 9 см, тогда, разобрав пример нахождения значения радиуса вписанной окружности в квадрат, можно найти сторону квадрата:
Находим неизвестное значение из этого уравнения:
.

Читайте также: Радиус цилиндра

Окружность описанная около квадрата

Круг можно описать и вокруг квадрата. В этом случае каждая вершина фигуры будет касаться окружности. Следующая формула для нахождения радиуса описанной окружности вокруг квадрата будет еще проще. В этом случае R в описанной окружности будет равно половине диагонали квадрата. В буквальном виде формула выглядит так (рисунок 2):

Объяснение: после проведения диагоналей ABCD образовались два одинаковых прямоугольных треугольника ABC = CDA. Рассмотрим один из них. В треугольнике САПР:

• угол CDA=90°;
• стороны AD=CD. Нарисуйте равнобедренный треугольник;
• угол DAC равен ACD. Они равны под углом 45°.

Чтобы найти гипотенузу АС этого прямоугольного треугольника, нужно воспользоваться теоремой Пифагора:

, поэтому
Так как окружность касается углов квадрата, а пересечение диагоналей является центром описанной окружности (свойство), то отрезок ОС будет радиусом окружности. Это половина гипотенузы. Это утверждение следует из свойств равнобедренного треугольника или свойств диагоналей квадрата. Поэтому формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг квадрата в нашем случае имеет следующий вид:

Поскольку AD=CD, а свойства квадратного корня позволяют вынести одно из подкоренных выражений, формула принимает вид:

Числовой пример нахождения значения радиуса описанной окружности вокруг квадрата будет следующим.
Предположим, что диагональ квадрата
, затем:

Радиус описанной окружности квадрата

Радиус описанной окружности квадрата равен половине диагонали

а — сторона квадрата

г — диагональ

Формула радиуса описанной окружности квадрата (R):

Формулы вычисления радиуса описанной окружности

Через сторону квадрата

Радиус R окружности, описанной вокруг квадрата, равен длине стороны, умноженной на квадратный корень из двух и деленной на два.

Через диагональ квадрата

Радиус R описанной вокруг квадрата окружности равен половине диагонали d.

Окружность, вписанная в квадрат

Определение 5. Окружность называется вписанной в квадрат, если все ее стороны касаются этого квадрата (рис. 3):

Нахождения величины радиуса описанной окружности около квадрата при известной величине радиуса вписанной окружности.

Рассмотрим пример

Задача: радиус круга, вписанного в квадрат, равен
. Найдите радиус окружности, описанной вокруг этого квадрата.
Данный:

• треугольник ВВЭ — равнобедренный и прямоугольный;
• ОЕ=ЕС=<br>;
• ОЕС=90°;
• ЭОС=ОСЭ=45°;

Найти: ОС=?
Решение: в этом случае задачу можно решить с помощью либо теоремы Пифагора, либо формулы для R. Второй случай будет проще, так как формула для R выводится из теоремы.

Примеры задач

упражнение 1

Длина стороны квадрата равна 8 см. Найдите радиус описанной вокруг него окружности.

Решение

Воспользуемся первой формулой, рассмотренной выше:

Задача 2

Вычислите длину диагонали квадрата, если радиус описанной окружности равен 6 см.

Решение

Как известно, радиус описанной окружности равен половине диагонали квадрата. Следовательно, общая длина диагонали равна 12 см (6 см ⋅ 2).