Как найти радиус описанной около правильного многоугольника окружности: формула

Вычисления

Понятие правильного многоугольника

Выпуклый многоугольник может иметь все стороны и все углы одновременно. В этом случае он называется правильным многоугольником.

Мы уже знаем некоторые правильные многоугольники. Например, правильный треугольник. У него все стороны равны по его определению, а все углы равны 60°. Поэтому его иногда так и называют – прямоугольный треугольник. Среди четырехугольников правильной фигурой является четырехугольник, который также по определению имеет те же стороны, а углы уже равны 90°.

Обратите внимание, что есть фигуры, у которых все стороны равны, но углы разные. Примером такой фигуры является ромб. Возможна и обратная ситуация — все углы фигуры одинаковы, а стороны разной длины. Это прямоугольник. Важно понимать, что такие формы (особенно ромб и прямоугольник) НЕ являются правильными.

Для заданного числа n, начиная с n = 3, можно построить правильный n-угольник. На рисунке ниже показано несколько примеров таких n-угольников:

Это соотношение, которое позволяет определить угол правильного многоугольника. Мы уже знаем, что в любом выпуклом n-угольнике сумма углов равна 180°(n–2). Обозначим угол правильного многоугольника буквой α. Поскольку n-угольник имеет ровно n вершин, и все они равны, мы можем написать уравнение:

Нетрудно проверить, что эта формула верна для равностороннего треугольника и квадрата и позволяет правильно определить углы на этих фигурах. Для треугольника n = 3 получаем 60°:

Упражнение. Какова величина углов правильного пятиугольника, шестиугольника, восьмиугольника, пятиугольника?

Решение. Нужно просто подставить в формулу количество сторон правильного многоугольника. Сначала рассмотрим для пятиугольника:

Упражнение. Сколько сторон должно быть у правильного многоугольника, чтобы каждый угол был равен 179°?

Решение в формуле

Упражнение. Может ли это быть правильный многоугольник с углом 145°?

Решение. Предположим, что он существует. Затем по аналогии с предыдущей задачей находим количество страниц:

Мы получили не целое, а дробное количество страниц. Естественно, это невозможно, и поэтому такого многоугольника не может быть.

Признаки правильного многоугольника

Многоугольник будет правильным, если выполняется следующее условие: Все стороны и углы равны:

a1=a2=a3=…=an-1=an

α1 = α2 = α3 =… = αn-1 = αn

Основные свойства правильного многоугольника

1. Все стороны равны:
a1=a2=a3=…=an-1=an2. Все углы равны:
α1 = α2 = α3 =… = αn-1 = αn3. Центр вписанной окружности Ов совпадает с центром описанной окружности Оо, образующей центр многоугольника О4. Сумма всех углов n-угольника равна:

180° (n — 2)

5. Сумма всех внешних углов n-угольника равна 360°:

β1 + β2 + β3 +… + βn-1 + βn = 360°

6. Количество диагоналей (Dn) n-угольника равно половине произведения количества вершин на количество диагоналей, выходящих из каждой вершины:

Дн = п (п — 3)
2

7. В любой многоугольник можно вписать окружность и описать окружность, при этом площадь кольца, образованного этими окружностями, зависит только от длины стороны многоугольника:

С = π а2
4

8. Все биссектрисы угла между сторонами равны и проходят через центр правильного многоугольника O

Описанная и вписанная окружности правильного многоугольника

Докажем важную теорему о правильном многоугольнике.

Для доказательства обозначим вершины произвольного правильного n-угольника буквами A1, A2, A3…An. Затем проводим биссектрисы углов ∠А1 и ∠А2. Они пересекаются в некоторой точке O. Соедините O с другими вершинами многоугольника отрезками OA3, OA4 и т д

∠A1 и ∠A2 совпадают по определению правильного многоугольника:

Из этого факта вытекают два сходства:

Оказывается, OA3 также является биссектрисой ∠A3. Итак, повторяя все предыдущие рассуждения, можно доказать равенство, подобное (1):

Это равенство означает, что точка O равноудалена от вершин многоугольника. Это означает, что можно построить окружность с центром в точке O, где будут лежать все вершины многоугольника:

Естественно, такая описанная окружность только одна, потому что через три точки, особенно через А1, А2 и А3, можно провести только одну окружность, часы и так далее

Продолжим рассмотрение нашей конструкции с описанной окружностью. Ясно, что ∆OA1A2, ∆OA2A3, ∆OA3A4,.. равны, потому что у них одни и те же 3 стороны. Опустим высоты OH1, OH2, OH3 из точки O на стороны многоугольника.

Так как высоты нарисованы в равных треугольниках, то и сами они равны:

Теперь нарисуем окружность с центром в точке O и радиусом отрезка OH1. Он также должен проходить через точки H2, H3,… Hn. Также отрезки OH1, OH2, OH3 будут радиусами. Поскольку они перпендикулярны сторонам многоугольника, эти же стороны будут касаться окружности (на основе касательной). Итак, этот круг вписан:

Понятно, что такая окружность будет единственной вписанной. Если бы существовала вторая вписанная окружность, то ее центр был бы равноудален от сторон многоугольника, а значит, лежал бы на пересечении биссектрис углов ∠A1, ∠A2, ∠A3, т е в точке O Так как расстояние от О до А1А2 составляет отрезок ОН1, вторая окружность будет иметь именно такой радиус. Получается, что вторая окружность будет полностью совпадать с первой, так как их центр будет в одной точке, а радиусы будут одинаковыми.

Примечание. Точка, являющаяся центром как вписанной, так и описанной окружности, называется центром правильного многоугольника.

Еще раз вернемся к приведенному выше доказательству и заметим, что высоты OH1, OH2, OH3, . проведены в равнобедренных треугольниках ∆OA1A2, ∆OA2A3, ∆OA3A4,… Следовательно, эти высоты также являются медианами, т.е точки H1, H2, H3, .. — середины сторон многоугольника.

Упражнение. Могут ли две биссектрисы, проведенные в правильном многоугольнике, быть параллельны друг другу?

Решение. Центр правильного многоугольника находится в точке пересечения всех биссектрис. То есть две биссектрисы будут иметь хотя бы одну общую точку. Параллельные прямые не имеют общих точек. Оказывается, биссектрисы не могут быть параллельны.

Примечание. Аналогичное утверждение можно доказать для серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам правильного многоугольника.

Читайте также: Что такое прямая: определение, свойства, взаимное расположение

Свойства

одна сторона
α, β — углы
Р — окружность
S — площадь
r — радиус вписанной окружности
R — радиус описанной окружности Радиус описанной окружности правильного многоугольника

Формула расчета радиуса окружности

На рисунке показан правильный шестиугольник с описанной вокруг него окружностью, но приведенная ниже формула работает для любого правильного n-угольника.

Формула вычисления радиуса окружности, описанной около правильного многоугольника

где а — длина стороны.

Примечание. Зная радиус описанной окружности, можно найти сторону равностороннего n-угольника (формула получена из приведенной выше):

Формула вычисления стороны правильного многоугольника через радиус описанной окружности

Если известна сторона вписанного правильного многоугольника

, где a — сторона правильного многоугольника, N — количество сторон.

В правильном многоугольнике все стороны равны.

формула радиуса окружности, если известна сторона вписанного правильного многоугольника

Радиус описанной окружности правильного многоугольника

r_mnogougol1.png

а — сторона многоугольника

N — количество сторон многоугольника

Формула радиуса описанной окружности правильного многоугольника (R):

r_mnogougol2_f.png

Калькулятор — рассчитать, найти радиус описанной окружности правильного многоугольника

Нахождение радиуса описанной вокруг правильного многоугольника окружности

В публикации представлена ​​формула, с помощью которой можно найти радиус окружности, описанной вокруг правильного многоугольника, а также пример решения задачи для лучшего понимания изложенного материала.

Пример задачи

Дан правильный пятиугольник со стороной 8 см. Вычислите радиус описанной окружности вокруг этой фигуры.

Решение:
Воспользуемся соответствующей формулой, подставив в нее известную нам величину.

Пример нахождения радиуса окружности, описанной около правильного многоугольника

Оцените статью
Блог о Microsoft Word