Как найти радиус описанной около треугольника abc окружности

Вычисления

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1. Серединой перпендикуляра к отрезку называется прямая, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его центр (рис. 1).

Свойство биссектрисы перпендикуляра

Рисунок 1

Теорема 1. Каждая точка биссектрисы отрезка равноудалена от концов этого отрезка.

Доказательство. Рассмотрим произвольную точку D, лежащую на биссектрисе, перпендикулярной отрезку AB (рис. 2), и докажем, что треугольники BDC и ADC подобны   .

Свойство биссектрисы перпендикуляра

Рис.2

На самом деле эти треугольники являются прямоугольными, у которых катеты АС и ВС равны, а катеты DC общие. Подобие треугольников ADC и BDC влечет подобие отрезков AD и DB. Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (обратная теореме 1). Если точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство. Докажем теорему 2 методом «от противного». Для этого предположим, что точка E равноудалена от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведем это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки Е и А лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис. 3). В этом случае отрезок ЕА пересекает серединный перпендикуляр в точке, которую мы будем обозначать буквой D.

Свойство биссектрисы перпендикуляра

Рис.3

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB. На самом деле,

Таким образом, в случае, когда точки Е и А лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Свойство биссектрисы перпендикуляра

Рис.4

Теперь рассмотрим случай, когда точки Е и А лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис. 4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE. На самом деле,

Полученное противоречие завершает доказательство теоремы 2

Читайте также: Ромб

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2. Окружностью, описанной вокруг треугольника, называется окружность, проходящая через все три угла треугольника (рис. 5). В этом случае треугольник называется вписанным треугольником или вписанным треугольником.

Окружность, описанная около треугольника Треугольник, вписанная в окружность

Рис.5

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Фигура Рисунок Свойство
Средне-перпендикулярный
к сторонам треугольника
Свойство биссектрисы перпендикуляра Все середины перпендикуляров, проведенных к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Посмотреть доказательства
Окружность, описанная вокруг треугольника Окружность, описанная около треугольника Треугольник, вписанная в окружность Вокруг любого треугольника можно описать окружность. Центром окружности, описанной вокруг треугольника, является точка пересечения всех серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника.
Посмотреть доказательства
Центр окружности, описанной около остроугольного треугольника Центр окружности, описанной вокруг остроугольного треугольника, лежит внутри треугольника.
Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника Окружность описана около прямоугольного треугольника Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является серединой гипотенузы.
Посмотреть доказательства
Центр окружности, описанной около тупоугольного треугольника Окружность, описанная вокруг свойства радиуса центра треугольника Центр окружности, описанной около тупоугольного треугольника, лежит вне треугольника.
Теорема синусов Теорема синусов Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

,

где a, b, c — стороны треугольника, A, B, C — углы треугольника, R — радиус описанной окружности.

Посмотреть доказательства

Площадь треугольника Формула площади треугольника через радиус описанной окружности Для любого треугольника верно равенство:

S = 2R2 sin A sin B sin C ,

где А, В, С — углы треугольника, S — площадь треугольника, R — радиус описанной окружности.

Посмотреть доказательства

Радиус описанной окружности Формула радиуса описанной окружности Для любого треугольника верно равенство:

где а, b, с — стороны треугольника, S — площадь треугольника, R — радиус описанной окружности.

Посмотреть доказательства

Середина перпендикулярна сторонам треугольника
Свойство биссектрисы перпендикуляра

Все середины перпендикуляров, проведенных к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Посмотреть доказательства

Окружность, описанная вокруг треугольника
Окружность, описанная около треугольника Треугольник, вписанная в окружность

Вокруг любого треугольника можно описать окружность. Центром окружности, описанной вокруг треугольника, является точка пересечения всех серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника.

Посмотреть доказательства

Центр окружности, описанной около остроугольного треугольника
Окружность, описанная около треугольника Треугольник, вписанная в окружность

Центр окружности, описанной вокруг остроугольного треугольника, лежит внутри треугольника.

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника
Окружность описана около прямоугольного треугольника

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является серединой гипотенузы.

Посмотреть доказательства

Центр окружности, описанной около тупоугольного треугольника
Окружность, описанная вокруг свойства радиуса центра треугольника

Центр окружности, описанной около тупоугольного треугольника, лежит вне треугольника.

Теорема синусов
Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

,

где a, b, c — стороны треугольника, A, B, C — углы треугольника, R — радиус описанной окружности.

Посмотреть доказательства

Площадь треугольника
Формула площади треугольника через радиус описанной окружности

Для любого треугольника верно равенство:

S = 2R2 sin A sin B sin C ,

где А, В, С — углы треугольника, S — площадь треугольника, R — радиус описанной окружности.

Посмотреть доказательства

Радиус описанной окружности
Формула радиуса описанной окружности

Для любого треугольника верно равенство:

где а, b, с — стороны треугольника, S — площадь треугольника, R — радиус описанной окружности.

Посмотреть доказательства

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3. Все средние перпендикуляры, проведенные к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство. Рассмотрим две биссектрисы, проведенные к сторонам АС и АВ треугольника АВС, и обозначим точку их пересечения буквой О (рис. 6).

Описанная окружность треугольника — это серединный перпендикуляр к свойству доказательства

Рис. 6

Так как точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC, то в силу теоремы 1 имеет место следующее равенство:

СО = АО .

Так как точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB, то в силу теоремы 1 имеет место следующее равенство:

АО=БО .

Следовательно, справедливо равенство:

СО=ВО ,

отсюда, используя теорему 2, заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Последствие. Вокруг любого треугольника можно описать окружность. Центром окружности, описанной вокруг треугольника, является точка пересечения всех серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника.

Доказательство. Рассмотрим точку O, в которой пересекаются все биссектрисы, проведенные к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено следующее равенство:

АО=ОВ=ОС ,

откуда следует, что окружность с центром в точке О и радиусами ОА, ОВ, ОС проходит через все три вершины треугольника АВС, что и требовалось доказать.

Теорема 4 (теорема синусов). Для любого треугольника (рис. 7)

Теорема синусов

Рис.7

сходство верно:

.

Доказательство. Докажем сначала, что длина R окружности радиуса R окружности радиуса , на которую опирается вписанный модуль угла φ, вычисляется по формуле:

l = 2Rsin φ . (1)

Сначала рассмотрим случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис. 8).

Описанная окружность треугольника — это серединный перпендикуляр к свойству доказательства

Рис. 8

Угол MPN, как и угол, основанный на диаметре, является прямым углом; угол, основанный на диаметре, является прямым углом, а равенство (1) следует из определения синуса угла прямоугольного треугольника.

Так как все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для любого вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, где одна из сторон есть диаметр окружности.

Формула (1) доказана.

Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем

Теорема синусов доказана.

Доказательство следствия из теоремы синусов

Теорема синусов имеет важное следствие. Нарисуем треугольник, опишем вокруг него окружность и рассмотрим следствие через радиус.

рассмотрим следствие с точки зрения радиуса

, где R — радиус окружности, описанной вокруг треугольника.

Так образовались три формулы радиуса описанной окружности:

Основной смысл следствия из теоремы синусов заключается в этой формуле:

Двойной радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.

Для доказательства следствия теоремы синусов рассмотрим три случая.

1. Угол ∠A = α острый в треугольнике ABC.

острый в треугольнике ABC

Начертите диаметр BA1. В этом случае точка А и точка А1 лежат в одной полуплоскости от прямой ВС.

Используя теорему о вписанном угле, получаем, что ∠А = ∠А1 = α. Треугольник BA1C прямоугольный в том смысле, что ∠ BCA1 = 90°, так как он опирается на диаметр BA1.

Чтобы найти катет ai треугольника BA1C, умножьте гипотенузу BA1 на синус противолежащего угла.

BA1 = 2R, где R — радиус окружности

Поэтому:

Для остроугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

2. В треугольнике ABC угол ∠A = α тупой.

Начертите диаметр окружности BA1. Точки A и A1 по разные стороны от прямой BC. Квадрат ACA1B вписан в окружность, и его основное свойство состоит в том, что сумма противоположных углов равна 180°.

Следовательно, ∠А1 = 180° — α.

тупоугольный треугольник АВС

Вспомните свойство квадрата, вписанного в окружность:

Также известно, что sin(180° — α) = sinα.

В треугольнике BCA1 угол C при вершине равен 90°, так как он опирается на диаметр. Следовательно, находим катет a таким образом:

А = 2R sin (180° — a) = 2R sin

Поэтому:

Для тупоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

3. Угол ∠А = 90°.

Угол ∠А = 90

В прямоугольнике ABC угол A прямой, а противолежащая сторона BC = α = 2R, где R — радиус описанной окружности.

Поэтому:

Для прямоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

Для тех, кто хочет связать жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы профильной математики.

Примеры решения задач

Теорема синусов и ее следствия активно используются для решения задач. Давайте рассмотрим несколько примеров для закрепления материала.

Пример 1. В треугольнике ABC ∠A = 45°, ∠C = 15°, BC = 4√6. Найдите переменный ток.

Пример решения задачи на теорему синусов

Как мы решаем:

  • Согласно теореме о сумме углов треугольника:

    ∠А + ∠В + ∠С = 180°

    ∠В = 180° — 45° — 15° = 120°

  • Находим сторону переменного тока по теореме синусов:

Ответ: АС = 12.

Пример 2. Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника соответственно равны 10 и 8 см. Найдите угол против данного катета.

Как мы решаем:

Возьмем за х неизвестный угол. Тогда соотношение сторон выглядит так:

Поэтому:

Фонды .

Ответ: Угол примерно равен 53,1°.

Формулы вычисления радиуса описанной окружности

Произвольный треугольник

Радиус окружности, описанной вокруг треугольника, рассчитывается по формуле:

Формула вычисления радиуса окружности, описанной около треугольника

где a, b, c — стороны треугольника, S — площадь.

Прямоугольный треугольник

Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы или высоте, проведенной к гипотенузе.

Равносторонний треугольник

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, рассчитывается по формуле:

Формула вычисления радиуса окружности, описанной около равностороннего треугольника

где а — сторона треугольника.

Найти радиус описанной окружности треугольника по сторонам

радиус описанной окружности треугольника

один
, б
, с синий
— стороны треугольника

р12 черный
— полупериметр

с (абв) 2

о черный
— центр круга

Формула радиуса описанной окружности треугольника (R) :

Формула радиуса описанной окружности треугольника

Найти радиус описанной окружности равностороннего треугольника по стороне или высоте

радиус описанной окружности равностороннего треугольника

страница
— сторона треугольника

высота
— высота

радиус
— радиус описанной окружности

Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через сторону:

Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через сторону

Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника в пересчете на высоту:

Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через высоту

Найти радиус описанной окружности равнобедренного треугольника по сторонам

Как только вы узнаете стороны равнобедренного треугольника, вы можете использовать формулу, чтобы найти радиус описанной окружности вокруг этого треугольника.

радиус описанной окружности равнобедренного треугольника

а, б — стороны треугольника

Формула радиуса описанной окружности равнобедренного треугольника (R):

Формула радиуса описанной окружности равнобедренного треугольника

Найти радиус описанной окружности прямоугольного треугольника по катетам

Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы.

радиус описанной окружности прямоугольного треугольника

а, б — катеты прямоугольного треугольника

в — гипотенуза

Формула радиуса описанной окружности прямоугольного треугольника (R):

Формула радиуса описанной окружности прямоугольного треугольника

Примеры задач

упражнение 1
Дан треугольник со сторонами 4, 6 и 9 см. Найдите радиус описанной вокруг него окружности.

Решение
Сначала нам нужно найти площадь треугольника. Поскольку мы знаем длины всех сторон, мы можем использовать формулу Герона:

Пример расчета площади треугольника по формуле Герона

Теперь мы можем использовать первую формулу выше, чтобы вычислить радиус круга:

Пример вычисления радиуса окружности, описанной вокруг треугольника, через стороны и площадь

Задача 2
Дан треугольник, у которого известны две из трех сторон: 6 и 8 см. Найдите радиус описанной вокруг него окружности.

Решение
Треугольник со сторонами 6 и 8 см может быть только прямоугольным, а стороны, известные по условиям задачи, являются катетами. Таким образом, мы можем найти гипотенузу фигуры по теореме Пифагора:

Пример нахождения гипотенузы прямоугольного треугольника по теореме Пифагора

Как известно, радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы, поэтому: R = 10 : 2 = 5.

Оцените статью
Блог о Microsoft Word