Как найти радиус вписанного в прямой цилиндр шара (сферы)

Касательная прямая к сфере. Касательная плоскость к сфере

Определение 1. Прямая называется касательной к сфере (прямой, касающейся сферы), если прямая имеет единственную общую точку со сферой. Общую точку касания прямой и собери найти точку касания (рис. 1).

Рисунок 1

Прямая касается сферы тогда и только тогда, когда эта прямая проходит через точку касания и перпендикулярна радиусу сферы через точку касания.

Набор прямых, которые касаются сферы в некоторой точке, образуют касательную плоскость к сфере в этой точке (рис.2).

Рис. 2

Плоскость касается сферы только тогда и только тогда, когда плоскость и сфера имеют общую точку, и только одну.

Плоскость касается сферы только тогда и только тогда, когда плоскость и сфера имеют общую точку, а плоскость перпендикулярна радиусу сферы, проведенному к этой точке.

Точка пересечения сферы и ее касательной плоскости называется точкой касания.

Сфера, вписанная в цилиндр

Определение 2. Сферой, вписанной в цилиндр, называется сфера, которая касается плоскостей обоих оснований цилиндра, причем каждый образующий цилиндр касается сферы (рис. 3).

Рис. 3

Одежда 3. Если шфера вписана в цилиндр, то цилиндр будет спасенным около сферы.

Из рисунка 3 видно, что следующие два утверждения верны.

Подтверждение 1. Около очень сверла можно описать цилиндр.

Утверждение 2. Шар можно вписать в цилиндр тогда и только тогда, когда высота цилиндра равна диаметру его основания.

Замечание. В том случае, когда шар можно вписать в цилиндр, радиус вписанного шара равен радиусу основания цилиндра.

Отношение объемов шара и цилиндра, описанного около сферы, ограничивающей этот шар

Задача. Найти отношение объема сферы и цилиндра, описанного вокруг сферы, ограничивающей эту сферу.

Решение. Если R — радиус шара, то объем шара вычисляется по формуле

2р а высота ревана R ,У специального около собрания цилиндра радиу останция реван Том обем цилиндра реван

Следовательно,

Читайте также: Ломаная линия: звенья, вершины, длина

Нахождение радиуса шара/сферы

Радиус зависит от того, насколько точно сфера (сфера) вписана в цилиндр. Вы можете сделать это тремя способами:

1. Шар/сфера касается обоих оснований и боковой поверхности цилиндра

• Радиус (R) равен половине высоты цилиндра (h), а радиус (R) равен его основанию.
• Диаметр (d) шара соответствует его диаметру (R) или выше (h) цилиндра.

2. Шар/сфера касается только оснований цилиндра

Радиус (R) равен половине цилиндра (h.

3. Шар/сфера касается только боковой поверхности цилиндра

В этом случае радиус (R) оболочки равен радиусу (R) основания цилиндра.

Примечание: еще раз подчеркнем, что приведенная выше информация относится только к прямому цилиндру.

Вписанный в шар цилиндр

Предположим, что тел: шар и вписанный в шар цилиндр.

Цилиндр записывают в окружность, если окружность его основания лежит на поверхности окружности. В этом случае также говорят, что вокруг цилиндра описана окружность. Центр шара лежит на оси цилиндра.

Так же, как и при решении задач о шаре, вписанном в цилиндр, чаще всего рассматривают сечение совмещенной плоскости, проходящей через ось цилиндра. Это сечение представляет собой вписанный в периметр прямоугольник, стороны которого равны высоте конуса и диаметру его основания. Центр окружности лежит на пересечении диагоналей прямоугольника.

Рассмотрим пример такого осевого сечения. Здесь точка O — центр, описанный вокруг цилиндра шара, BD — диаметр шара, OD=R — радиус шара, AB=H — форма и высота цилиндра, AD — диаметр цилиндра, FD=r — радиус цилиндра.

угол ABD = frac{1}{2}угол AOD» src=»https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7567b03adb7c24257dadb1e70012be0b_l3.png» width=»147″ height=»36″>

(так же пишутся и центральные углы, опирающиеся на одну дубугу н.э).

Треугольник AOD — равнобедренный (AO=OD=R), в нем OF=H/2 — высота, медиана и биссектриса.

Треугольный ОФД — прямоугольник. По теореме Пифагора получаем соотношение, связывающее радиус сферы с радиусом и высотой цилиндра, вписанного в сферу:

O{D^2} = O{F^2} + F{D^2}, стрелка вправо » src=»https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2f9164536189bed781a69e072f77a05e_l3.png» width=»179″ height=»21″>

{R^2} = {(frac{H}{2})^2} + {r^2}.» src=»https://www.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-31c1b9973089ea02c4bc8e2137def658_l3.png» width=»129″ height=»37″>

Это же соотношение можно получить из прямоугольного треугольника ABD: по теореме Пифагора