Как найти радиус вписанной в квадрат окружности: через сторону, диагональ

Свойства квадрата

Свойства квадрата – это основные признаки, позволяющие распознать его среди прямоугольников, ромбов, квадратов:

• В четырехугольнике все стороны и углы равны AB=BC=CD=AD.
• Противоположные стороны параллельны
• Углы между соседними сторонами прямые.
• Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом.
• Диагонали также являются биссектрисами углов квадрата.
• Точка пересечения диагоналей является центром квадрата, а также центром вписанной и описанной окружности.
• Диагонали делят квадрат на четыре равных равнобедренных прямоугольных треугольника .

Площадь квадрата

Несколько примеров в школьном курсе при изучении квадрата связаны с вычислением площади и периметра. Вам может показаться, что для вычисления площади достаточно знать одну формулу S=a*a, и этого достаточно для всех задач, но это не так. Поскольку информация быстро воспринимается и изучается визуально, мы объединили все значения квадрата, которые вы будете вычислять, и нарисовали простые и понятные рисунки с формулами. Вы можете легко скачать их по ссылке внизу статьи.

Большая часть обозначений вам понятна, но повторим их еще раз
а — сторона квадрата;
д — диагональ;
Р – окружность;
S– площадь;
R — радиус описанной окружности;
r — радиус вписанной окружности;
отрезок l показан на рисунке (часто используется в сложных примерах).

Формулы площади квадрата, которые приведены ниже, позволяют вычислить ее через периметр, сторону, диагонали, радиусы .

Они не слишком сложны и каждый из них может вам пригодиться для вычисления площади квадрата.

Периметр квадрата

Что может быть проще вычисления периметра квадрата, если стороны конечно известны. Но если даны только диагональ, площадь, радиус, то нахождение периметра не так очевидно. На рисунке ниже приведены самые необходимые формулы для расчета параметра

Диагональ квадрата

Диагональ квадрата можно выразить через радиусы вписанных, описанных окружностей, стороны, периметра, площади по следующим формулам.

Вы можете использовать следующий рисунок в качестве ссылки для квадратичных диагональных формул.

Нахождение радиуса вписанной в квадрат окружности

В данной публикации мы рассмотрим формулы, по которым можно вычислить радиус окружности, вписанной в квадрат. Также разберем примеры решения задач для закрепления теоретического материала.

Формулы вычисления радиуса вписанной окружности

Через сторону квадрата

Радиус r окружности, вписанной в квадрат, равен половине длины стороны а.

Через диагональ квадрата

Радиус r окружности, вписанной в квадрат, равен длине диагонали d, деленной на произведение числа 2 и квадратного корня из двух.

Окружность, описанная около квадрата

Определение 6. Окружность называется описанной близко к квадрату, если все углы квадрата лежат на этой окружности (рис. 4):

Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата

Выведем формулу для вычисления радиуса окружности, описанной вокруг квадрата через сторону квадрата.

Обозначим через а сторону квадрата, а через R радиус окружности, описанной вокруг квадрата. Проведем диагональ BD (рис.4). Треугольник ABD прямоугольный. Итак, по теореме Пифагора имеем:

Читайте также: 10 самых больших пустынь в мире

(5)

Из формулы (5) находим R:

(6)

или умножьте числитель и знаменатель на

, мы получаем:

.

(7)

Пример 4. Сторона квадрата а=4,5. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата.

Решение. Для нахождения радиуса окружности, описанной вокруг квадрата, воспользуемся формулой (7). Подставив a=4,5 в (7), получим:

Отвечать:

Формула стороны квадрата через радиус описанной около квадрата окружности

Выведем формулу для вычисления стороны квадрата через радиус описанной вокруг квадрата окружности.

Из формулы (1) выразим ai в виде R:

.

(8)

Пример 5. Радиус описанной окружности вокруг квадрата равен

Найдите сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадрата воспользуемся формулой (8). Заменять

в (8) получаем:

Отвечать:

Нахождения величины радиуса описанной окружности около квадрата при известной величине радиуса вписанной окружности.

Рассмотрим пример

Задача: радиус круга, вписанного в квадрат, равен
. Найдите радиус окружности, описанной вокруг этого квадрата.
Данный:

• треугольник ВВЭ — равнобедренный и прямоугольный;
• ОЕ=ЕС=<br>;
• ОЕС=90°;
• ЭОС=ОСЭ=45°;

Найти: ОС=?
Решение: в этом случае задачу можно решить с помощью либо теоремы Пифагора, либо формулы для R. Второй случай будет проще, так как формула для R выводится из теоремы.

Примеры задач

упражнение 1

Найдите радиус круга, вписанного в квадрат, если известно, что длина его стороны равна 7 см.

Решение

Воспользуемся первой формулой, подставив в нее известное значение:

Задача 2

Известно, что радиус окружности, вписанной в квадрат, равен 12 см. Найдите длину диагонали.

Решение

Формулу нахождения диагонали можно вывести из формулы вычисления радиуса окружности: