Как найти радиус вписанной в правильный многоугольник окружности: формула, пример

Признаки правильного многоугольника

Многоугольник будет правильным, если выполняется следующее условие: Все стороны и углы равны:

a1=a2=a3=…=an-1=an

α1 = α2 = α3 =… = αn-1 = αn

Основные свойства правильного многоугольника

1. Все стороны равны:
a1=a2=a3=…=an-1=an2. Все углы равны:
α1 = α2 = α3 =… = αn-1 = αn3. Центр вписанной окружности Ов совпадает с центром описанной окружности Оо, образующей центр многоугольника О4. Сумма всех углов n-угольника равна:

180° (n — 2)

5. Сумма всех внешних углов n-угольника равна 360°:

β1 + β2 + β3 +… + βn-1 + βn = 360°

6. Количество диагоналей (Dn) n-угольника равно половине произведения количества вершин на количество диагоналей, выходящих из каждой вершины:

7. В любой многоугольник можно вписать окружность и описать окружность, при этом площадь кольца, образованного этими окружностями, зависит только от длины стороны многоугольника:

8. Все биссектрисы угла между сторонами равны и проходят через центр правильного многоугольника O

Построение правильных многоугольников

Построение правильного треугольника с помощью циркуля и линейки:

1. Чтобы построить правильный треугольник с заданной стороной а, построим отрезок АВ, равный а. Точки А и В являются двумя вершинами правильного треугольника.
2. Далее строим две дуги радиусом а с центрами в точках А и В. Точка пересечения С равноудалена от точек А и В и является третьей вершиной треугольника.
3. Соединим углы. ΔABC построен.

Правильный треугольник можно построить с помощью транспортира, так как размеры углов известны.

1. Построим отрезок AB произвольной или заданной длины. Точки А и В являются вершинами правильного треугольника.
2. С помощью транспортира из точки А от отрезка АВ откладываем угол 60° и проводим луч.
3. Отложите угол 60° и проведите луч из точки В.
4. Два луча пересекаются в точке С, третьей вершине равностороннего треугольника.
5. Соединяем вершины А и С, В и С. Строится правильный ΔABC.

Построение квадрата с линейкой и циркулем:

1. Построим одну из сторон квадрата — отрезок АВ.
2. Построим перпендикуляры к АВ в точках А и В, лежащих по одну сторону от отрезка АВ.
3. На построенных перпендикулярах откладываем отрезки AD и BC, равные отрезку AB.
4. Соедините точки C и D. Построен квадрат ABCD.

Построение правильного пятиугольника:

1. Постройте окружность произвольного радиуса с центром в точке А.
2. Отметим произвольно точку B, лежащую на окружности.
3. Проведем линию АВ.
4. Построим перпендикуляр к прямой АВ в точке А. Назовем одно из пересечений этого перпендикуляра и окружности точкой С.
5. Найдите середину отрезка АС — точку D.
6. Измерим расстояние DB компасом. Не меняя решения циркуля, проводим вспомогательную дугу с центром в точке D, и пересекаем прямую AC внутри окружности. Назовем точку пересечения Е.
7. Расстояние между точками B и E равно стороне правильного пятиугольника. Измеряем ВЕ циркулем и, не меняя решения циркуля, строим две вспомогательные дуги с центром в точке В, которые пересекают окружность. Пусть M и K — точки пересечения. Точки M и K являются вершинами правильного пятиугольника.
8. Используя тот же раствор компаса, мы проводим вспомогательную дугу с центром в точке M. Дуга пересекает окружность в точке P, одной из вершин правильного пятиугольника.
9. Не меняя решения компаса, построим дугу с центром в точке К. Точкой пересечения этой дуги и окружности будет точка Q. Q — вершина пятиугольника.
10. Нарисуем отрезки VK, KQ, QP, PM, MB. Построен правильный пятиугольник VKQRM.

Построение правильного шестиугольника:

1. Построим окружность с произвольным или заданным радиусом а, равным стороне будущего правильного шестиугольника. Точка С является центром этой окружности.
2. Отмечаем произвольную точку D на окружности и проводим линию DC. Назовем вторую точку пересечения с окружностью точкой G. Точки D и G являются вершинами правильного шестиугольника.
3. Используя тот же раствор компаса, мы строим вспомогательную дугу радиуса a с центром в точке D. Дуга пересекает окружность в двух точках. Назовем точки пересечения Е и В. Эти точки являются вершинами шестиугольника.
4. Не меняя решения циркуля, проводим вспомогательную дугу с центром в точке G и находим точки пересечения дуги с окружностью — два угла шестиугольника. Назовем точки пересечения А и F.
5. Проведем отрезки AB, BD, DE, EF, FG, GA. ABDEFGA — правильный шестиугольник, у которого все стороны равны по конструкции.

Читайте также: Свойства равностороннего (правильного) треугольника: высота, медиана, углы и др

Правильный n-угольник — формулы

Формулы длины стороны правильного n-угольника

1. Формула стороны правильного n-угольника через радиус вписанной окружности:

2. Формула стороны правильного n-угольника через радиус описанной окружности:

Формула радиуса вписанной окружности правильного n-угольника

Формула радиуса вписанной окружности n-угольника через длину стороны:

Формула радиуса описанной окружности правильного n-угольника

Формула радиуса описанной окружности n-угольника через длину стороны:

Формулы площади правильного n-угольника

1. Формула площади n-угольника через длину стороны:

2. Формула площади n-угольника через радиус вписанной окружности:

3. Формула площади n-угольника через радиус описанной окружности:

Формула периметра правильного многоугольника:

Формула периметра правильного n-угольника:

П = нет данных

Формула определения угла между сторонами правильного многоугольника:

Формула угла между сторонами правильного n-угольника:

Формула расчета радиуса окружности

На рисунке показан правильный шестиугольник с вписанной в него окружностью, но приведенная ниже формула работает для любого правильного n-угольника.

где а — длина стороны.

Примечание: Зная радиус вписанной окружности, можно найти сторону равностороннего n-угольника:

Пример задачи

Вычислите радиус окружности, вписанной в правильный восьмиугольник со стороной 12 см.

Решение:
Воспользуемся первой формулой, подставив в нее известное значение.