Признаки ромба
Параллелограмм ABCD будет ромбом, если выполнено одно из следующих условий:
- Две его смежные страны (из этого следует, что все стороны являются доступными):
АВ = ВС = СD = АД
- Его диагонали пересекаются под прямым углом:
AC┴BD
- Одна из диагоналей (биссектриса) делит содержащие ее углы пополам:
∠BAC = ∠CAD или ∠BDA = ∠BDC
- Если все высоты равны:
БН = ДЛ = БМ = ДК
- Если диагонали делят параллелограмм на четыре равных прямоугольных треугольника:
Δ ABO = Δ BCO = Δ CDO = Δ ADO
- Можно ли вписать окружность в параллелограмм.
Основные свойства ромба
- Обладает всеми свойствами параллелограмма 2. Диагонали перпендикулярны:
AC┴BD
- Диагонали – это биссектрисы его углов:
∠BAC = ∠CAD, ∠ABD = ∠DBC, ∠BCA = ∠ACD, ∠ADB = ∠BDC
- Сумма диагоналей квадрата равна квадрату квадрата, умноженному на четыре:
АС2 + БД2 = 4АВ2
- Центр окружности, вписанной в ромб, будет точкой пересечения его диагоналей.
Читайте также: Как найти объем шара: формула через радиус, диаметр
Нахождение радиуса вписанной в ромб окружности
В данной публикации мы рассмотрим формулы, по которым можно вычислить радиус окружности, вписанной в ромб. Также рассмотрим примеры решения задач по закреплению представленного материала.
Формулы вычисления радиуса вписанной в ромб окружности
Через диагонали и сторону
Радиус r, вписанный в ромб, равен произведению его диагоналей на сторону, умноженному на 4.
- d1 и d2 – диагонали ромба;
- а – сторона ромба.
Через диагонали
Радиус r вписанной в ромб окружности можно найти, естественно только ланги его поражения диагоналей:
Эту формулу можно получить, если сторону a в приведенной выше формуле выразить через диагонали (согласно одному из свойств ромба):
Через сторону и угол
Радиус окружности r, вписанной в ромб, равен половине произведения его стороны на синус любого угла.
Через высоту
Радиус окружности ромба равен половине его высоты.
- h (или GF) – высота ромба;
- ч = 2р.
3 способ. Радиус вписанной окружности в ромб через отрезки m и n
Точка F – точка касания окружности со стороной ромба, которая делит его на отрезки AF и BF. Пусть AF=m, BF=n.
Точка O – центр пересечения диагоналей ромба и центр вписанной в его окружность.
Треугольник АОВ прямоугольный, так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом.
, т.к представляет собой радиус, проведенный к точке касания окружности. Следовательно OF – высота треугольника AOB до гипотенузы. Затем AF и BF – проекции катетов на гипотенузу.
Высота в рекладном треугольнике, опорная на гипотенузу есть менее пропорольное между проекциями катетов на гипотенузу.
Формула радиуса окружности, вписанной в ромб через отрезки, равна квадратному корню из произведения этих отрезков, на которые делится сторона ромба, точкой касания окружности
Пример вычисления радиуса окружности в ромбе, если m и n разрезаны
Найдите радиус описанной окружности в ромбе, если точка касания делит сторону ромба на 9 и 4
Пусть ABCD — ромб, тогда AC и BD — его диагонали.
Пусть точка O будет центром вписанной окружности ромба ABCD.
Пусть точка F будет точкой касания окружности AB. Затем. АФ=9, БФ=4
Применяя ранее полученную формулу, получаем
Примеры задач
задание 1
Известно, что диагонали ромба равны 6 и 8 см. Найдите радиус окружности, написанной в нем.
Решение
Применяем соответствующую формулу, подставляя в нее известные значения:
Задание 2
Вычислите радиус окружности, вписанной в ромб, если его сторона равна 11 см, а один из углов равен 30°.
Решение
В этом случае можно использовать последнюю из рассмотренных выше формул:
