Как найти среднее геометрическое чисел: формула, примеры

Определение среднего геометрического

Среднее геометрическое чисел — это корень произведения этих чисел, показатель которого равен числу этих чисел.

Средняя гармоническая

Определяющей характеристикой гармонического среднего является то, что при усреднении сумма обратных средних остается неизменной.

Формула средневзвешенной геометрической используется в тех случаях, когда статистическая информация не содержит частот f для отдельных вариантов x совокупности и представлена ​​в виде их произведения xf. Для вычисления среднего геометрического необходимо положить: xf = w, откуда f = w/x.

Преобразуем формулу для среднего арифметического так, чтобы доступные данные x и w можно было использовать для вычисления среднего. В формулу средневзвешенной арифметической вместо xn подставляем w, а вместо n — отношение w/x, и таким образом получаем формулу гармонической средневзвешенной:

Гармоническое простое среднее используется, когда вес каждой альтернативы равен единице. Он рассчитывается по формуле:

где 1/x — отдельные варианты обратного хода, встречающиеся один раз;

n — количество альтернатив.

Средняя квадратичная

Например, среднеквадратичное значение используется для расчета среднего размера сторон n квадратных сечений, среднего диаметра бревен, труб и т д. Оно делится на два вида.

Среднеквадратичное значение простое. Если при замене отдельных значений свойства средним значением необходимо оставить неизменной сумму квадратов исходных значений, то среднее будет квадратом среднего.

Это квадратный корень из частного суммы квадратов значений отдельных функций, деленного на число:

Средний квадратный вес рассчитывается по формуле:

где f — знак веса.

Средняя кубическая

Средняя кубическая используется, например, при определении средней длины стороны и кубов. Он делится на два типа.
Средний кубический простой:

Средний кубический вес:

Среднеквадратичное и среднекубическое не получили широкого распространения в практической статистике. Часто в статистике используют среднеквадратичное значение, но не от самих факторов x, а от их отклонения от среднего при расчете показателей вариации.

Среднее значение можно рассчитать не для всего, а для части данных о населении. Примером может служить прогрессивная средняя как одна из частных средних, рассчитанная не для всех, а только для «лучших» (например, для показателей выше или ниже индивидуальных средних).

Читайте также: Согласные и гласные буквы – таблица алфавита русского языка

Структурные средние

Для характеристики центрального тренда в статистических распределениях рационально наряду со средним арифметическим использовать определенное значение признака X, которое в силу определенных особенностей своего расположения в ряду распределения может характеризовать уровень.

Это особенно важно, когда крайние значения функции в ряду распределения имеют нечеткие границы. В связи с этим точное определение среднего арифметического обычно невозможно или весьма затруднено. В таких случаях средний уровень можно определить, взяв, например, значение функции, расположенное в середине частотного ряда или наиболее часто встречающееся в соответствующем ряду.

Такие значения зависят только от характера частот, т.е структуры распределения. Они типичны с точки зрения расположения в частотном ряду, поэтому такие значения считаются характеристиками распределительного центра и поэтому определены как структурные средние.
Они используются для изучения внутренней структуры и структуры рядов распределения значений признаков. К таким показателям относятся мода и медиана.

Мода и медиана очень часто вычисляются в статистических задачах, а также являются дополнительными характеристиками совокупности и используются в математической статистике для анализа типа ряда распределения, который может быть нормальным, асимметричным, симметричным и т д

Кроме медианы вычисляют значения признака, разделяя совокупность на четыре равные части — квартили, на пять частей — квинтили, на десять равных частей — децили, на сто равных частей — проценты. Использование распределения оцениваемых признаков в статистике при анализе вариационных рядов позволяет более глубоко и детально характеризовать изучаемую совокупность.

Ключевые моменты

• Среднее геометрическое — это средняя доходность набора значений, рассчитанная с использованием произведений отношений.
• Среднее геометрическое лучше всего подходит для рядов, которые показывают серийную корреляцию — это особенно верно для инвестиционных портфелей.
• Большинство доходов в финансах коррелированы, включая доходность облигаций, доходность акций и премии за рыночный риск.
• Для изменчивых чисел среднее геометрическое обеспечивает гораздо более точную меру истинной доходности, принимая во внимание годовое начисление сложных процентов, которое сглаживает среднее значение.

Понимание среднего геометрического

Среднее геометрическое, иногда называемое составным годовым темпом роста или доходностью, взвешенной по времени, представляет собой среднюю доходность набора значений, рассчитанную с использованием произведений условий. Что это значит? Среднее геометрическое принимает несколько значений, умножает их и устанавливает в степени /n 1.

Например, вычисление среднего геометрического легко понять с помощью простых чисел, таких как 2 и 8. Если вы умножите 2 и 8, а затем возьмете квадратный корень (степень ½, поскольку чисел всего 2), ответ будет 4. Но когда Есть много чисел, которые труднее вычислить, если вы не используете калькулятор или компьютерную программу.

Краткая справка

Чем длиннее временной горизонт, тем более важным становится сложное сложение и тем более уместным является использование среднего геометрического.

Основное преимущество использования среднего геометрического заключается в том, что вам не нужно знать фактически вложенные суммы; расчет полностью сосредоточен на самих показателях доходности и представляет собой сравнение двух инвестиционных альтернатив в течение более чем одного периода времени. Среднее геометрическое всегда будет немного меньше среднего арифметического, которое является простым средним.

Как рассчитать среднее геометрическое

Чтобы рассчитать сложные проценты с использованием среднего геометрического дохода от инвестиций, инвестор должен сначала рассчитать проценты за первый год, которые составляют 10 000 долларов США, умноженные на 10%, или 1000 долларов США. На второй год новая основная сумма составляет 11 000 долларов США, а 10% от 11 000 долларов США составляют 1 100 долларов США. Новый основной капитал теперь составляет 11 000 долларов плюс 1100 долларов, или 12 100 долларов.

На третий год новая основная сумма составляет 12 100 долларов США, а 10% от 12 100 долларов США составляют 1 210 долларов США. Через 25 лет 10 000 долларов станут 108 347,06 долларов, что на 98 347,05 долларов больше первоначальной инвестиции. Более короткий способ состоит в том, чтобы умножить текущую основную сумму на единицу плюс проценты, а затем увеличить коэффициент на количество лет, сложенных вместе. Расчет: 10 000 долларов США

Формула

x̅geom = n√x1 ⋅ x2 ⋅… ⋅ xn

Геометрическая простая

Чтобы легко вычислить среднее геометрическое, используется формула:

где:

• — фактор роста цепи
• число этих факторов роста
• P — знак на товаре
• — количество уровней строки
• — значение начального уровня в ряду
• — стоимость финального уровня в серии

Геометрическая взвешенная

Для определения средневзвешенного геометрического используется формула:

Расчет среднего геометрического

Чтобы вычислить среднее геометрическое двух и более чисел, нужно их перемножить, а затем извлечь из результата корень, степень которого равна числу.

Допустим, у нас есть числа a1, a2, .., an. Среднее геометрическое находится по формуле:

Частные случаи формулы:

Количество номеров	Формула
2
3
4

Пример задачи

упражнение 1
Найдем среднее геометрическое чисел 3, 6 и 12.

Решение:
Используем соответствующую формулу для трех чисел:

Задача 2
Среднее геометрическое четырех чисел равно 4, а известны три из них — 2, 2 и 4. Найдем четвертое.

Решение:
Обозначим искомое число буквой x. Формула выглядит следующим образом:

Помещаем число 4 под корневой знак, сохраняя равенство (для этого возводим его в четвертую степень, т.е. 44 = 256):

Следовательно, х = 256 : 16 = 16.

Пример нахождения среднего геометрического

Дан ряд чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, нужно найти среднее геометрическое этих чисел. (large a_{mean geom.} = sqrt10{1 times 2 times 3 times 4 times 5 times 6 times 7 times 8 times 9 times 10} =) ( большой sqrt10{3628800} = 4,5287286881168)

Пример нахождения среднего геометрического дробей

Зная дроби 1/2, 1/3, 1/4, нужно найти среднее геометрическое этих чисел. (large a_{средняя геометрия} = sqrt3{1/2 times 1/3 times 1/4} =)(large sqrt3{1/24} = 0 ,34668064642013)