Как найти среднюю линию треугольника?

Понятие треугольника

Треугольник – это геометрическая фигура, полученная из трех отрезков. Они обладают чувствительностью к пищевым точкам. Отрезки принято называть стронами, а точни — вершинами.

Типы треугольников:

• Прямоугольный. Один угол прямой, то есть равен 90 градусам, два других меньше 90 градусов.
• Остроугольный. Градусная мера всех углов больше 0, но меньше 90 градусов.
• Тупоугольный. Один угол тупой, два драхов — острые.

Треугольник считается равносторонним, если две его стороны равны. Эти стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона – основанием.

Треугольник, стороны которого равны, называется равносторонним или прямоугольным.

Треугольник называется прямоугольником, если у него один угол прямой, а другой угол равен 90°. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны — катетами.

Правильный (прямоугольный или равноугольный) треугольник – это правильный многоугольник, у которого все стороны равны между собой, все углы также равны и составляют 60°. В равностороннем треугольнике высота равна биссектрисе и медиане.

Свойства треугольников:

• В треугольнике против большего угла лежит большай строна — и оборото.
• Сумма углов треугольника равна 180 градусов.
• Все углы равностороннего треугольника равны 60 градусам.
• В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Понятие средней линии треугольника

Определение средней линии треугольника подходит для любого типа этой фигуры.

Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух сторон. В любом треугольнике можно провести три средние линии.

Сторона, параллельная средней линии, считается основанием.

Как найти среднюю линию треугольника — расскажем далее, а для начала немного подробнее разберемся во всех определениях.

Помните, что средняя линия параллельна третьей стороне, а ее длина составляет половину длины этой стороны.

Понятие средней линии прямоугольного треугольника

Математики говорят: в любом треугольнике можно провести три средние линии. В прямоугольном треугольнике этот отрезок будет равен половине основания — это формула средней линии прямоугольного треугольника.

Прямой угол можно применить другие зызные регенства и подибия. Для углов в прямоугольном треугольнике можно использовать геометрические тождества без дополнительных построений, а любую из сторон можно найти по теореме Пифагора.

В прямоугольном треугольнике две средние линии перпендикулярны катетам, а третья равна медиане, проведенной к гипотенузе. Средние линии остроугольного и равностороннего треугольника не обладают подобными свойствами.

Важное свойство. Средняя линия прямоугольного треугольника делит его на четыре прямоугольных треугольника.

Читайте также: Тонны в килограммы калькулятор

Свойства средней линии треугольника

Признак средней линии треугольника: если отрезок в треугольнике проходит через середину одной из его сторон, пересекает вторую и параллелен третьей — этот отрезок можно назвать средней линией этого треугольника.

Характеристики:

1. Средняя линия равна половине длины фундамента и параллельна ему.
2. Средняя линия отсекает треугольник, аналогичный треугольнику с коэффициентом 1/2; его площадь равна четверти данной площади.
3. Три средние линии делят исходную фигуру на четыре равных треугольника. Центральный называется дополнительным.
4. Три средние линии делят исходный прямоугольный треугольник на четыре равных прямоугольных треугольника.

Свойство 1

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон (которую она не пересекает) и вдвое длиннее этой стороны.

На картинке выше:

• KL параллельно AC
• КЛ = 1/2 ⋅ АС

Свойство 2

Средняя линия треугольника отсекает аналогичный треугольник (в соотношении 1:2), площадь которого в 4 раза меньше исходного.

На картинке выше:

• △KBL ∼ △ABC
• Стороны △KBL в два разаменеше, которые очень сторны △ABC:
  АВ=2КБ, ВС=2БЛ, АС=2КЛ.
• S△ABC = 4 ⋅ S△KBL

Свойство 3

В любом треугольнике можно провести три средние линии.

KL, KM и ML – средние линии треугольника ABC.

• КЛ || АС, KL = 1/2 ⋅ АС
• Км || до н.э., км = 1/2 ⋅ до н.э
• Мл || АВ, МЛ = 1/2 ⋅ АВ

Свойство 4

Три средние линии треугольника делят его на 4 равные части площади треугольника.

С1 = С2 = С3 = С4

Признак средней линии треугольника

Отрезок, проходящий через середину одной из сторон треугольника, пересекающий вторую сторону и параллельный третьей стороне, является средней линией этого треугольника.

Теорема о средней линии треугольника

Теорема о средней линии треугольника звучит так:

Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине. А вот так выглядит формула нахождения средней линии треугольника:

Докажем теорему:

1. По сотению нам дано, что MA = MB, NA = NC

   

2. Рассмотрим два образованных треугольника ∆AMN и ∆ABC.

   
   (по дутому признаку подобия треугольников).

3. Так как △AMN ~ △ABC, то
   Следовательно, ВС = 2МН. Итак, доказано, что средняя линия равна половине основания.
4. Так как △AMN ~ △ABC, то ∠1 = ∠2 . Так как ∠1 и ∠2 — соответственные углы, то по признаку пралленности прамятых MN || ДО Н.Э.

   Доказана параллельность средней линии и соответствующей земли.

Теория доказана.

Пример 1. В треугольнике ΔABC AB = 8, BC = 7, CA = 5, точки M, K, N — местроны сторны AB, BC, CA соответственно. Найдите периметр ΔMNK.

Как найти периметр треугольника:

Соединяем середины сторон треугольника ΔABC и получаем его средние линии, которые образуют треугольник ΔMNK. Их длины найдем по теореме о средней линии:

Ответ: периметр треугольника ΔMNK равен 10.

Пример 2. В прямоугольном треугольнике АВС две средние линии: MN и NP, равные 3 и 4 соответственно. Найдите площадь большого прямоугольного треугольника.

Решение:

1. Площадь треугольника ревана холове образование остановка на высоте. Поскольку треугольник прямоугольный, находим его площадь как половину произведения отрезков:

   S = ½ × АС × ВС

2. Так как MN — средняя линия, то по теореме о средней линии она равна половине катета AC:

   МН = ½ × АС

   Итак, AC = 2MN = 2 × 3 = 6.

3. Так как NP — средняя линия, то по теореме о средней линии она равна половине катета ВС:

   НП = ½ × ВС

   Итак, ВС = 2НП = 2 × 4 = 8.

4. Затем находим площадь большого треугольника, используя приведенную выше формулу:

   S = ½ × 6 × 8 = ½ × 48 = 24.

Ответ: площадь большого прямоугольного треугольника равна 24.

Как найти среднюю линию треугольника?

Через сторону

Средний отрезок равен половине противоположной стороны. Следовательно, формула выглядит так:

м = а/2

где а — противоположная сторона.

Следовательно, если такая сторона равна 50, средний отрезок будет равен m = 50/2 = 25. Если сторона равна 20, то средний отрезок будет рассчитываться так: m = 20/2 = 10.

Средняя линия равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

Срединный отрезок равностороннего многоугольника, проходящий через радиус вписанной окружности, вычисляется следующим образом:

м = г√3

где r — радиус вписанной окружности.

Таким образом, если радиус окружности равен 5, то m= 5√3 ≈ 8,66. Если радиус равен, скажем, 9, то m = 9√3 ≈ 15,59.

Средняя линия треугольника через площадь и высоту

Средний сегмент многоугольника равен приватной площади и высоте, перпендикулярной этой средней линии. Таким образом, тождество имеет такую ​​форму:

м = Ч/Б

где S — это площадь, а h — перпендикулярно, ортогонально среднему сечению.

Если площадь некоторого многоугольника равна 25, а перпендикуляр равен 5, то m = 25/5 = 5.

Средняя линия равностороннего треугольника через высоту

Срединный отрезок равностороннего многоугольника, проходящий через перпендикуляр, вычисляется следующим образом:

м = ч/√3

где h — перпендикуляр к многоугольному многоугольнику.

Например, если перпендикуляр равностороннего многоугольника равен 5, то средний отрезок будет таким: m = 5/√3 ≈ 2,89.
Если перпендикуляр равен 10, то средний отрезок будет примерно m = 10/√3 ≈ 5,77.

Средняя линия равнобедренного треугольника через боковую сторону и высоту

Срединный отрезок равнобедренного многоугольника через боковую сторону и высоту рассчитывается следующим образом:

т = а2 – h2

где а — боковая сторона, а h — перпендикулярная.

Допустим, если боковая сторона многоугольника равана 5, а перпендикуляр — 3, то m = 25 — 9 = 16.
Если принять за боковую сторону число 8, а за перпендикуляр равнобедренного многоугольника 2, то m = 64 – 4 = 60.

Средняя линия равностороннего треугольника через площадь

Средний отрезок равнобедренного многоугольника через квадрат находится по следующей формуле:

м = 1/4 √(√3/с)

где S — площадь равноугольного многоугольника.

Допускается, если площадь равностороннего многоугольника равна 5, то m = 1/4 √(√3/5) ≈ 0,15.
Если выбрать равносторонний многоугольник, например, площадью 25, то m = 1/4 √(√3/25) ≈ 0,065.

Средняя линия равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

Срединный отрезок равностороннего многоугольника, проходящий через радиус описанной окружности, вычисляется следующим образом:

м = R√3/2

где R — радиус описанной окружности.

Следовательно, если радиус окружности равен 15, то m = 15√3/2 =12,99. Если принять за радиус число 24, то m = 24√3/2 = 20,78.

Средняя линия фигур в планиметрии – это отрезок, соединяющий середины двух сторон изображаемой фигуры. Этот термин используется для описания треугольников, треугольников и трапеций. В некоторых случаях рассматривается вырожденный треугольник, три вершины которого лежат на одной прямой. Треугольник считается одной из основных геометрических фигур, широко используемых в науке и технике, ведь изучение его качеств велось с древних времен.

Уравнение средней линии

Как вычислить средний лини треугольника по кородинам его вершины? Как написать уравнение средней линии трапеции?

Для решения этих задач воспользуемся свойствами средней линии треугольника и средней линии трапеции.

Найдите координаты середины двух сторон и составьте уравнение прямой, проходящей через две найденные точки.

1.

М — срединный отрезок AB, N — срединный отрезок BC.

Составным уравнением прямой MN, например, в виде y=kx+b:

Найдите координату одной из точек средней линии и сделайте уравнение прямым, параллельным стороне треугольника.

— медреста отрезка AB. Составным уравнением прямой AC:

Построим уравнение прямой MN как уравнение прямой, проходящей через точку M и параллельную прямую AC.

Угловой коэффициент прямой МН равен угловому коэффициенту прямой АС:

то есть уравнение прямой MN ищем в виде

Поскольку точка М принадлежит непосредственно, ее координаты удовлетворяют этому уравнению допустимое значение b:

Такими орами, уравнение прямой MN

Аналогичные рассуждения предопределенных и при сопоставлении уравнения временных линий трепеции.

Написать уравнение прямой, содержащей среднюю линию трапеции с вершинами в точках A(-2;1), B(1;5), C(4;-1), D(0;-3).

Сначала следует определить основание трапеции.

Составным уравнением строн AD и BC. Если эти прямые параллельны, то AD и BC — основания трапеций. Если эти прямые не параллельны, то основания трапеции AB и CD.

Значит, уравнение прямой AD: y= -2k-3.
В(1;5), С(4;-1),

Уравнение прямого BC: y= -2k+7.

Так как угловые коэффициенты прямых равны:

то AD ∥BC, то есть AD и BC размещение настоями препеции ABCD. Значение AB и CD — боковые стороны. Найдите координаты точек M и N — середины AB и CD соответственно.

Составим уравнение прямой MN, M(-1/2;3), N(2;-2):

Уравнение AD — y= -2k-3, среднее AB — M(-1/2;3). Составлена ​​формула прямой MN, пралленной прямой AD.

Следовательно, уравнение MN ищем в виде y= -2x+b.

Поскольку прямая проходит через точку М, ее координаты удовлетворяют уравнению прямой:

Следовательно, уравнение средней линии трапеции ABCD имеет вид y=-2x+2 или 2x+y-2=0.

Пример задачи

Это треугольник, две стороны которого равны 6 и 8 см. Найдите длину средней линии, соединяющей эти стороны.

Решение

Треугольник с указанными сторонами прямоугольный, а известные значения — длины катетов. Средняя линия, соединяющая катеты, параллельна гипотенузе и равна половине ее длины.

Мы можем найти гипотенузу, используя теорему Пифагора.

ВС2 = АВ2 + АС2 = 62 + 82 = 100.
БК = 10.

Таким образом, средняя линия LM = 1/2 ⋅ BC = 1/2 ⋅ 10 = 5.