Как найти высоту равнобедренной трапеции: формулы через стороны, основания и тд

Основные определения и свойства трапеций

Тип претензии	Фигура	Рисунок	Формулировка
Определение	Трапеция		Трапеция – это квадрат, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются основаниями, а непараллельные стороны называются сторонами трапеции
Определение	Диагонали трапеция		Диагонали трапеции – это отрезки, соединяющие противоположные углы трапеции
Определение	Высота трапеция		Высотой трапеции называется перпендикуляр, опущенный из любой точки основания трапеции на другое основание или его продолжение
Свойство	Пересечение диагоналей		Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений сторон и середины оснований лежат на прямой Узнать больше об этом объекте
Определение	Центральная линия трапеция		Средняя линия трапеции – это отрезок, соединяющий середины сторон трапеции
Свойство	Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна половине их суммы Посмотреть доказательства
Свойство	Половина секторов углов на стороне трапеции		Биссектрисы углов на стороне трапеции перпендикулярны

Определение: трапеция
	Трапеция – это квадрат, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются основаниями, а непараллельные стороны называются сторонами трапеции
Определение: диагонали трапеции
	Диагонали трапеции – это отрезки, соединяющие противоположные углы трапеции
Определение: высота трапеции
	Высотой трапеции называется перпендикуляр, опущенный из любой точки основания трапеции на другое основание или его продолжение
Свойство: пересечение диагоналей
	Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений сторон и середины оснований лежат на прямой Узнать больше об этом объекте
Определение: центральная линия трапеции
	Средняя линия трапеции – это отрезок, соединяющий середины сторон трапеции
Свойство: центральная линия трапеции
	Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна половине их суммы Посмотреть доказательства
Свойство: биссектрисы углов на стороне трапеции
	Биссектрисы углов на стороне трапеции перпендикулярны

Трапеция

Определение: Трапеция – это квадрат, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются основаниями, а непараллельные стороны называются сторонами трапеции

Диагонали трапеции

Определение: Диагонали трапеции – это отрезки, соединяющие противоположные углы трапеции

Трапециевидная высота

Определение: Высотой трапеции называется перпендикуляр, опущенный из любой точки основания трапеции на другое основание или его продолжение

Пересечение диагоналей

Свойство: Пересечение диагоналей трапеции, пересечение продолжений сторон и середин оснований лежат на прямой Узнать больше об этом объекте

Средняя линия трапеции

Определение: Средняя линия трапеции – это отрезок, соединяющий середины сторон трапеции Свойство: Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна половине их суммы Посмотреть доказательства

Половина секторов углов на стороне трапеции

Свойство: Биссектрисы углов, лежащих на стороне трапеции, перпендикулярны

Подробнее о свойствах срединной линии трапеции можно прочитать в разделе нашего справочника «Средняя линия трапеции».

В разделе нашего справочника «Виды четырехугольников» представлена ​​схема классификации трапеций. В этом же разделе представлена ​​таблица, описывающая разные виды трапеций.

Читайте также: ctg 1, ctg 2, ctg 3

Свойства и признаки равнобедренных трапеций

Тип претензии	Фигура	Рисунок	Формулировка
Определение	Равнобедренная трапеция		Равнобедренная трапеция – это трапеция, у которой стороны равны.
Свойство	Равенство углов при основании		Если трапеция равнобедренная, то углы при каждом основании равны.
В разводе	Если у трапеции углы при одном основании равны, то углы при другом основании равны и трапеция равнобедренная.
Свойство	Равенство диагоналей		Если трапеция равнобедренная, то диагонали равны.
В разводе	Если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная
Свойство	Углы, которые составляют диагонали с основаниями		Если трапеция равнобедренная, то диагонали образуют равные углы с каждым из оснований.
В разводе	Если диагонали трапеции образуют равные углы с одним из оснований, то диагонали составляют равные углы с другим основанием, и трапеция равнобедренная.
Свойство	Описанный круг		Если трапеция равнобедренная, то вокруг нее можно описать окружность.
В разводе	Если вокруг трапеции можно описать окружность, то она равнобедренная.
Свойство	Трапециевидные высоты		Основания высот равнобедренной трапеции, опущенные из вершин меньшего основания, делят большее основание на отрезки, один из которых равен меньшему основанию, а два других составляют половину разности оснований

Определение: равнобедренная трапеция
	Равнобедренная трапеция – это трапеция, у которой стороны равны.
Свойство: равенство углов при основании
	Если трапеция равнобедренная, то углы при каждом основании равны.
Признак: равенство углов при основании
	Если у трапеции углы при одном основании равны, то углы при другом основании равны и трапеция равнобедренная.
Свойство: равенство диагоналей
	Если трапеция равнобедренная, то диагонали равны.
Знак: равенство диагоналей
	Если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная
Свойство: углы, которые диагонали образуют с основаниями
	Если трапеция равнобедренная, то диагонали образуют равные углы с каждым из оснований.
Знак: углы, которые диагонали образуют с основаниями
	Если диагонали трапеции образуют равные углы с одним из оснований, то диагонали составляют равные углы с другим основанием, и трапеция равнобедренная.
Функция: описанный круг
	Если трапеция равнобедренная, то вокруг нее можно описать окружность.
Функция: описанный круг
	Если вокруг трапеции можно описать окружность, то она равнобедренная.
Свойство: трапециевидная высота
	Основания высот равнобедренной трапеции, опущенные из вершин меньшего основания, делят большее основание на отрезки, один из которых равен меньшему основанию, а два других составляют половину разности оснований

Равнобедренная трапеция

Определение: Равнобедренная трапеция – это трапеция, у которой стороны равны.

Равенство углов при основании

Свойство: Если трапеция равнобедренная, то углы при каждом ее основании равны. Признак: Если у трапеции углы при одном основании равны, то углы равны и при другом основании, и трапеция равнобедренная.

Равенство диагоналей

Свойство: если трапеция равнобедренная, то диагонали равны. Признак: Если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная.

Углы, которые составляют диагонали с основаниями

Свойство: Если трапеция равнобедренная, то диагонали образуют равные углы с каждым из оснований. Признак: Если диагонали трапеции образуют равные углы с одним из оснований, диагонали образуют равные углы с другим основанием, а трапеция равнобедренная.

Описанный круг

Свойство: Если трапеция равнобедренная, то вокруг нее можно описать окружность. Признак: Если окружность можно описать близко к трапеции, то она равнобедренная.

Трапециевидные высоты

Свойство: Основания высот равнобедренной трапеции, опущенные из вершин меньшего основания, делят большее основание на отрезки, один из которых равен меньшему основанию, а два других составляют половину разностей оснований

В равнобедренной трапеции высота, проведенная из вершины к большему основанию, делит это основание на два отрезка:

• Один из этих отрезков равен половине суммы оснований трапеции (равной средней линии этой трапеции):
• Второй – полуразности оснований трапеции:

Высота равнобедренной трапеции

Принятые в формулах обозначения

Во всех приведенных ниже математических обозначениях эти прочтения букв верны.

Доказательство свойств высоты равнобокой трапеции

Шаг 1

Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD (AB = CD). Из вершины B к основанию AD проводим высоту BH. Докажем, что точка H делит сторону AD на отрезки следующих длин:

Доказательство свойства высоты равнобедренной трапеции. Шаг 1

Шаг 2

Нарисуем высоту КА.

Рассмотрим четырехугольник NVSK, образовавшийся.

Поскольку все углы этого четырехугольника прямые по построению, NVSC является прямоугольником.

По свойству сторон прямоугольника:

Доказательство свойства высоты равнобедренной трапеции. Шаг 2

Шаг 3

Рассмотрим прямоугольные треугольники AHB и CKD.

АВ = CD — по условию;

HH = SK — как высота трапеции.

На основании подобия прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе:

Из свойств подобных треугольников следует равенство сторон:

Доказательство свойства высоты равнобедренной трапеции. Шаг 3

Шаг 4

Рассмотрим сторону AD.

После строительства:

С учетом полученных ранее равенств (AH = KD, NK = BC) можно переписать последнюю формулу:

Отсюда:

Теперь найдем длину отрезка HD:

Так:

Таким образом, мы определили длины отрезков, образованных высотой равнобедренной трапеции, проведенной от вершины к большему основанию.

Итак, мы доказали свойства, которыми обладает высота равнобедренной трапеции.

Доказательство свойства высоты равнобедренной трапеции. Шаг 4

Нахождение высоты равнобедренной трапеции

Через длины сторон

Как только вы узнаете длины всех сторон равнобедренной трапеции, вы можете рассчитать высоту, используя следующую формулу:

Через боковую сторону и прилежащий угол

Зная длину стороны равнобедренной трапеции и угол между ней и основанием фигуры, можно найти высоту следующим образом:

Через основания и прилежащий угол

Вычислить высоту трапеции можно, если известны длины оснований и угол одного из оснований (например, в случае большего).

Через площадь и основания

Высоту равнобедренной трапеции также можно найти через площадь и длину оснований:

Эту формулу можно представить в другом виде, если вместо оснований указать осевую линию (m).

m — средняя линия, равна половине суммы оснований, т.е m = (a+b)/2.

Через диагонали и угол между ними

И еще один способ вычисления высоты равнобедренной трапеции, если известны диагонали (которые имеют одинаковую длину), угол между ними и основаниями.

Та же формула, но с осевой линией (м) вместо суммы оснований:

Примечание: если диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны, то высота равна половине суммы оснований или, другими словами, средней линии.