Как найти высоту трапеции

Элементы трапеции

• Параллельные стороны называются основаниями трапеции.
• Две другие стороны называются сторонами.
• Отрезок, соединяющий середины сторон, называется средней линией трапеции.
• Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.

Виды трапеций

• Трапецию с равными сторонами называют равнобедренной.
• Трапеция, у которой один из углов «прямой», называется прямоугольной трапецией.

Основные свойства трапеции

В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин сторон:

Средняя линия трапеции делит пополам любой отрезок, соединяющий основания, а также диагонали:

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна половине их суммы:

Точка пересечения диагоналей трапеции с серединами оснований лежит на прямой.

В трапеции сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.

Каждая диагональ в точке пересечения делится на две части с таким отношением длин, как отношение между основаниями:

Диагонали трапеций d1 и d2 связаны со сторонами соотношением:

Нахождение высоты по площади и основаниям

Для вычисления площади S трапеции воспользуемся формулой:

S=frac{((a+b) times h)}{2}

Здесь h — высота трапеции, а отрезки a и b — ее основания.

Мы можем найти ч:

h=frac{2 times S}{(a+b)}Пример 1

Площадь трапеции S равна 50 см2, длина основания а = 4 см, длина другого основания b равна 6 см, поэтому для нахождения высоты h воспользуемся формулой:

h=frac{2 times 50}{(4+6)}=10 mathrm{~cm}

Ответ: 10 см.

Нахождение высоты, зная площадь и среднюю линию

Воспользуемся формулой, по которой можно вычислить площадь трапеции:

S = м × ч

Здесь h — высота трапеции, m — центральная линия.

Мы можем найти ч:

h=frac{S}{m}, будет ответом.

Пример 2

Средняя линия трапеции, обозначенная буквой m, равна 20 см, а площадь S равна 200 см2. Найдем значение высоты трапеции h.

[h=frac{200}{20}=10 mathrm{~cm}]

Ответ: 10 см

Высота прямоугольной трапеции

Определение

Диагональ – это отрезок, соединяющий пару противоположных углов трапеции. Когда трапеция прямоугольная, по диагонали находим высоту данной фигуры.

Трапеция, у которой одна из сторон перпендикулярна основаниям, называется прямоугольной трапецией.

Рассмотрим аналогичную трапецию ABCD, где AD — высота, AC — диагональ, а DC — основание. Воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике ADC квадрат гипотенузы AC равен сумме квадратов сторон, катетов AB и BC.

Тогда мы можем написать:

AC² = AD² + DC².

AD — катет треугольника, сторона трапеции и одновременно ее высота. Так как отрезок перпендикулярен основаниям. Длину ноги найдем как:

[AD=sqrt{left(AC^{2}-DC^{2}right)}]

Таким образом у нас есть формула, которая поможет при расчете найти высоту трапеции AD.

Пример 3

Основание трапеции с прямым углом (DC) равно 14 см, а ее диагональ (AC) равна 15 см, воспользуемся теоремой Пифагора, чтобы получить высоту (сторону AD).

Пусть x — неизвестная часть прямоугольного треугольника (AD), тогда

[AC^{2}=AD^{2}+DC^{2}] можно записать

[15^{2}=14^{2}+х^{2}]

[x=sqrt{left(15^{2}-14^{2}right)}=sqrt{(225-196)}=sqrt{29} mathrm{cm}]

Ответ: [sqrt{29} mathrm{cm}], что составляет около 5,385 см

Читайте также: Как найти периметр квадрата формула

Нахождение высоты через стороны

Есть еще один способ найти высоту — через стороны. Помимо высоты трапеции, стоит также нарисовать ее диагональ, которая образует треугольник с прямым углом и позволит найти высоты несколькими способами через разные треугольники.

Если все длины сторон таких треугольников выразить через стороны трапеции и привести равные члены, то получится следующая формула:

[ mathrm{h}=sqrt{C^{2}-left(frac{(ab)^{2}+e^{2} d^{2}}{2(ab)}right)^{2}}]Пример 4

Дана трапеция, в ней известны основания а и b. Эти основания соответственно равны 4,5 см и 2,5 см. Также известны стороны d и c, которые равны 2 см и используют формулу:

[h=sqrt{2^{2}-left(frac{(4.5-2.5)^{2}+2^{2}-2 sqrt{2}^{2}} {2(4.5) -2,5)}справа)^{2}}=sqrt{4}=2 см]

Ответ: h=2 см.

Как найти высоту при помощи боковой стороны и прилегающего угла при основании

Для вычисления высоты трапеции через сторону и прилежащий к ней угол в основании нужно воспользоваться следующей формулой:

h = a sinα

где h — искомая высота трапеции, a — известная сторона, sin α — угол при основании.

Пример. Чтобы понять, как использовать формулу, давайте рассмотрим пример. Дана трапеция. Мы знаем, что сторона равна 10 см, а прилежащий угол равен 30°. Нам нужно найти высоту этой трапеции. Для решения у нас есть вся необходимая информация и формула выше. Замените значения в формуле: h = один sin, h = 10 sin 30, h = 10 1/2, h = 5 см

Как найти высоту трапецию при помощи длины основания и площади трапеции

Чтобы найти высоту трапеции по известным длинам основания и площади, нужно воспользоваться формулой:

ч = (2S) / (а+б)

где h — искомая высота трапеции, S — известная площадь фигуры, a и b — длины обоих оснований.

Пример. Закрепим это на примере: Мы знаем, что в трапеции ABCD основания a и b равны 5 и 10 сантиметрам. Площадь фигуры 30 квадратных сантиметров. Для решения необходимо использовать формулу h = (2S) / (a ​​+ b), h = (2 х 30) / (5 + 10), h = 60 / 15, h = 4 см . Высота трапеции 4 см.

Как найти высоту при помощи диагоналей, углу между диагоналями и средней линией трапеции

Чтобы найти высоту трапеции через центральную линию, известные диагонали и угол между ними, приходится прибегать к выведенной формуле:

h = ((D xd) / (2m)) x sin (α)

где h — искомая высота трапеции, D и d — известные диагонали, m — центральная линия, sin(α) — угол между диагоналями.

Пример. Закрепим на примере: Дана трапеция с диагоналями 5 и 12 сантиметров. Известно, что центральная линия фигуры равна 6 см, а угол между диагоналями равен 30 градусам. Используя приведенную выше формулу, мы легко можем найти высоту трапеции h = ((D xd) / (2m)) x sin (α), h = ((5 x 12) / (2 x 6)) x sin (30) , h = (60/12) х 0,5, h = 2,5 см. Высота трапеции 2,5 см.

Как найти высоту при помощи средней линии и площади трапеции

Чтобы найти высоту трапеции через площадь и среднюю линию, мы используем производную формулу:

ч = (2S)/м

где h — искомая высота трапеции, S — известная площадь фигуры, m — центральная линия.

Пример. Закрепим на примере: Площадь произвольной трапеции 30 квадратных сантиметров. Средняя линия фигуры 5 см. Высоту нужно найти по формуле h = (2S)/m, h = (2 x 30)/5, h = 60/5, h = 12 см . 12см это высота трапеции.

Как найти высоту при помощи известного основания, диагоналей трапеции и угла между диагоналями

Чтобы найти высоту трапеции, используя известное основание, диагональ и угол между диагоналями, используйте следующую формулу:

h = ((Dd) / (a+b)) x sin (α)

где h — искомая высота трапеции, D и d — известные диагонали, a и b — длины обоих оснований, sin(α) — угол между диагоналями.

Пример. Закрепим это на примере: В трапеции ABCD диагонали равны 10 см каждая. Известно, что сумма оснований фигуры равна 20 см. Угол между диагоналями равен 30 градусов. Нам нужно найти высоту. Для этого воспользуемся приведенной выше формулой h = ((Dd) / (a+b)) x sin (α), h = ((10 x 10) / (20)) x sin (30), h = 5 x sin(30), h = 2,5 см. Высота трапеции 2,5 см

Существует 2 вида трапеций:

1. Трапецию, у которой одна из сторон перпендикулярна к обоим основаниям, называют прямоугольной трапецией.
2. Трапецию с равными сторонами называют равнобедренной трапецией.

Высота трапеции называется отрезком, который показывает кратчайшее расстояние между верхним и нижним основанием фигуры. Существует большое количество математических задач разного уровня сложности, для решения которых активно используется высота. Стоит разобраться во всех возможных формулах, используемых для нахождения высоты трапеции.

1 Найти высоту произвольной трапеции

Основываясь на исходных данных, можно определить высоту фигуры несколькими способами.

Известна площадь

Если известна длина параллельных сторон, а также дана площадь фигуры, то для определения искомого перпендикуляра можно использовать следующее соотношение:

S=ч*(а+б)/2,
h – искомое значение (высота),
S — площадь фигуры,
а и b — стороны, параллельные друг другу.
Из приведенной выше формулы следует, что h=2S/(a+b).

Известна величина средней линии

Если среди первых данных кроме площади трапеции (S) известна еще и длина осевой линии (l), для расчетов пригодится другая формула. Во-первых, стоит уточнить, что такое осевая линия для этого типа квадрата. Термин определяет часть прямой линии, которая соединяет середины сторон фигуры.

Исходя из свойств трапеции l=(a+b)/2,
л — центральная линия,
а, b — боковые основания четырехугольника.
Поэтому h=2S/(a+b)=S/l.

Известны 4 стороны фигуры

В этом случае поможет теорема Пифагора. Опустив перпендикуляры к большому боковому основанию, используйте его для двух получившихся прямоугольных треугольников. Окончательное выражение будет выглядеть так:

h=√c2-(((ab)2+c2-d2)/2(ab))2,

а и b — стороны основания фигуры,
c и d — 2 другие стороны.

Углы в основании

Если у вас есть базовые данные об углах, используйте тригонометрические функции.

h = c*sinα = d*sinβ,

α и β — углы в основании квадрата,
c и d — стороны.

Диагонали фигуры и углы, которые пересекаясь они образуют

Длина диагонали – это длина отрезка, соединяющего противоположные углы фигуры. Обозначим эти величины символами d1 и d2, а углы между ними γ и φ. Затем:

h = (d1*d2)/(a+b) sin γ = (d1*d2)/(a+b) sinφ,

h = (d1*d2)/2l sin γ = (d1*d2)/2l sinφ,

а и b — стороны основания фигуры,
d1 и d2 — диагонали трапеции,
γ и φ — углы между диагоналями.

Высота фигуры и радиус окружности, которая в нее вписана

Как следует из определения этого типа окружности, она касается каждого основания в 1 точке, являющейся частью прямой. Следовательно, расстояние между ними — диаметр — и есть искомая высота фигуры. А так как диаметр в два раза больше радиуса, то:

ч = 2 * г,
r — радиус окружности, вписанной в данную трапецию.

2 Найти высоту равнобедренной трапеции

• Как следует из формулировки, отличительной чертой равнобедренной трапеции является равенство сторон. Поэтому для нахождения высоты фигуры воспользуйтесь формулой определения этой величины в том случае, когда известны стороны трапеции.

Итак, если с = d, то h=√c2-(((ab)2+c2-d2)/2(ab))2 = √c2-(ab)2/4,

а, б — боковые основания квадрата,
c = d — стороны.

• При наличии величины углов, образованных двумя сторонами (основанием и стороной), высота трапеции определяется следующим соотношением:

ч = c*sinα,
h = с * tgα *cosα = с * tgα * (b — a)/2c = tgα * (ba)/2,

α — угол при основании фигуры,
a, b (a < b) — основание фигуры,
c = d — стороны.

• Если заданы значения диагоналей фигуры, выражение для нахождения высоты фигуры изменится, так как d1 = d2:

h = d12/(a+b)*sinγ = d12/(a+b)*sinφ,

h = d12/2*l*sinγ = d12/2*l*sinφ.