Как найти высоту в треугольнике abc: формулы, примеры задач

Определение

Высота треугольника — это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, проходящей через противоположную сторону треугольника.

Расположение высот у треугольников различных типов

Фигура	Рисунок	Описание
Острый треугольник		Все высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника.
Прямоугольный треугольник		Высоты прямоугольного треугольника, проведенные из вершин острых углов, совпадают с катетами треугольника. Высота, проведенная из вершины прямого угла, лежит внутри треугольника
Тупоугольный треугольник		Высоты тупоугольного треугольника, проведенные из вершин острых углов, лежат вне треугольника. Высота, проведенная из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника

Острый треугольник
Все высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника.
Прямоугольный треугольник
Высоты прямоугольного треугольника, проведенные из вершин острых углов, совпадают с катетами треугольника. Высота, проведенная из вершины прямого угла, лежит внутри треугольника
Тупоугольный треугольник
Высоты тупоугольного треугольника, проведенные из вершин острых углов, лежат вне треугольника. Высота, проведенная из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника

Острый треугольник

Все высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника.

Прямоугольный треугольник

Высоты прямоугольного треугольника, проведенные из вершин острых углов, совпадают с катетами треугольника. Высота, проведенная из вершины прямого угла, лежит внутри треугольника

Тупоугольный треугольник

Высоты тупоугольного треугольника, проведенные из вершин острых углов, лежат вне треугольника. Высота, проведенная из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника

Характерные особенности высоты.

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины к прямому углу, разделит его на два треугольника, подобных исходному.

В остроугольном треугольнике две его высоты отделяют от него подобные треугольники.

Если треугольник остроугольный, то все основания высот принадлежат сторонам, а у тупоугольного треугольника две высоты принадлежат продолжениям сторон.

Три высоты в остроугольном треугольнике пересекаются в одной точке, и эта точка обозначается как ортоцентр треугольника.

Читайте также: Синус, косинус, тангенс и котангенс в тригонометрии: определения, формулы, примеры

Ортоцентр треугольника

Теорема 1. Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC и через каждую его вершину проведем прямую, параллельную противоположной стороне (рис. 3).

Рис.3

Обозначим точки пересечения этих линий как A1, B1 и C1, как показано на рисунке 3.

В силу параллелизма прямых AC и C1A1, а также BC и C1B1 квадраты AC1BC и ABA1C являются параллелограммами параллелограмма, из которого подобия следуют подобиям подобиям

С1В=АС=ВА1.

Следовательно, точка B является серединой стороны C1A1.

Из-за параллелизма прямых ВС и С1В1, а также АВ и В1А1 квадраты АС1ВС и АВСВ1 являются параллелограммами, параллелограммами, из которых сходства следуют сходствам следует сходствам

С1А=ВС=А1В1.

Следовательно, точка A является серединой стороны C1B1.

Из-за параллелизма прямых AB и B1A1, а также AC и C1A1 четырехугольники ABA1C и ABCB1 являются параллелограммами параллелограмма, из которого подобия следуют подобиям подобиям

А1С=АВ=В1С.

Следовательно, точка C является серединой стороны B1A1.

Таким образом, высоты треугольника ABC являются серединными перпендикулярами к треугольнику A1B1C1 (рис. 4),

Рис.4

и в силу серединного перпендикуляра пересекаются в одной точке.

Теорема 1 доказана.

Определение 2. Точка пересечения высот треугольника (или их продолжений) называется ортоцентром треугольника.

Различные типы треугольников имеют разное расположение ортоцентров, как показано в следующей таблице.

Расположение ортоцентров у треугольников различных типов

Фигура	Рисунок	Описание
Острый треугольник		Ортоцентр остроугольного треугольника лежит внутри треугольника.
Прямоугольный треугольник		Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла
Тупоугольный треугольник		Ортоцентр тупоугольного треугольника лежит вне треугольника. В ортоцентре тупоугольного треугольника пересекаются не высоты, а продолжения высот треугольника.

Острый треугольник

Ортоцентр остроугольного треугольника лежит внутри треугольника.

Прямоугольный треугольник

Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла

Тупоугольный треугольник

Ортоцентр тупоугольного треугольника лежит вне треугольника. В ортоцентре тупоугольного треугольника пересекаются не высоты, а продолжения высот треугольника.

Ортоцентрический треугольник

Решим следующую задачу.

Задача. Высоты AD и BE проведены в остроугольном треугольнике ABC (рис. 5). Докажите, что треугольник DCE подобен треугольнику ABC.

Рис.5

Решение. Рассмотрим треугольники ADC и BEC. Эти треугольники подобны из-за критерия конгруэнтности прямоугольных треугольников с равными острыми углами (угол C является общим). Отсюда равенство

Это подобие, а также наличие общего угла С позволяет сделать вывод, исходя из критерия подобия треугольников, что оба треугольника DCE и ABC подобны. Решение проблемы завершено.

EDC и ABC Из подобия треугольников следует важное следствие (рис. 5.

Следствие 1.

Определение 3. Ортоцентрический треугольник (ортотреугольник) – это треугольник, вершины которого являются основаниями высот исходного треугольника (рис. 6).

Рис. 6

Следствие 2 следует из определения 3 и следствия 1.

Следствие 2. Пусть FDE — ортоцентрический треугольник с вершинами на высотах оснований остроугольного треугольника ABC (рис. 7).

Рис.7

Тогда равенства

Теорема 2 следует из следствия 2.

Теорема 2. Высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами углов его ортоцентрического треугольника (рис. 7).

Доказательство. Используя следствие 2, получаем:

qED

Задача Фаньяно

Проблема Фаньяно. Рассмотрим всевозможные треугольники DEF, вершины которых D, E и F лежат на сторонах BC, AC и AB соответственно остроугольного треугольника ABC. Докажите, что из всех треугольников DEF ортоцентрический треугольник треугольника ABC имеет наименьший периметр.

Решение. Пусть DEF — один из рассматриваемых треугольников. Обозначим точку символом D1, АС относительно прямой D, симметричной точке, а символом D2 обозначим точку, АВ относительно прямой D, симметричной точке (рис.8).

Рис. 8

Поскольку отрезок прямой является кратчайшим расстоянием между двумя точками, периметр треугольника DEF оказывается не меньше длины отрезка D1D2. Отсюда следует, что при фиксированной точке D наименьший периметр имеет треугольник DEF, где вершины F и E являются пересечениями прямой D1D2 с прямыми AB и AC соответственно. Периметр этого треугольника равен длине отрезка D1D2 (рис. 9).

Рис.9

Отметим также, что равенство

АД=АД1=АД2.

Кроме того, имеет место равенство

Поэтому

Это означает, что длина отрезка D1D2 будет наименьшей тогда, когда длина отрезка AD будет наименьшей, т.е когда отрезок AD будет высотой треугольника ABC. Другими словами, треугольник DEF имеет наименьший периметр, где вершина D является основанием высоты треугольника ABC, вычтенной из вершины A, а вершины E и F построены по схеме, описанной выше. Таким образом, среди всех возможных треугольников DEF треугольник с наименьшим периметром является единственным.

Если мы обозначим длину высоты, вычитаемую из вершины A, длину стороны AB и радиус окружности ABC, вписанной вокруг треугольника буквами h, c и R соответственно, то по теореме синусов получим:

Следовательно, наименьший периметр рассматриваемых треугольников равен DEF

Теперь докажем, что ортоцентрический треугольник — это треугольник с наименьшим периметром. Для этого воспользуемся следующей леммой.

Лемма. Пусть DEF — ортоцентрический треугольник треугольника ABC (рис. 10).

Рис.10

При этом отрезок D1D2 проходит через точки F и E.

Доказательство. Заметим, что в силу следствия 2 выполняются равенства:

Кроме того, в силу подобия треугольников DFK и KFD2, а также в силу подобия треугольников DEL и LED1 выполняется равенство:

Поэтому,

откуда следует, что углы AEF и D1EL, а также AFE и D2FK являются вертикальными углами. Это означает, что точки D1, F, E, D2 лежат на одной прямой. Лемма доказана.

Доказательство леммы завершает решение проблемы Фаньяно.

Свойства

1. Если треугольник остроугольный, то все основания высот принадлежат сторонам треугольника, а для тупоугольного треугольника две высоты приходятся на продолжение сторон

2. Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром

3. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины к прямому углу, делит его на два треугольника, подобных исходному

4. В остроугольном треугольнике две высоты пересекают из него равные треугольники

Нахождение высоты треугольника

Помните, что высота треугольника — это отрезок, проведенный перпендикулярно от вершины фигуры к противоположной стороне.

Высота в разностороннем треугольнике

Высоту треугольника abc, проведенного к стороне a, можно найти по следующей формуле:

1. Общая площадь и длина стороны

где S — площадь треугольника.

2. По длинам всех сторон

где p — половина периметра треугольника, который рассчитывается следующим образом:

3. Через длину прилежащей стороны и синус угла

4. Через стороны и радиус описанной окружности

где R — радиус описанной окружности.

Высота в равнобедренном треугольнике

Длина высоты ha, опущенная на основание ai равнобедренного треугольника, вычисляется по формуле:

Высота в прямоугольном треугольнике

Высоту, проведенную к гипотенузе, можно найти:

1. Через длины отрезков, образованных на гипотенузе

2. Через стороны треугольника

Примечание: две другие высоты прямоугольного треугольника — это катеты.

Высота в равностороннем треугольнике

Для равностороннего треугольника со стороной а формула вычисления высоты выглядит следующим образом:

Примеры задач

Задание 1
Найдите высоту треугольника, проведенного из вершины В к стороне АС, если АВ = 7 см и угол ВАС = 45°.

Решение
В этом случае нам поможет формула нахождения высоты через сторону и синус прилежащего угла:

Задача 2
Найдите длину основания равнобедренного треугольника, если проведенная к нему высота равна 3 см, а сторона 5 см.

Решение
Формулу нахождения длины основания можно вывести из формулы вычисления высоты равнобедренного треугольника:

Вычислить высоту треугольника

Высота разностороннего треугольника через площадь и длину стороны.

ч = 2Са

Где: S — площадь треугольника, а — сторона.

Высота разностороннего треугольника через длины всех сторон.

Р = а + b + с2

Где: а, b, с — стороны треугольника, Р — половина периметра треугольника.

Высота разностороннего треугольника через длину прилежащей стороны и синус угла.

h = a sinα

Где: а — сторона, sin α — синус угла прилежащей стороны.

Высота разностороннего треугольника через стороны и радиус описанной окружности.

ч = bc2R

Где: b, c — стороны треугольника, R — радиус описанной окружности.

Высота прямоугольного треугольника через все стороны треугольника.

ч = абв

Где: а, b, с — стороны треугольника.