Как посчитать уравнение с одной неизвестной

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое уравнение, в котором одна или несколько величин неизвестны. Значение неизвестных должно быть найдено таким образом, чтобы при их подстановке в пример получалось правильное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части достигается правильное числовое равенство, то есть 6 = 6.

Уравнением можно назвать выражение 2+x=6, с неизвестной переменной x, значение которой необходимо найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, а левая часть равнялась правой.

Корнем уравнения является то самое число, которое при подстановке неизвестного уравнивает выражения справа и слева.

решить уравнение означает найти все возможные корни или убедиться, что их нет.

Решите уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые делают это выражение истинным числовым равенством.

Эквивалентные уравнения — это уравнения, в которых множества решений совпадают. Другими словами, у них одни корни.

Какие бывают виды уравнений

Уравнения могут быть разные, самые распространенные – линейные и квадратичные.

Особенностью преобразований алгебраических уравнений является то, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой части — ноль.

ax + b = 0, где a и b — действительные числа. Что поможет в решении: если а не равно нулю, уравнение имеет один корень: х = -b: а; если a равно нулю, уравнение не имеет корней; если a и b равны нулю, корнем уравнения является любое число.

ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Числовой коэффициент — это число, обозначающее неизвестную переменную.

Что такое линейное уравнение

Определение 1

Линейное уравнение — это уравнение, записанное следующим образом:
ax=b, где x — переменная, a и b — некоторые числа.

Эта формулировка используется в учебнике алгебры (7 класс) Ю.Н. Макарычев.

Пример 1

Примерами линейных уравнений могут быть:

3 x=11(уравнение с одной переменной x при a=5 и b=10);

−3,1 y=0 (линейное уравнение с переменной y, где a=-3,1 и b=0);

x=−4 и −x=5,37 (линейные уравнения, где число a записано явно и равно 1 и -1 соответственно. Для первого уравнения b=-4; для второго b=5,37) и т.д.

Разные учебные материалы могут содержать разные определения. Например, к линейным Виленкиным Н.Я относятся и те уравнения, которые можно преобразовать к виду ах = b путем переноса членов из одной части в другую со сменой знака и приведения подобных членов. Если следовать этой интерпретации, уравнение 5x=2x+6 также является линейным.

А вот учебник по алгебре (7 класс) Мордкович А.Г дает следующее описание:

Определение 2

Линейное уравнение с одной переменной x — это уравнение вида a x+b=0, где a и b — некоторые числа, называемые коэффициентами линейного уравнения.

Пример 2

Примером линейных уравнений этого типа может быть:

3x-7=0 (а=3, б=-7);

1,8 у+7,9=0 (а=1,8, б=7,9).

Но есть и примеры линейных уравнений, которые мы уже использовали выше: вида ax=b, например, 6 x=35.

Сразу договоримся, что в этой статье под линейным уравнением с одной переменной будем понимать уравнение для записи ах + b = 0, где х — переменная; а, b — коэффициенты. Мы видим эту форму линейного уравнения как наиболее оправданную, так как линейные уравнения являются алгебраическими уравнениями первой степени. А остальные уравнения, указанные выше, и уравнения, заданные эквивалентными преобразованиями вида a·x+b=0, мы определяем как уравнения, сводящиеся к линейным уравнениям.

При таком приближении уравнение 5·x+8=0 является линейным, а 5·x=−8 представляет собой уравнение, сводящееся к линейному.

Читайте также: Квадрат, вписанный в окружность: калькулятор

Примеры линейных уравнений

Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось отработать задания, чтобы увереннее чувствовать себя с элементами управления. Давайте решим вместе!

Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х+1=19.

1. Переместите 1 с левой стороны на правую со знаком минус.

Разделите обе части на множитель перед x, то есть на 6.

Пример 2. Как решить уравнение: 5(х — 3) + 2 = 3 (х — 4) + 2х — 1.

5х — 15 + 2 = 3х — 12 + 2х — 1

Сгруппируйте термины с неизвестными слева, а свободные термины справа. При переходе от одной части уравнения к другой не забывайте менять местами знаки переносимых членов.

5х — 3х — 2х = -12 — 1 + 15 — 2

Введем аналогичные термины.

Ответ: х — любое число.

Пример 3. Решить: 4x = 1/8.

1. Разделим обе части уравнения на множитель перед переменной x, то есть на 4.

Пример 4. Решить: 4(x + 2) = 6 − 7x.

1. 4х + 8 = 6 — 7х
2. 4х + 7х = 6 — 8
3. 11x = -2
4. х = -2:11
5. х = -2/11

Ответ: -2/11 или -(0,18). О десятичных дробях вы можете прочитать в другой нашей статье.

Пример 5. Решить:

1. 
2. 3(3x — 4) = 4 7x + 24
3. 9х — 12 = 28х + 24
4. 9х — 28х = 24 + 12
5. -19х = 36
6. х = 36 : (-19)
7. х = — 36/19

Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.

5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1

Группа неизвестных участников слева, свободные участники справа:

Введем аналогичные термины.

Ответ: решений нет.

Пример 7. Решить: 2(x + 3) = 5 − 7x.

Как решать простые уравнения

Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.

1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую член в уравнении меняет знак на противоположный.

Например, рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5

Начнем с того, что каждое уравнение имеет левую и правую части.

Перенесем 3 с левой стороны на правую и поменяем знак на противоположный.

Вы можете проверить: 2 + 3 = 5. Верно. Корень равен 2.

Давайте решим другой пример: 6x = 5x + 10.

Двигайтесь 5 раз с правой стороны на левую. Меняем знак на противоположный, то есть на минус.

Мы предоставляем аналогичное и полное решение.

2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую части на одно и то же число. Это может ускорить процесс растворения. Самое главное — быть осторожным, чтобы не сделать глупых ошибок.

Воспользуемся правилом при решении примера: 4x=8.

При неизвестном x имеется числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.

Чтобы решить уравнение, убедитесь, что когда x неизвестен, это единица.

Разделите каждую часть на 4. Вот как это выглядит:

Теперь сократим полученные нами дроби и закончим решение линейного уравнения:

Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12

1. Разделите обе части на −4 так, чтобы коэффициент при неизвестной был равен единице.

-4x = 12| : (−4)
х = -3

Если перед скобками стоит знак минус, и он был убран при расчетах, важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт поможет предотвратить обидные ошибки, особенно в старшей школе.

Помните, что не все линейные уравнения имеют решение — иногда корней просто нет. Иногда среди корней может оказаться нолик — ничего страшного, это не значит, что решение было неверным. Ноль — это то же число, что и остаток.

Способов решения линейных уравнений немного, нужно лишь запомнить один алгоритм, который будет эффективен для любой задачи.

При необходимости раскройте скобки. Сгруппируем члены, содержащие неизвестную переменную, в одну часть уравнения, остальные члены в другую. Мы предоставляем аналогичные условия в каждой части уравнения. Решаем получившееся уравнение: ах = b Делим обе части на коэффициент при неизвестной.

Принцип решения линейных уравнений

Рассмотрим, как определить, будет ли данное линейное уравнение иметь корни, и если да, то сколько их и как их определить.

Определение 3

Наличие корней линейного уравнения определяется значениями коэффициентов а и Ь. Запишем эти условия:

• при a≠0 линейное уравнение имеет единственный корень x=-ba;
• при a=0 и b≠0 линейное уравнение не имеет корней;
• при a=0 и b=0 линейное уравнение имеет бесконечно много корней. На самом деле в этом случае любое число может стать корнем линейного уравнения.

Дадим объяснение. Мы знаем, что в процессе решения уравнения возможно преобразование данного уравнения в эквивалентное, а это значит, что оно имеет те же корни, что и исходное уравнение, или вообще не имеет корней. Мы можем сделать следующие эквивалентные преобразования:

• переносить термин из одной части в другую, менять знак на противоположный;
• умножить или разделить обе части уравнения на одно и то же ненулевое число.

Таким образом, мы преобразуем линейное уравнение a·x+b=0, перемещая член b из левой части в правую со сменой знака. Получаем: a·x=−b.

Затем разделим обе части равенства на число, при этом договорившись, что это число отлично от нуля, иначе деление становится невозможным. Случай, когда a=0, будет рассмотрен позже.

Итак, делим обе части уравнения на число а, отличное от нуля, в результате чего получается равенство вида х = -ба. То есть при a≠0 исходное уравнение a·x+b=0 эквивалентно равенству x=-ba, где корень -ba очевиден.

От противного можно показать, что найденный корень единственный. Обозначим найденный корень -ba как x1. Предположим, что имеется еще один корень линейного уравнения с обозначением x2. И конечно: x2≠x1, а это в свою очередь, исходя из определения равенства чисел через разность, соответствует условию x1−x2≠0. В свете вышеизложенного, подставив корни, можно составить следующие уравнения:
а х1+b=0 и а х2+b=0.
Свойство числовых равенств позволяет выполнять почленное вычитание частей равенств:

a x1+b−(a x2+b)=0−0, следовательно: a (x1−x2)+(b−b)=0 и тогда a (x1−x2)=0. Равенство a·(x1−x2)=0 неверно, так как ранее было задано условие, что a≠0 и x1−x2≠0. Полученное противоречие является доказательством того, что при a≠0 линейное уравнение a·x+b=0 имеет только один корень.

Обоснуем еще два пункта условий, содержащих a=0.

Когда a=0, линейное уравнение a·x+b=0 будет записано как 0·x+b=0. Свойство умножения числа на ноль дает нам право утверждать, что любое число, взятое за х, и подставив его уравнением 0 x+b=0, мы получим b=0. Равенство верно для b=0; в противном случае, когда b≠0, равенство становится недействительным.

Таким образом, при a=0 и b=0 любое число может стать корнем линейного уравнения a·x+b=0, так как при этих условиях, подставляя вместо x любое число, мы получаем правильное числовое равенство 0=0. При a=0 и b≠0 линейное уравнение a·x+b=0 вообще не будет иметь корней, так как при выполнении вышеуказанных условий, подставив вместо x любое число, получим неверное числовое равенство b =0.

Все рассуждения выше позволяют написать алгоритм, позволяющий найти решение любого линейного уравнения:

• по типу записи определяем значения коэффициентов а и b и анализируем их;
• при a=0 и b=0 уравнение будет иметь бесконечное число корней, т.е любое число станет корнем данного уравнения;
• при a=0 и b≠0 данное уравнение не будет иметь корней;
• для отличия от нуля начинаем поиск единственного корня исходного линейного уравнения:

1. переносим коэффициент b в правую часть со сменой знака на противоположный, приводя линейное уравнение к виду ax=−b;
2. делим обе части полученного равенства на число а, что и даст нам искомый корень данного уравнения: х = -ба.

По сути, описанная последовательность действий и есть ответ на вопрос, как найти решение линейного уравнения.

Наконец, уточним, что уравнения вида ax=b решаются по аналогичному алгоритму с той лишь разницей, что число bi в такой записи уже перенесено в нужную часть уравнения, а при a≠0 можно сразу разделить части уравнения на число a.

Для нахождения решения уравнения ax=b воспользуемся следующим алгоритмом:

• при a=0 и b=0 уравнение будет иметь бесконечное число корней, т.е его корнем может стать любое число;
• при a=0 и b≠0 данное уравнение не будет иметь корней;
• когда а не равно нулю, обе части уравнения делятся на число а, что позволяет найти единственный корень, равный ba.

Уравнение с одним неизвестным

Уравнение вида ax = b, где x — неизвестное, a и b — числа, называется уравнением с неизвестным или линейным уравнением.

Число а называется коэффициентом неизвестного, а число b — свободным членом.

Если коэффициент в уравнении ax = b не равен нулю (a ≠ 0), то, разделив обе части уравнения на a, получим

. Следовательно, уравнение ax = b, где a ≠ 0, имеет единственный корень

.

Если коэффициент в уравнении ax = b равен нулю (a = 0), а свободный член не равен нулю (b ≠ 0), то уравнение не имеет корней, так как выполняется равенство 0x = b, где b ≠ 0, также неверно при каком значении x.

Если в уравнении ах = b и коэффициент, и свободный член равны нулю (а = 0 и b = 0), то уравнение имеет бесконечное число корней, так как верно равенство 0х = 0 для любого значения х.

Определение и запись уравнения

Математическое выражение вида ax+b=0 называется уравнением с одной неизвестной (переменной) или линейным уравнением. Здесь:

• a и b — все числа: a — коэффициент при неизвестном, b — свободный коэффициент.

Уравнение можно представить в эквивалентной форме. После этого смотрим на шансы.

• При a ≠ 0 единственным корнем является .
• При а = 0 уравнение будет иметь вид . В этом случае:
  • если b ≠ 0, корней нет;
  • если b = 0, корнем является любое число, потому что выражение верно для любого значения x .

Решение уравнений с одним неизвестным (переменной)

В данной публикации мы рассмотрим определение и общий вид записи уравнения с неизвестным, а также приведем алгоритм его решения с практическими примерами для лучшего понимания.

Уравнения с модулями

Помните, что модуль положительного числа и числа 0 — это одно и то же число, модуль отрицательного числа — это его противоположное число:

Так,
. Модуль любого числа
неотрицательное число, т
.

Уравнения
содержат переменную под знаком модуля. Такие уравнения называются уравнениями с модулем.

Напишите уравнение
. Решите формальное уравнение
, где a — известное число, можно использовать геометрический смысл модуля числа: модуль числа
это расстояние от начала координат до точки, представляющей число
на линии координат.

Рассмотрим уравнение
. На координатной прямой есть две точки, расположенные на расстоянии 2 единиц от начала координат. Это точки, соответствующие номерам 2 и -2 (рис. I). Отсюда уравнение
имеет два корня: 2 и -2.

Рис. 1

Уравнение
имеет один корень — число 0, и уравнение
не имеет корней (модуль любого числа
неотрицательное число и не может быть равно -2).

В общем случае уравнение
:

• имеет два корня а и -а, если <br>;
• имеет один корень 0, если <br>;
• не имеет корней, если

Решение уравнений с модулями, исходя из определения модуля числа

Давайте решим уравнение

(1)

Это уравнение нельзя привести к виду
, где а — число. Для ее решения рассмотрим два случая.

1. Если
неотрицательное число (
), Это
и уравнение (1) имеет вид
, где
. Число 1 неотрицательно (удовлетворяет неравенству
), поэтому он является корнем уравнения (1).

2. Если
— отрицательное число (
), Это
и уравнение (1) имеет вид
, где
. Число 2 неотрицательно (не удовлетворяет неравенству
), поэтому он не является корнем уравнения (1).

Тогда уравнение
имеет один корень
.

Решение задач с помощью уравнений

При решении задач с помощью уравнений в большинстве случаев придерживаются следующей схемы:

1. выберите неизвестное и пометьте его буквой
   (или другая буква);
2. использовать условие задачи, составить уравнение;
3. решить уравнение и ответить на вопросы, заданные в задании.

Решение уравнений с одним неизвестным

Все уравнения с одним неизвестным решаются одинаково с помощью преобразований, которые можно выполнять в любом порядке. Список возможных преобразований, которые можно использовать для решения уравнений:

• освобождение от дробных членов;
• открытые скобки;
• перенос всех членов, содержащих неизвестные, в одну часть, а известных в другую (члены с неизвестными обычно переносят в левую часть уравнения);
• сделать сокращение однородных членов;
• разделить обе части уравнения на коэффициент при неизвестной.

Пример 1. Решить уравнение

1. Освободим уравнение от дробных членов:

20х — 28 — 24 = 9х + 36.

20х — 9х = 36 + 28 + 24.

Реализуем приведение соответствующих членов:

Делим обе части уравнения на коэффициент при неизвестной (на 11):

Делаем проверку, подставляя значение вместо xi в это уравнение:

Уравнение превратилось в истинное равенство, поэтому корень был найден правильно.

Пример 2. Решить уравнение

1. Это уравнение легче решить, не раскрывая скобок, поэтому разделим обе части уравнения на 5:

Реализуем приведение соответствующих членов:

Делаем проверку, подставляя значение вместо xi в это уравнение:

5(11-2) = 45; 59 = 45; 45 = 45.

Алгоритм и примеры решения уравнений с одим неизвестным

Простые варианты

Рассмотрим простые примеры с a = 1 и только одним свободным коэффициентом.

Пример	Решение	Объяснение
срок	известный член вычитается из суммы
уменьшаемое	разница прибавляется к вычитаемому
вычитаемое	разница вычитается из уменьшаемого
фактор	произведение делится на известный множитель
дивиденд	частное умножается на делитель
части	дивиденд делится по квоте

Сложные варианты

При решении более сложного уравнения с одной переменной очень часто приходится сначала упростить его, прежде чем находить корень. Для этого можно использовать следующие методы:

• открытые скобки;
• перенос всех неизвестных в одну сторону от знака «равно» (обычно влево), а известных в другую (соответственно вправо).

Пример: решить уравнение .

1. Раскройте скобки:
   6х + 18 — 3х = 2 + х .
2. Переносим все неизвестные влево, а известные вправо (не забываем при переносе поменять знак на противоположный):
   6х — 3х — х = 2 — 18 .
3. Реализуем приведение соответствующих членов:
   2х = -16 .
4. Разделим обе части уравнения на число 2 (коэффициент при неизвестной):
   х = -8 .