Как правильно раскрывать скобки?

Понятие раскрытия скобок

В задачах по математике всегда встречаются числовые и буквенные выражения, а также выражения с переменными, которые объединяются скобками.

Основная функция скобок — изменение порядка операций при вычислении значений числовых выражений.

Часто можно перейти от одного выражения со скобками к идентично такому же выражению без скобок. Например:

• 2(3 + 4) = 2 * 3 + 2 * 4.

Такой переход от выражения со скобками к тождественно аналогичному выражению без скобок несет в себе основную идею раскрытия скобок.

Исходное выражение со скобками и результат, полученный после раскрытия скобок, удобно записать как равные, как мы это сделали в предыдущем примере.

В школе к теме открытия скобок обычно подходят в 6 классе. На этом этапе раскрытие скобок воспринимают как избавление от скобок, указывающих порядок, в котором должны выполняться действия, и изучают раскрытие скобок на примерах выражений, содержащих:

• знаки плюс или минус перед круглыми скобками, в которых заключена сумма или разность, например (а + 7) и -(-3 + 2а — 12 — b);
• произведение числа, одной или нескольких букв и суммы или разности в скобках, например 3(2-7), (3-a + 8c)(-b) или -2a(b + 2c-3m).

Расширение кронштейна также можно увидеть шире.

Раскрытием в скобках можно назвать переход от выражения, содержащего отрицательные числа в скобках, к выражению без скобок. Например:

• 5 + (-3) — (-7) = 5 — 3 + 7.

Или, если в выражениях, описанных выше, вместо чисел и переменных могут быть все выражения. В полученных таким образом выражениях также возможно раскрытие скобок. Например:

Расширение скобок — это избавление от скобок, указывающих порядок, в котором должны выполняться действия, а также избавление от скобок, заключающих отдельные числа и выражения.

Важно отметить еще один момент, который касается особенностей написания решения при раскрытии скобок. При раскрытии скобок в громоздких выражениях промежуточные результаты можно записать в виде цепочки равенств. Например вот так:

• 5 — (3 — (2 — 1)) = 5 — (3 — 2 + 1) = 5 — 3 + 2 — 1

Читайте также: Перевод десятичной дроби в обыкновенную и наоборот: правило, примеры

Первое правило раскрытия скобок

Рассмотрим выражение:

• 8 + (-9 + 3)

Это выражение равно двум. А теперь давайте раскроем скобки, то есть избавимся от них. Мы ожидаем, что после избавления от скобок значение выражения 8 + (−9 + 3) также должно быть равно 2.

Первое правило раскрытия скобок Если перед скобками стоит знак плюс, все числа внутри скобок сохраняют свой знак. Формула раскрытия скобок (а — б) = а — б

Мы видим, что в выражении 8 + (−9 + 3) перед скобками стоит плюс. Таким образом, плюс должен быть опущен вместе со скобками. Что было в скобках — напишем без изменений, вот так:

Вот мы и получили выражение без скобок 8 − 9 + 3. Снова получаем два в результате вычисления.

• 8 + (-9 + 3) = 2
• 8 — 9 + 3 = 2

Следовательно, между выражениями 8 + (−9 + 3) и 8 − 9 + 3 можно поставить знак равенства, так как они равны одному и тому же значению:

• 8 + (-9 + 3) = 8 — 9 + 3
• 2 = 2

Давайте попрактикуемся в использовании правила на примерах.

Пример 1. Раскройте скобки в выражении 8 + (−3 − 1)

Как мы спорим:

Перед скобками стоит плюс, поэтому этот плюс вместе со скобками опускаем. А то, что было в скобках, остается без изменений:

• 8 + (-3 — 1) = 8 — 3 — 1

Пример 2. Раскрыть скобки в выражении 6 + (−2)

Как мы спорим:

Перед скобками стоит плюс, поэтому действует то же правило:

• 6 + (-2) = 6 — 2

Раскрытие скобок в предыдущем примере выглядит как обратная операция замены вычитания сложением.

Вычитание происходит в выражении 6 − 2, но его можно заменить сложением. Тогда мы получим выражение 6 + (−2). Но если вы раскроете скобки в выражении 6 + (−2), вы снова получите 6 − 2.

Следовательно, первое правило раскрытия скобок можно использовать для упрощения выражений после других преобразований.

Двигаться дальше. Теперь упростим выражение 2a + a − 5b + b.

Чтобы упростить это выражение, сократите подобные члены. Для этого складываем коэффициенты одинаковых членов и результат умножаем на общую буквенную часть:

• 2a + a — 5b + b = 2a + a + (-5b) + b = (2 + 1) * a + (-5 + 1) * b = 3a + (-4b)

Мы получили выражение 3a + (−4b). Раскроем скобки. Перед скобками стоит плюс, поэтому мы используем первое правило для открытия скобок: мы опускаем скобки вместе с плюсом, который стоит перед этими скобками.

• 3а + (-4б) = 3а — 4б

Таким образом, выражение 2a + a — 5b + b упрощается до 3a — 4b.

Открыв одни скобки, по пути можно найти другие. Для них используем те же правила, что и для первого. Например, раскроем скобки в следующем выражении:

• 2 + (-3 + 1) + 3 + (-6)

Здесь вы должны открыть скобки в двух местах. Опять же, мы используем первое правило для открытия круглых скобок, а именно, что мы опускаем круглые скобки вместе с предшествующим плюсом:

• 2 + (-3 + 1) + 3 + (-6) = 2 — 3 + 1 + 3 — 6

Пример 3. Раскрыть скобки 6 + (−3) + (−2)

Как мы спорим:

В обоих местах перед скобками стоит плюс. Используя первое правило раскрытия скобок:

• 6 + (-3) + (-2) = 6 — 3 — 2

Можно встретить такой пример, когда первый член в скобках пишется без знака. Например, в выражении 1+(2+3-4) первый член в скобках 2 пишется без знака. Какой символ будет стоять перед двумя после опускания скобок и плюса перед скобками? Ответ интуитивно понятен — это будет плюс перед вторым.

Дело в том, что даже в скобках перед двойкой стоит плюс, просто мы его не видим, так как не принято писать плюс. Полная запись положительных чисел выглядит так: +1, +2, +3, но традиционно плюсы не пишут, поэтому мы всегда видим положительные числа в таком виде: 1, 2, 3.

Поэтому для раскрытия скобок в выражении 1 + (2 + 3 − 4), как обычно, нужно опустить скобки вместе с плюсом, стоящим перед этими скобками, но записать первое слагаемое, стоявшее в скобках, со знаком плюс:

• 1 + (2 + 3 — 4) = 1 + 2 + 3 — 4

Пример 4. Раскрыть скобки в выражении (−7)

Как мы спорим:

Перед скобками стоит плюс, но мы его не видим, потому что перед ним нет других чисел или выражений. Мы удаляем скобки, используя первое правило раскрытия скобок:

• (−7) = −7

Пример 5. Раскройте скобки 9a + (−5b + 6c) + 2a + (−2d)

Как мы спорим:

Мы видим два места, где нужно раскрыть скобки. В обоих разделах перед скобками стоит плюс, значит, этот плюс опускается вместе со скобками. В скобках пишем то, что было без изменений:

Второе правило раскрытия скобок

Здесь мы рассмотрим второе правило открытия скобок. Это звучит так:

Второе правило открытия скобок Если перед скобками стоит знак минус, то все числа внутри скобок меняют свой знак на противоположный. Формула раскрытия скобок -(а — б) = -а + б

Например, раскроем скобки в выражении 5 − (−2 − 3)

Видим, что перед скобками стоит минус. Таким образом, вы должны использовать второе правило расширения, а именно опустить скобки вместе с минусом, который стоит перед этими скобками. В этом случае слагаемые, стоявшие в круглых скобках, изменят свой знак на противоположный:

Итак, мы получили выражение без скобок 5 + 2 + 3. Это выражение равно десяти, так же как и предыдущее выражение со скобками было равно 10.

• 5 — (-2 — 3) = 10
• 5 + 2 + 3 = 10

Следовательно, между выражениями 5 − (−2 − 3) и 5 ​​+ 2 + 3 можно поставить знак равенства, так как они равны одному и тому же значению:

• 5 — (-2 — 3) = 5 + 2 + 3
• 10 = 10

Пример 1. Раскройте скобки в выражении 18 − (−1 − 5)

Как мы спорим:

Перед скобками стоит знак минус, поэтому мы используем второе правило для раскрытия скобок:

18 — (-1 — 5) = 18 + 1 + 5

Пример 2. Раскрыть скобки −(−6 + 7)

Как мы спорим:

Перед скобками стоит знак минус, поэтому мы используем второе правило для раскрытия скобок:

−(−6 + 7) = 6 − 7

Пример 3. Раскрыть скобки −(−7 − 4) + 15 + (−6 − 2)

Как мы спорим:

Здесь мы видим два места, где нужно удлинить скобки. В первом случае мы используем второе правило для раскрытия скобок, а во втором — первое правило:

−(−7 − 4) + 15 + (−6 − 2) = 7 + 4 + 15 − 6 − 2

Пример 4. Раскройте скобки в выражении a − (3b + 3) + 10

Как мы спорим:

Перед скобками стоит знак минус, поэтому мы используем второе правило для раскрытия скобок:

а — (3b + 3) + 10 = а — 3b — 3 + 10

Другие правила раскрытия скобок

Правило раскрытия скобок при делении Если после скобок стоит знак деления, то каждое число в скобках делится на делитель, стоящий после скобок. Формула раскрытия скобок (а + b): с = а/с + b/с.

деление скобки на число подразумевает, что вы должны разделить все термины в скобках на число.

Деление можно предварительно заменить умножением, после чего можно использовать соответствующее правило для раскрытия скобок в произведении. То же правило применяется при делении скобки на скобку.

Например, нам нужно раскрыть скобки в выражении (x + 2): 2/3. Для этого сначала заменим деление умножением на обратную величину числа:

• (х + 2): 2/3 = (х + 2) * 3/2.

Затем умножьте скобки на число:

• (х + 2) * 3/2 = х * 3/2 + 2 * 3/2.

Правило раскрытия скобок при умножении: Если перед скобками стоит знак умножения, то каждое число внутри скобок должно быть умножено на множитель перед скобками. Формула раскрытия скобок а (б + с) = аб + ас

Пример 1. Раскрыть скобки 5(3 − x)

Как мы решаем:

У нас есть 3 и -xi в скобках и пять перед скобкой. Таким образом, каждый член в скобках должен быть умножен на 5:

Знак умножения между числом и скобкой в ​​математике пишется не для уменьшения размера записей.

Пример 2. Упростите выражение: 5(x + y) − 2(x − y)

Как мы решим: 5(x + y) — 2(x — y) = 5x + 5y — 2x + 2y = 3x + 7y.

Правило раскрытия скобок при сложении.

При раскрытии скобок в выражении используется ассоциативное сложение свойства, которое гласит:

Правило 1

Если вам нужно прибавить к числу сумму двух чисел, вы можете прибавить к этому числу первое слагаемое, а затем второе.

а + (б + с) = а + б + с

При использовании этого свойства соблюдайте следующее правило раскрытия скобок:

Если скобкам предшествует знак «+», все числа в скобках сохраняют свой знак.

а + (б + с) = а + б + с

а + (б — с) = а + б — с

а + (-b + с) = а — б + с

а + (-b — с) = а — б — с

То же правило применяется, когда в выражении встречаются две или более круглых скобок.

а + (b — c) + d + (-f) = a + b — c + d — f

Правило раскрытия скобок при вычитании

Если перед скобками стоит знак «-», знаки терминов должны меняться местами при их раскрытии.

а — (б + с) = а — б — с

а — (б — в) = а — б + в

а — (-b + с) = а + b — с

а — (-b — с) = а + b + с

Примечание 1

Отсутствие знака в скобках перед первым абзацем означает, что он положительный, а при раскрытии скобок становится отрицательным.

Решение таких примеров состоит из следующих действий:

• скобки раскрыты;
• знак каждого члена меняется на противоположный.

х — (у + z) = х — у — z;

м — (-н — р) = м + н + р;

Случаи, когда выражение содержит сложение и вычитание скобок.

10а + (19б — 34в) — 50 — (м + н)

В данном примере скобки раскрываются по алгоритму:

• правило сложения применяется к первой скобке;
• вторая скобка расширяется по правилу вычитания.

10а + 19б — 34 в — 50 — м — н

Раскрытие скобок в сложных выражениях.

Определение 2

Сложное выражение — это выражение, в котором используются круглые скобки и знаки деления/умножения.

Раскрытие скобок при умножении

Действия по раскрытию скобок при умножении основаны на работе дистрибутивного или ассоциативного свойства умножения.

Применение того или иного свойства умножения зависит от действия в скобках. Если есть сложение или вычитание, работает распределительное свойство. При умножении или делении используется свойство ассоциативности.

1. Открывающие скобки в соответствии со свойством распределения.

При добавлении:

Правило 2

Чтобы умножить сумму на число, умножьте каждый член на это число и сложите результаты.

а ∙ (б + с) = аб + ас

(а + б) ∙ с = ​​ас + Ьс

При вычитании:

Правило 3

Чтобы умножить разность на число, умножьте на это число сначала уменьшаемое, затем вычитаемое и из первого произведения вычтите второе.

а ∙ (б — в) = аб — ас

(а – б) ∙ с = ​​ас – bc

Заметка 2

В математике для сокращения записей знак умножения не ставится перед числом и скобками.

Если общий множитель имеет отрицательное значение, все значения в скобках умножаются на (–1) и меняются местами:

-х(у + г) = -ху — хг

-х(у — г) = -ху + хг

2. Открывающие скобки по свойству ассоциативности:

Правило 4

Произведение трех и более факторов не изменится, если эту группу факторов заменить их произведением.

(а ∙ б) ∙ с = ​​а ∙ б ∙ с

(б ∙ в ∙ г) ∙ а = б ∙ в ∙ д ∙ а

В случае, если умножение выполняется в скобках, раскрытие происходит как при сложении — скобки просто раскрываются и перемножаются все значения:

а ∙ (б ∙ с) = а ∙ б ∙ с

(б ∙ в) ∙ а = б ∙ с ∙ а

Заметка 3

При раскрытии скобок необходимо учитывать правило знака.

При умножении:

(+) · (+) = (+)

(+) · (-) = (-)

(-) · (+) = (-)

(-) · (-) = (+)

При совместном использовании:

(+) : (+) = (+)

(+) : (-) = (-)

(-) : (+) = (-)

(-) : (-) = (+)

При делении в скобках расширение происходит следующим образом:

Если общий множитель стоит перед скобками, то:

• общий множитель умножается на первое число в скобках и делится на второе число:

а ⋅ (б : с) = а ⋅ б : с;

• или общий множитель делится на второе число в скобках и умножается на первое число:

а ⋅ (б : с) = а : с ⋅ б.

Если общий множитель стоит после скобок, то:

• общий множитель умножается на первое число в скобках и делится на второе:

(а : б) ⋅с = с ⋅ а : б;

• общий множитель делится на второе число в скобках и умножается на первое:

(а : б) ⋅ с = с : б ⋅ а.

Скобка на скобку

Если вы хотите перемножить несколько скобок вместе, умножьте каждый элемент первой скобки на каждый член второй скобки:

(a + b) ⋅ (c — d) = a ⋅ (c — d) + b ⋅ (c — d) = ac — ad + bc — bd

Алгоритм действий при открытии скобки для скобки:

1. Первая скобка раскрывается, каждое из слагаемых умножается на вторую скобку.
2. Число умножается на скобки, даются аналогичные термины.

(5х + 7) ⋅ (10х — 2) =

5 х (10 х — 2) + 7 (10 х — 2) =

50x² — 10x + 70x — 14 =

50x² + 60 — 14

Скобка в скобке

В математике могут быть примеры, когда одни скобки заключаются в другие скобки.

Алгоритм действий такого типа примера:

1. Каждая скобка раскрывается последовательно, начиная с внутренней.
2. Скобки раскрываются в соответствии с принятыми правилами раскрытия скобок при сложении, вычитании, умножении и делении.
3. Аналогичные термины даны для дальнейшего решения математического выражения или уравнения

8x + y(4 — (2x — y)) = 8x + y(4 — 2x + y) = 8x + 4y — 2xy + y²

Раскрытие скобок при делении

1. Случаи, когда сложение или вычитание выполняется в круглых скобках.

Правило 5

Если знак деления стоит после скобок, то каждое число в скобках делится на делитель, стоящий после скобок:

(а + b): с = а: с + b: с;

(а — б): с = а: с — б: с.

Если перед скобками стоит знак деления, делимое делится на каждое число в скобках:

с: (а + Ь) = с: а + с: Ь;

с : (а — б) = с : а — с : б.

1. Если умножение выполняется в скобках, то:

Если знак деления стоит перед скобкой:

• делимое делится на первое число в скобках и делится на второе:

а : (б ⋅ с) = а : б : с;

• либо делимое делится на второе число в скобках, а затем делится на первое:

а : (б ⋅ с) = а : с : б.

Если знак деления стоит после скобки:

• первое число в скобках делится на делитель и умножается на второе:

(б ⋅ с): а = (б : а) ⋅ с ;

• или второе число в скобках делится на делитель и умножается на первое:

(б ⋅ с) : а знак равно (с : а) ⋅ б .

Если деление выполняется в круглых скобках:

• делимое делится на первое число в скобках и умножается на второе:

а : (б : с) = а : б ⋅ с;

• первое число в скобках делится на делитель и делится на второе число:

(б : в) : а = б : с : а.

Не забывайте, что при раскрытии скобок необходимо учитывать правило символов, описанное выше:

При умножении:

(+) · (+) = (+)

(+) · (-) = (-)

(-) · (+) = (-)

(-) · (-) = (+)

При совместном использовании:

(+) : (+) = (+)

(+) : (-) = (-)

(-) : (+) = (-)

(-) : (-) = (+)

Таблица с формулами раскрытия скобок

Эти таблицы с правилами раскрытия скобок можно распечатать и обращаться к ним при возникновении сомнений при решении задачи.

Правила раскрытия скобок вида (-а), содержащих моном
При добавлении: б + (-а) = б — а б — (-а) = б + а (-а) + б = -а + б	При умножении: (-а)б = -аб а(-б) = -аб (-а)(-б) = аб

 

Правила раскрытия скобок, содержащих многочлен

Скобки снимаются, знаки всех членов в скобках не меняются, если: перед скобкой стоит знак плюс: а + (б — с + d) = а + б — с + d выражение начинается со скобки и перед ней нет символов: (а+bc)+d=a+b-c+d

Скобки снимаются, знаки всех членов в скобках меняются местами, если: перед скобкой стоит знак минус: а — (б — в + г) = а — б + в — г выражение начинается с минуса перед скобкой: -(а + b — с) + d = -а — b + с + d

 

Раскрывать скобки при умножении одночлена на многочлен

a + b(c + d — f + e) ​​= a + bc + bd — bf + be a + b(c + d — f + e) ​​= a + bc + bd — bf + be -a(b + c — d) + f = -ab — ac + ad + f

Раскрывать скобки при умножении многочлена на многочлен

(a + b)(c — d) = a(c — d) + b(c — d) = ac — ad + bc — bd (-a + b)(c + d) = -a(c + d) + b(c + d)= -ac — ad + bc + bd

Раскрывать скобки при возведении многочлена в степень

(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b)= a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2

Скобка в скобке

В алгебре 7-го класса вы можете найти задачи со скобками, вложенными в другие скобки. Вот пример такой задачи:

• упростите выражение 7x + 2 (5 — (3 x + y)).

Для успешного выполнения этих задач необходимо:

• позаботьтесь о скобках — что в чем.
• открывать скобки последовательно, начиная с самой внутренней.

При этом при раскрытии одной из скобок важно не трогать остальное выражение и просто переписать его как есть. Давайте подробнее рассмотрим тот же пример.

Пример 1. Раскрыть скобки и добавить равные члены 7x + 2(5 − (3x + y))

Как мы решаем:

Начнем с расширения внутренней скобки (той, что внутри). Когда мы его открываем, мы имеем дело только с тем, что имеет к нему непосредственное отношение – это сама скобка и минус перед ней. Все остальное переписывается как было.

• 7х + 2(5 — (3х + у)) = 7х + 2(5 — 3х — у).

Теперь раскроем вторую скобку, внешнюю:

• 7х + 2(5 — (3х + у)) = 7х + 2(5 — 3 х — у) = 7х + 2 * 5 — 2 * 3 х — 2 * у.

Упростим полученное выражение:

• 7х + 2 (5 — (3х + у)) = 7х + 2 (5 — 3 х — у) = 7х + 2 * 5 — 2 * 3 х — 2 * у = 7х + 10 — 6х — 2у.

Вот некоторые из них:

• 7х + 10 — 6х — 2у = х + 10 — 2у

Раскрытие вложенных скобок

Иногда встречаются примеры со скобками, вложенными в другие скобки. Для решения такой задачи нужно сначала открыть внутреннюю скобку (при этом оставив без изменений остальное выражение), а затем внешнюю скобку.

Пример 1. 7а + 2 × (5−(3а+b)).
Решение:
Шаг 1. Раскройте внутреннюю скобку (остальные не трогая): 7а + 2 × (5 – (3а+b)) = 7а + 2 × (5 – 3а – b).
Шаг 2. Раскройте внешнюю скобку: 7a + 2 × (5 − (3a+b)) = 7a + 2×5 − 2×3a − 2×b.
Шаг 3. Упростите выражение: 7а + 10 — 6а — 2б = а + 10-2б.

Раскрытие скобок в натуральной степени

Если стоит скобка в натуральной степени (n), то для раскрытия скобки нужно найти произведение скобки, умноженное в несколько раз (n раз).

Например, в примере (a + b) 2 = (a + b) × (a + b) нужно дважды умножить скобки (a + b), а затем раскрыть скобки, где каждое слагаемое в первом скобке умножается на каждый член во второй скобке.

Порядок раскрытия скобок

Теперь рассмотрим порядок применения рассмотренных выше правил в общих чертах. То есть в выражениях, содержащих суммы с разностями, произведения с частными, скобки в натуральном выражении.

Порядок раскрытия скобок соответствует порядку выполнения действий:

• возводим многочлены в скобках в натуральные степени;
• выполнять умножение и деление слева направо;
• когда в скобках останутся только термины, раскройте скобки и дайте им подобное.

Пример 1. Раскройте скобки и упростите выражение:

-(2а + 5б) + (3а — 2б + 1) — (2а + 4) = -2а — 5б + 3а — 2б + 1 — 2а — 4 = (-2а + 3а — 2а) + (-5б — 2б) + (1 — 4) = -а — 7б — 3

Пример 2. Докажите, что при всех значениях переменной а значение выражения 3(2а — 7) — (а + (5а — 4)) отрицательно.

Доказательство:

33(2а — 7) — (а + (5а — 4)) = 3(2а — 7) — (а + 5а — 4)= 6а — 21 — а — 5а + 4 = (6а — а — 5а) + (-21 + 4) = -16/p>

Значение выражения не зависит от переменной и всегда отрицательно. КЭД

Примеры решения задач

Добавление.

Формула 1

Формулы для открытия скобок:

а + (б + с) = а + б + с

а + (б — с) = а + б — с

а + (-b + с) = а — б + с

а + (-b — с) = а — б — с

Пример 1

120 + (350 + 270) = 120 + 350 + 270

25 + (37а — 10б) = 25 + 37а — 10б

1000 + (-420 + 4) = 1000 — 420 + 4

268 + (-150 — 79) = 268 — 150 — 79

956 + (67 — 96 + 48) — 832 = 956 + 67 — 96 + 48 — 832

780 + (1348 + 290) + (420 — 100) = 780 + 1348 + 290 + 420 — 100

Вычитание.

Формула 2

а — (б + с) = а — б — с

а — (б — в) = а — б + в

а — (-b + с) = а + b — с

а — (-b — с) = а + b + с

Примеры 2

45 — (-7 + 14) = 45 + 7 — 14

10 — (2 + 3) = 10 — 2 — 3

255 — (177 + 58 — 200) = 255 — 177 — 58 + 200

1375 — (-219а — 35б) + 27 = 1375 + 219а + 35б

390 + (734 — 220) — 79 — (100 + 657) = 390 + 734 — 220 — 79 — 100 — 657

Умножение.

Умножение при сложении в скобках.

Формула 3

а ∙ (б + с) = аб + ас

(а + б) ∙ с = ​​ас + Ьс

Пример 3

8 ∙ (2 + 3) = 8 ∙ 2 + 8 ∙ 3

(4 + 5) ∙ 7 = 4 ∙ 7 + 4 ∙ 7

Умножение при вычитании в скобках.

Формула 4

а ∙ (б — в) = аб — ас

(а — б) ∙ с = ​​ас — Ьс

Пример 4

7 ∙ (8 — 6) = 7 ∙ 8 — 7 ∙ 6

(12 — 3) ∙ 5 = 12 ∙ 5 — 3 ∙ 5

Умножение, когда скобкам предшествует «-»

Формула 5

-х(у + г) = -ху — хг

-х(у — г) = -ху + хг

Примеры 5

-9 ∙ (2 + 3) = -9 ∙ 2 – 9 ∙ 3

-4 ∙ (10 — 5) = -4 ∙ 10 + 4 ∙ 5

Умножение вне скобок и внутри скобок.

Формула 6

а ∙ (б ∙ с) = а ∙ б ∙ с

(б ∙ в) ∙ а = б ∙ с ∙ а

Пример 6

2 ∙ (5 ∙ 7) = 2 ∙ 5 ∙ 7

(3 4) 8 = 3 4 8

Умножение при делении в скобках.

Формула 7

а ∙ (б : с) = а ∙ б : с

а ∙ (б : с) = а : с ∙ б

(а : б) ∙ с = ​​с ∙ а : б

(а : б) ∙ с = ​​с : б ∙ а

Пример 7

6 ⋅ (9 : 3) = 6 ⋅ 9 : 3

6 ⋅ (9 : 3) = 6 : 3 ⋅ 9

(9 : 3) ⋅ 6 = 6 ⋅ 9 : 3

(9 : 3) ⋅ 6 = 6 : 3 ⋅ 9

Умножить скобку на скобку.

Формула 8

(a + b) ⋅ (c — d) = a ⋅ (c — d) + b ⋅ (c — d) = ac — ad + bc — bd

Пример 8

(7х + 3) ⋅ (8х — 5) = 7х ⋅ (8х — 5) + 3 ⋅ (8х — 5) = 7х ⋅ 8х — 7х ⋅ 5 + 3 ⋅ 8х — 3 ⋅ 5 = 56 х ² — 35х — 15 =

56 х² — 9х — 15

Разделение.

Деление при сложении или вычитании в скобках.

Формула 9

(а + б): с = а: с + б: с

(а – б) : с = а : с – б : с

с : (а + б) = с : а + с : б

с : (а — б) = с : а — с : б

Пример 9

(12 + 6): 3 = 12 : 3 + 6 : 3

(12 — 6): 3 = 12 : 3 — 6 : 3

18 : (6 + 3) = 18 : 6 + 18 : 3

18 : (6 — 3) = 18 : 6 — 18 : 3

Деление в скобках означает умножение или деление.

Формула 10

а : (б ⋅ с) = а : б : с

а : (б ⋅ с) = а : с : б

(б ⋅ с) : а = б : а ⋅ с

(б ⋅ с) : а = с : а ⋅ б

а : (б : с) = а : б ⋅ с

(б : в) : а = б : с : а

Пример 10

24 : (12 ⋅ 2) = 24 : 12 : 2

24 : (12 ⋅ 2) = 24 : 2 : 12

(12 ⋅ 2) : 24 = 12 : 24 ⋅ 2

(12 ⋅ 2) : 24 = 2 : 24 ⋅ 12

24 : (12 : 2) = 24 : 12 ⋅ 2

(24 : 6): 2 = 24 : 6 : 2