Как правильно сравнивать дроби?

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями

Как и при любом другом сравнении, суть сравнения дробей заключается в определении большей и меньшей дроби.

Нет положения более благоприятного для сравнения, чем дроби с одинаковым знаменателем. Если вся разница между дробями только в числителях, используем следующее правило:

Из двух дробей с одинаковым знаменателем больше та, у которой числитель больше. И тем меньше будет та дробь, у которой числитель меньше.

А теперь примеры.

Пример 1. Сравните дроби:

• Мы видим, что знаменатели дробей совпадают. Итак, сравним счетчики:
  8 < 12
  12 > 8
• Это означает, что
  <
  Легкий!

Пример 2. Сравните дроби:

• Как и в предыдущем примере, знаменатели дробей одинаковые. Сравните счетчики:
  9 > 10
  1 < 10
• Это означает, что
  >

Пример 3. Сравните дроби:

• Знаменатели дробей снова совпадают. Сравните счетчики:
  3 > 1
  1 < 3
• Это означает, что
  >

Как видите, в сравнении дробей нет ничего сложного, если знаменатели совпадают. Вся задача состоит в том, чтобы определить больший и меньший числитель.

Давайте рассмотрим наглядный пример сравнения дробей.

Допустим, в торте 6 кусочков. Если от целого торта отрезать один кусок, в торте останется 5 кусочков.

• Запишем в виде дробей:
  и
• А теперь сравним получившиеся дроби: знаменатели равны, сравним числители:
  6 > 5
  5 < 6.
• Это означает, что
  >

Понять, что целый торт больше торта без кусочка, можно и без сравнения дробей. Но это же правило можно применить и к менее очевидным сравнениям, часто встречающимся в повседневной жизни.

Читайте также: Калькулятор простых процентов на определенное число дней

Сравнение дробей с одинаковыми числителями

Вы уже разобрались, как сравнивать дроби с одинаковыми знаменателями. Теперь задача немного усложнится – мы научимся сравнивать дроби с разными знаменателями, но с одинаковыми числителями.

Помните правило:

Если у двух дробей один и тот же числитель, то большей будет та дробь, у которой знаменатель меньше. Дробь с большим знаменателем будет меньше.

Теперь о наших любимых примерах. Пойдем!

Пример 1. Сравните дроби:

• У дробей разные знаменатели и одинаковые числители. Затем по правилу нужно сравнить знаменатели:
  9 > 7
  7 < 9
• Значит дробь с наименьшим знаменателем больше:
  

Пример 2. Сравните дроби:

• У дробей разные знаменатели и одинаковые числители. Затем по правилу нужно сравнить знаменатели:
  10 < 11
  11 > 10
• Значит дробь с наименьшим знаменателем больше:
  

Пример 3. Сравните дроби:

• У дробей разные знаменатели и одинаковые числители. Затем по правилу нужно сравнить знаменатели:
  6 > 3
  3 < 6
• Таким образом, дробь с наименьшим знаменателем больше.
  

Для ясности давайте представим ситуацию, когда вам нужно разделить торт между тремя друзьями. Это означает, что 6 кусков торта равномерно распределяются между 3 людьми: каждый получает 6:3 = 2 x 2 куска.

А представьте себе более приятную ситуацию: тортиков по-прежнему 6, а друзей всего 2. Тогда каждый получит по 3 вкусных кусочка:

Как видите, сравнение дробей может оказаться полезным в самых неожиданных ситуациях. Теперь, когда вам предстоит переосмыслить отношения между кусочками торта и приглашенными гостями, изученная тема поможет вам принять правильное решение.

Сравнение дробей с разными числителями и разными знаменателями

Сравнивать дроби с одинаковым числителем или знаменателем несложно. Чуть больше усилий потребуется при сравнении дробей, где нет ничего одинакового.

Помните: Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, приведите дроби к общему знаменателю, а затем сравните числители.

Во-первых, давайте вспомним, как приводить дроби к общему знаменателю.
Рассмотрим пример дробей с разными знаменателями.

• Вам нужно выбрать число, которое будет делиться на 7 и 2, например 14. Проверим:
  14:7 = 2
  14 : 2 = 7
• Умножаем первую дробь на дополнительный коэффициент 2:
  
• Умножаем вторую дробь на дополнительный коэффициент 7:
  
• Дроби приводятся к общему знаменателю:
  

Потренируемся сравнивать дроби.

Пример 1. Сравните дроби:

• Приводим дроби к общему знаменателю. 30 делится на 15 и 2.
  30 : 15 = 2
  30 : 2 = 15
• Умножаем первую дробь на дополнительный коэффициент 2:
  
• Умножаем вторую дробь на дополнительный коэффициент 15:
  
• Дроби приводятся к общему знаменателю:
  
• Если у двух дробей одинаковые знаменатели, то по правилу большей будет та дробь, у которой числитель больше:
  

Сравнивая неправильные дроби с правильными, помните, что неправильная дробь всегда больше правильной.

Пример 2: Сравните дроби:

• 6/5 — неправильная дробь.
• Возьмем всю часть:
• Значит что

Сравнение дроби с натуральным числом

Сравнение обыкновенной дроби с натуральным числом — это то же самое, что сравнение двух дробей со знаменателями, записанными в виде 1. Для подробного рассмотрения ниже приведем пример.

Пример 4

Вы должны сравнить 638 и 9.

Решение

Необходимо число 9 представить в виде дроби 91. Затем нужно сравнить дроби 638 и 91. Далее следует приведение к общему знаменателю путем нахождения дополнительных множителей. После этого мы видим, что нам нужно сравнить дроби с одинаковыми знаменателями 638 и 728. По правилу сравнения 63<72 получаем 638<728. Это означает, что данная дробь меньше целого числа 9, то есть имеем 638<9.

Ответ: 638<9.

Как сравнивать обыкновенные дроби?

Существует несколько способов сравнения дробей. Сегодня мы поговорим о самых распространенных из них. О перекрестном сравнении дробей и сравнении дробей с промежуточным числом см соответствующие страницы.

Сравнение неправильных дробей с нулем.

Правила сравнения неправильной дроби с нулем:

1. Если неправильная дробь положительна, то она больше нуля.
2. Если неправильная дробь отрицательна, то она меньше нуля.

Пример:
Сравните неправильные дроби с нулем: а) (frac{19}{7}) и 0 б) 0 и (-frac{4}{3})

Решение:
а) Неправильная дробь (frac{19}{7}) положительна, поэтому (frac{19}{7}>0)

б) Неправильная дробь (-frac{4}{3}) отрицательна, поэтому (0<-frac{4}{3})

Сравнение неправильных дробей с единицей.

Правила сравнения неправильной дроби с единицей:

1. Если неправильная дробь положительна, то она больше или равна единице.
2. Если неправильная дробь отрицательна, то она меньше или равна минус единице.

Пример:
Сравните неправильную дробь с a: a) (frac{10}{3}) и 1 b) -1 и (frac{-3}{3})

Решение:
а) Неправильные положительные дроби, не равные единице, всегда больше единицы.

(frac{10}{3}>1)

б) Дробь (frac{-3}{3}= -1), поэтому

(-1=frac{-3}{3})

Правила сравнения дробей

Подводя итог вышесказанному, выведем общий алгоритм сокращения дробей:

• Если знаменатели одинаковы, сравните числители. Самой большой будет та дробь, у которой числитель больше.
• Если числители одинаковы, сравните знаменатели. Наибольшая дробь будет знаменателем, который меньше.
• Если знаменатели разные, приводим дроби к общему знаменателю и сравниваем числители. Самой большой будет та дробь, у которой числитель больше.

Вычитание смешанных чисел

Вычитание выполняется гладко, когда уменьшаемое больше вычитаемого.

• 12 — 7 = 6
  12 — уменьшенный
  7 — вычитается
  5 — разница

Если вычитаемое больше уменьшаемого, то разность отрицательна. В этом нет ничего плохого. Но математика в 5 классе «положительна», поэтому мы научимся находить разность смешанных чисел, не скатываясь в «минусы».

При вычитании дробей действует тот же принцип: вычитаемое должно быть меньше минуатора. Вот тут-то и пригодится умение сравнивать дроби.
Пример 1 Расчет:

• 

Вычитаемая дробь меньше дроби, подлежащей уменьшению

• Сделаем вычитание:

Пример 2 Найдите разницу:

• Преобразование смешанных дробей в неправильные дроби:
  
• Чтобы найти разницу между дробями с разными числителями и знаменателями, необходимо привести их к общему знаменателю:
  
• Наименьшее общее кратное — 40
  40 : 8 = 5
  40 : 5 = 8
• Умножаем первую дробь на дополнительный коэффициент 5:
  
• Умножаем вторую дробь на дополнительный коэффициент 8:
  
• Дроби приводятся к общему знаменателю:
  
  

Примеры для самопроверки

Теория это конечно хорошо. Но без практики — никуда. Пришло время потренироваться в решении примеров и закрепить тему сравнения дробей.

Пример 1. Сравните дроби:

Ответ: По правилу сравнения дробей с одинаковыми знаменателями, чем больше дробь с наибольшим числителем. Это означает, что

Пример 2. Сравните дроби:

Ответ: По правилу сравнения дробей с разными знаменателями и одинаковыми числителями, чем больше дробь, тем меньше знаменатель. Это означает, что

Пример 3. Сравните дроби:

Как мы решаем:

Отвечать:
.

• По правилу сравнения дробей с разными числителями и знаменателями сначала нужно привести дроби к общему знаменателю:
  
• Наименьшее общее кратное равно 15:
  15 : 15 = 1
  15 : 5 = 3
• Умножаем первую дробь на дополнительный коэффициент 1:
  
• Умножаем вторую дробь на дополнительный коэффициент 3:
  
• Дроби приводятся к общему знаменателю:
  
• Сравните числители полученных дробей: 3 < 6
  

Пример 4. Найдите разницу:

Как мы решаем:

• Преобразование смешанных дробей в неправильные дроби:
  
• Чтобы найти разницу между дробями с разными числителями и знаменателями, необходимо привести их к общему знаменателю.
  
• Наименьшее общее кратное равно 42:
  42 : 7 = 6
  42 : 6 = 7
• Умножаем первую дробь на дополнительный коэффициент 6:
  
• Умножаем вторую дробь на дополнительный коэффициент 7:
  
• Дроби приводятся к общему знаменателю.
  
• Теперь вы можете вычесть:
  

Отвечать: