Как рассчитать описанную окружность

Определение окружности

Окружность — это геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.

Эта точка называется центром окружности .

Отрезки в окружности

Радиус окружности R — это отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности.

Хорда а — это отрезок, соединяющий две точки окружности.

Диаметр d — хорда, проходящая через центр окружности, равна двум радиусам окружности (d = 2 R).

OA — радиус, DE — хорда, BC — диаметр.

Теорема 1:
Радиус, перпендикулярный хорде, делит пополам эту хорду и дугу, на которую она опирается.

Касательная к окружности – это прямая линия, имеющая общую точку с окружностью.

Из одной точки вне окружности можно провести две касательные к данной окружности.

Теорема 2:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны (AC = BC).

Теорема 3:
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.

Дуга в окружности

Часть окружности, заключенная между двумя точками, называется дугой .

Например, хорда AB рисует две дуги: ∪ AMB и ∪ ALB .

Теорема 4:
Равные хорды образуют равные дуги.

Если AB = CD, то ∪ AB = ∪ CD

По диаметру

Диаметр — это отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через центр окружности. Чтобы найти длину окружности через ее диаметр, просто умножьте диаметр окружности на число Пи, чтобы получить длину окружности.

Формула будет:

L = π × d

Где L — длина окружности, π — константа около 3,14, а d — диаметр.

Например, нам нужно рассчитать длину окружности канализационной трубы диаметром 100 мм. Окружность этой трубы можно найти с помощью очень простых вычислений:

Д = 3,14 × 100 = 314 мм.

Кстати, трубы имеют 2 окружности и 2 диаметра: внутренний и внешний.

Всегда помните, какой именно диаметр известен и какую длину окружности нужно рассчитать. Часто внутренний диаметр обозначают маленькой буквой d или D1, а внешний диаметр просто D или DN.

Читайте также: Координаты середины отрезка — как найти?

Зная радиус

Радиус окружности — это отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности. Радиус равен половине диаметра, поэтому расчет длины окружности будет аналогичен предыдущему случаю: умножьте радиус на два и на число пи и получите длину окружности.

Формула расчета выглядит так:

L = 2π×R

Где L — длина окружности, π — константа (около 3,14), а r — радиус.

Например, вам нужно рассчитать длину внутренней окружности трубы с внутренним радиусом 26 мм. В этом случае окружность получается следующим образом:

Д = 2 × 3,14 × 26 = 163,28 мм.

Также учтите, что число Пи входит в число с точностью до двух знаков после запятой, и всегда расчет через число Пи округляется и является приблизительным.

Через площадь круга

И, пожалуй, самый редкий случай вычисления длины окружности будет, когда мы знаем только площадь этой окружности. В этом случае для расчета длины окружности можно использовать следующую формулу:

L = (4Sπ)1/2

Где L — длина окружности, S — площадь окружности, а π — константа, равная 3,14.

То есть длина окружности равна квадратному корню из произведения площади круга на число пи, умноженное на четыре. На всякий случай корень и степень ½ совпадают.

Возьмем, к примеру, инопланетяне, прилетевшие к нам и оставившие круги на полях.

Площадь одного из таких кругов составляла целых 1146,5 кв. Чтобы вычислить длину окружности, выполните следующие действия:

1. Умножьте 4 на 3,14, а полученное произведение умножьте на площадь круга 1146,5. Получаем 14400,04.
2. А теперь находим квадратный корень из этого числа и получаем примерно 120 метров. Это окружность.

Как и в предыдущих случаях, из-за наличия числа пи, что иррационально, ответ будет считаться округленным.

Углы в окружности

В окружности есть два вида углов: центральные и вписанные.

Центральный угол – это угол, вершина которого лежит в центре окружности.

∠ АОБ — центральный.

Центральный угол равен дуге, на которую он опирается. ∪ АВ = ∠ АОБ = α

Если вы нарисуете диаметр, он разделит круг на два полукруга. Градусная мера каждой полуокружности будет равна градусной мере образующего ее расширенного угла.

Градус мара для всего круга равен 360 ° .

Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

∠ ACB — с надписью.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. ∠ ACB = ∪ AB 2 = α 2 ∪ AB = 2 ⋅ ∠ ACB = α

Теорема 5:
Вписанные углы, лежащие на одной дуге, равны .

∠MAN = ∠MBN = ∠MCN = ∪MN 2 = α 2

Теорема 6:
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (диаметр), равен 90 ° .

∠MAN = ∠MBN = ∪MN 2 = 180° 2 = 90 °

Длина окружности, длина дуги

Мы узнали, как измеряется градус дуги окружности (он равен градусу опирающегося на нее центрального угла) и всей окружности (градус окружности равен 360°). Теперь поговорим о длине дуги в окружности. Длина дуги — это значение, которое мы получили бы, если бы измерили дугу сисантиметром. Рассмотрим две окружности разного радиуса, в каждой из которых построен центральный угол, равный α .

Градусная мера дуги ∪ AB равна градусной мере дуги ∪ CD и равна α .

Но невооруженным глазом видно, что длины дуг разные. Если градусная мера дуги окружности зависит только от величины опирающегося на нее центрального угла, то длина дуги окружности зависит еще и от радиуса самой окружности.

Длина окружности находится по формуле:

Длина дуги окружности, на которую опирается центральный угол α, равна:

л α = π R 180 ∘ ⋅ α

Площадь круга и его частей

Теперь поговорим о площади круга, площади сектора и площади отрезка.

Круг – это часть пространства, находящаяся внутри круга.

Другими словами, круг — это граница, а круг — это то, что внутри.

Примеры круга в жизни: велосипедное колесо, обруч, кольцо.

Примеры круга в жизни: пицца, крышка люка, плоская тарелка.

Площадь круга находится по формуле: S = π R 2

Сектор – это часть окружности, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими конец дуги с центром окружности.

Примеры сектора из жизни: кусок пиццы, веер.

Площадь кругового сектора, ограниченного центральным углом α, находится по формуле: S α = π R 2 360° ⋅ α

Отрезок – это часть окружности, ограниченная дугой и хордой, охватывающей эту дугу.

Примеры отрезка из реальной жизни: мармелад из ломтиков лимона, стрельба из лука.

Чтобы найти площадь отрезка, нужно сначала вычислить площадь кругового сектора, который содержит этот отрезок, а затем вычесть площадь треугольника, образованного центральным углом и хордой.

S = π R 2 360 ° ⋅ α − 1 2 R 2 sin α

Теорема синусов

Если вокруг произвольного треугольника описана окружность, то ее радиус можно найти по теореме синусов:

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R Достаточно знать одну из сторон треугольника и синус противоположного угла. По этим данным можно найти радиус описанной окружности.

Найти радиус описанной окружности треугольника по сторонам

,
,
— стороны треугольника

— полупериметр

— центр круга

Формула радиуса описанной окружности треугольника (R) :

Найти радиус описанной окружности равностороннего треугольника по стороне или высоте

— сторона треугольника

— высота

— радиус описанной окружности

Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через сторону:

Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника в пересчете на высоту:

Найти радиус описанной окружности равнобедренного треугольника по сторонам

Как только вы узнаете стороны равнобедренного треугольника, вы можете использовать формулу, чтобы найти радиус описанной окружности вокруг этого треугольника.

а, б — стороны треугольника

Формула радиуса описанной окружности равнобедренного треугольника (R):

Найти радиус описанной окружности прямоугольного треугольника по катетам

Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы.

а, б — катеты прямоугольного треугольника

в — гипотенуза

Формула радиуса описанной окружности прямоугольного треугольника (R):

Радиус описанной окружности трапеции по сторонам и диагонали

а — стороны трапеции

в — нижняя база

б — верхнее основание

г — диагональ

p — полупериметр треугольника DBC

р = (а+d+с)/2

Формула радиуса описанной окружности равнобедренной трапеции (R)

Найти радиус описанной окружности около квадрата

Радиус описанной окружности квадрата равен половине диагонали

со стороны площади

г диагональ

Формула радиуса описанной окружности квадрата (R):

Радиус описанной окружности прямоугольника по сторонам

Радиус описанной окружности прямоугольника равен половине диагонали

а, б — стороны прямоугольника

г — диагональ

Формула радиуса описанной окружности прямоугольника (R):

Радиус описанной окружности правильного многоугольника

рядом с многоугольником

N — количество сторон многоугольника

Формула радиуса описанной окружности правильного многоугольника (R):

Радиус описанной окружности правильного шестиугольника

рядом с шестиугольником

d-диагональ шестиугольника

Радиус описанной окружности правильного шестиугольника (R):