Как сократить дробь: 6 класс

Что такое «сокращение дробей»

Математика любит точность и краткость: мохнатые громоздкие числа не заслуживают ее благосклонности. Поэтому следуйте негласному правилу, сокращайте все, что можно сократить.

сокращение дроби означает деление ее числителя и знаменателя на их общий делитель. Общий знаменатель должен быть положительным и не равен нулю или единице.

В результате сокращения вы получите новую дробь, равную исходной дроби. Такие фракции схожи по своему основному свойству.

Что означает сократить дробь

Любая обыкновенная дробь может быть уменьшена, а может и нет. Последние два термина говорят сами за себя. Разница между ними в том, что несократимую дробь нельзя изменить, а вот сокращенную дробь можно привести к такому виду, когда числитель и знаменатель будут наименьшими, а дробь равна исходной.

Как сокращаются дроби

Чтобы уменьшить дробь, разделите числитель и знаменатель на положительное число больше единицы. Такое число будем называть общим делителем. Например: возьмем дробь frac { 2 } { 8 } и разделим ее числитель и знаменатель на 2. Легко понять, что в результате получится frac { 1 } { 4 } — дробь, равная исходной один:

гидроразрыв { 2 } { 8 } = гидроразрыв { 1 } { 4 }

Как привести дробь к несократимому виду

Обычно алгебраическое решение любой задачи на приведение дробей сводится к получению равной дроби, но в неприводимом виде. Чтобы получить несократимую дробь, ее делят на определенное число, которое называется наибольшим общим делителем (сокращенно НОД):

frac { N : НОД (N, Z) } { Z : НОД (N, Z) } = несократимая дробь.

Рассмотрим практическое использование дроби frac { 6 } { 12 }. Его можно уменьшить на НОД, который равен 6. Тогда 6 : 6 = 1 и 12 : 6 = 2. Следовательно:

гидроразрыв { 6 } { 12 } = гидроразрыв { 1 } { 2 }

Последняя дробь несократима.

Следует отметить, что в большинстве случаев при необходимости сокращения дробей это означает выполнение до получения несократимой дроби.

Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, получится дробь, равная заданному.

С основным свойством дроби они знакомятся в 5 классе, но выполняться оно будет до конца школы. Поэтому запоминаем, как выглядит основное свойство дроби в виде буквенных выражений:

=

=

где а, b, m — натуральные числа.

Графически сокращение дробей обычно записывают так:

Числитель и знаменатель зачеркнуты прочерками. В данном примере числитель равен 8, знаменатель равен 36. Справа от них записываются результаты деления числителя и знаменателя на общий делитель. Общий делитель 8 и 36 равен 4. Это число записывать не нужно.

Более наглядные примеры и понятные объяснения можно найти на курсах математики онлайн-школы Skysmart.

Пример 1. Сократить обыкновенную дробь

Разделите числитель и знаменатель на общий делитель 3.

3:3 =1

15 : 3 = 5

=
=

Произведено сокращение:
=

Пример 2. Сократить обыкновенную дробь

Разделите числитель и знаменатель на общий делитель 2.

4 : 2 = 2

16 : 2 = 8

=
=

Произведено сокращение:
=

Читайте также: Что такое круг: определение, свойства, формулы

Приведение дробей к несократимому виду

Суть сокращения дробей в том, чтобы уменьшить числитель и знаменатель до наименьшего возможного числа.

Итак, в результате сокращения в примере 2 мы из дроби
получил дробь

Получается, что фракция переживет очередное сокращение и придет в форму

Сокращая дробь, постарайтесь в итоге получить несократимую дробь.

Разделите числитель и знаменатель дроби на их НОД (наибольший общий делитель). Итак, вы хотите привести дробь к неприводимому виду.

• 
  является неприводимой дробью, так как по свойствам НОД мы знаем, что:

  a : gcd(a, b) и b : gcd(a, b) взаимно просты.

Два целых числа a и b называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен единице, gcd(a, b) = 1.

• Несократимые дроби: <br>; <br>; <br>;

Пример 3. Приведение обыкновенной дроби к неприводимому виду

Найдите НОД числителя и знаменателя. НОД = 12

Найдите частное: 12:12 = 1

36 : 12 = 3

=
=

Произведено сокращение:
=

Пример 4. Приведение обыкновенной дроби к неприводимому виду

Найдите НОД числителя и знаменателя. НОД = 5

Найдите частное: 15: 5 = 3

25 : 5 = 5

=
=

Произведено сокращение:
=

Правило сокращения дробей

Чтобы легко сокращать обыкновенную дробь, запомните правило.

Выполните сокращение дроби по следующему алгоритму:

1. Найдите НОД числителя и знаменателя дроби.
2. Разделите числитель и знаменатель дроби на НОД.

В 6 классе все остальные задачи связаны с дробями. Чтобы легко ими управлять и уметь сводить любые числа, нужно хорошо потренироваться. Рассмотрим еще несколько примеров сокращения обыкновенных дробей.

Чтобы легко сокращать дроби, нужно уметь быстро находить НОД числителя и знаменателя. Для этого неплохо было бы знать таблицу умножения и уметь разлагать числа на простые множители.

• Например, дана дробь

Чтобы найти НОД числителя и знаменателя, мы разложим числа на простые множители.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
84 = 2 * 2 * 3 * 7

Умножаем все общие множители друг на друга 2*2*3=12.
НОД 36 и 84 = 12.

Пример 5: Уменьшить дробь

Разложим числа в числителе и знаменателе.
135 = 9 * 3 * 5
180 = 9 * 2 * 2 * 5

Мысленно уберите все общие множители и умножьте оставшиеся.

=
=

Произведено сокращение:
=

Пример 6: Уменьшить дробь

Найдите НОД числителя и знаменателя. НОД = 9

18 : 9 = 2

81 : 9 = 9

=
=

Произведено сокращение:
=

Дробь можно сократить, последовательно уменьшая числитель и знаменатель на общий делитель. Этот способ подходит, если в числителе и знаменателе большие числа и вы не уверены в выбранном НОД.

Пример 6. Сократите дробь:

=
=
=

Произведено сокращение:
=

Пример 7: Уменьшить дробь

Найдем НОД, разложив числитель и знаменатель на простые множители.

168 = 2 * 2 * 2 * 3 * 7

240 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 5

Умножаем все общие множители друг на друга 2*2*2*3=24

НОД 168 и 240 равны 24

Следующим шагом является деление числителя и знаменателя дроби на их наибольший общий делитель: 168 : 24 = 7

240 : 24 = 10

=
=

Произведено сокращение:
=

Пример 8: Уменьшить дробь

Найдем НОД, разложив числитель и знаменатель на простые множители.

360 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 5

540 = 2 * 2 * 3 * 3 * 3 * 5

Умножаем все общие множители вместе 2*2*3*3*5=180

НОД 360 и 540 равны 180

Следующим шагом является деление числителя и знаменателя дроби на их наибольший общий делитель: 360 : 180 = 2

540 : 180 = 3

=
=

Произведено сокращение:
=

Пример 8: Уменьшить дробь

Найдем НОД, разложив числитель и знаменатель на простые множители.

420 = 2 * 2 * 3 * 5 * 7

2520 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 5 * 7

Умножаем все общие множители вместе 2*2*3*5*7=420

НОД 420 и 2520 равны 420

Следующим шагом является деление числителя и знаменателя дроби на их наибольший общий делитель: 420 : 420 = 1

2520 : 420 = 6

=
=

Сокращение завершено. Дробь приводится к неприводимому виду:
=

Пример 9: Уменьшить дробь

Найдем НОД, разложив числитель и знаменатель на простые множители.

1575 = 3 * 3 * 5 * 5 * 7

3450 = 2 * 3 * 5 * 5 * 23

Умножаем все общие множители между собой 3*5*5=75

НОД 1575 и 3450 равны 72

Следующим шагом является деление числителя и знаменателя дроби на их наибольший общий делитель: 1575 : 75 = 21

3450:75=46

=
=

Сокращение завершено. Дробь приводится к неприводимому виду:
=

Иногда для разложения на простые множители требуется много времени, особенно если разлагаемые числа велики, как в предыдущих двух примерах. Чтобы быстро разложить любое число на простые множители, можно зайти на онлайн-калькулятор — их много в интернете. Воспользуйтесь одним из них.

Если совсем не хватает времени, можно воспользоваться онлайн-калькулятором, чтобы найти НОД. Однако не стоит постоянно прибегать к калькулятору для решения задач, пока вы не научитесь уверенно и быстро считать самостоятельно.

Правило проверки обыкновенной дроби на сократимость

Вычислить наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя данной дроби:

• если $gcd=1$, то дробь несократима;
• если $gcdne 1$, то дробь сократима.

Пример 3

Проверьте, является ли обыкновенная дробь $frac{203}{861}$ сократимой}$.

Решение.

Проверим, являются ли числитель $203$ и знаменатель $861$ взаимно простыми. Для этого находим НОД числителя и знаменателя и проверяем, равен ли он единице.

НОД рассчитывается по алгоритму Евклида:

$frac{861}{203}=4$(остаток $49$)

$frac{203}{49}=4$ (остаток $7$)

$frac{49}{7}=7$ (остаток $0$)

$frac{33}{25}=1$ (остаток $8$)

$frac{25}{8}=3$ (остаток $1$)

Таким образом, НОД($861, 203)=7$. Итак, числитель и знаменатель этой дроби не взаимно просты, поэтому $frac{203}{861}$ — сокращенная дробь.

Ответ: $frac{203}{861}$ – сокращенная дробь.

Как сократить большую дробь

Во всех случаях формула сокращения дроби включает два пункта:

1. следует найти наибольшее число, на которое делятся и числитель, и знаменатель;
2. разделить числитель и знаменатель на это число.

В качестве другого примера возьмем дробь 144192. Сначала найдем наибольший общий делитель чисел 144 и 192. Для этого воспользуемся методом факторизации:

144 : 2 = 72 192 : 2 = 96

72 : 2 = 36 96 : 2 = 48

36 : 2 = 18 48 : 2 = 24

18 : 2 = 9 24 : 2 = 12

9 : 3 = 3 12 : 2 = 6

3 : 3 = 1 6 : 2 = 3

3 : 3 = 1

Тогда наибольшим общим делителем этих чисел будет число 48 = 3 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2.

Разделив исходную дробь на 48, получим несократимую дробь:

frac { 144 } { 192 } = frac { 144 : 48 } { 192 : 48 } = frac { 3 } { 4 }

Разберем еще один способ, позволяющий последовательно уменьшать числитель и знаменатель дроби с делителем, который легко определяется простейшими математическими функциями. Если вы хотите сократить дробь типа 40 008 800, то сразу можете определить, что здесь есть общий делитель 100, который можно поставить в скобки:

frac {4000} {8800} = 100 (frac {40} {88}) .

При этом невооруженным глазом заметно, что оба числа делятся на 2, а результат снова делится на 2 и т д. В итоге получаем неприводимую дробь frac { 5 } { 11 } = frac { 4000 } { 8800 }. Теперь можно сказать, что наибольшим общим делителем этой дроби было число 800.

В заключение отметим, что если знаменатель одной дроби является числителем другой, то такая дробь в неприводимом виде всегда будет: 1 — в числителе + число, которое было числителем до сокращения, в знаменателе:

frac { 8 } { 64 } = frac { 1 } { 8 } или frac { 14 } { 196 } = frac { 1 } { 14 }

Алгоритм сокращения дробей.

Во-первых, нужно сказать, что фактическое сокращение дробей возможно благодаря одному из определений дроби.

Дробь — это незавершенная операция деления. Это означает, что любую фракцию всегда можно заменить частной фракцией. Замена дробью необходима для сохранения точности вычислений.

Давайте посмотрим, как выглядит развернутая аббревиатура на примере:

$${25over{40}}=25:40=(5*5):(5*8)=5:8 $

Чтобы каждый раз не расписывать это выражение, можно воспользоваться правилом сокращения дробей: если умножить или разделить знаменатель на одно и то же число, значение дроби не изменится.

Теперь напишем сам алгоритм. Чтобы уменьшить дробь:

• Выразите числитель и знаменатель в виде простых множителей.
• Отмените каждый из подобных простых множителей.
• Умножьте оставшиеся числа и запишите результат.

Вместо того, чтобы записывать числитель и знаменатель как множители, вы можете просто найти НОД числителя и знаменателя. Это будет максимально возможное число, на которое можно разделить оба значения.

Специальной формулы сокращения любой дроби нет, но можно воспользоваться правилами, приведенными в этом алгоритме.

Как найти НОД?

Вспомним, как устроен NOD:

• Первым шагом является разложение числа на простые множители.
• Расширение ищет обычные простые числа и печатает их в отдельном выражении.
• Полученное значение является НОД.

Возьмем пример.
Нужно найти НОД чисел 150 и 294.

150=2*3*5*5

98=2*3*7*7

НОД=2*3=6

Пример

Вот пример дробного сокращения. Для этого упростим дробь ${513216over{145152}}$. Например, большие числа выбраны намеренно, чтобы показать, как наибольшее число может стать маленьким в результате упрощения.

Не будем искать НОД, будем разлагать числа на простые множители и находить общие значения.

513216:2=256608 — во-первых, число делится на 2. Чтобы число делилось на два, количество единиц должно быть четным.

256608:2=128304 — деление на 2 продолжается до тех пор, пока последняя цифра в числе не перестанет быть четной. После этого пытаемся разделить число на 3 и другие простые числа. Все простые числа находятся в таблице простых чисел.

128304:2=64152

64152:2=32076

32076:2=16038

16038:2=8019

8019:3=2673

2673:3=891

891:3=297

297:3=99

99:3=33

33:3=11

11:11=1

Запишем результат разложения: 513216=2*2*2*2*2*2*3*3*3*3*3*3*11 — всего получилось 6 чисел 3, 6 чисел 2 и число 11. Таким же образом разложим 145152.

145152:2=72576

72576:2=36288

36288:2=18144

18144:2=9072

9072:2=4536

4536:2=2268

2268:2=1134

1134:2=567

567:3=189

189:3=63

63:3=21

21:3=7

7:7=1

Напишем результаты:

145152=2*2*2*2*2*2*2*2*3*3*3*3*7 — всего 8 цифр 2, 4 цифры 3 и одна цифра 7.

В обоих числах нужно уменьшить 6 чисел 2 и 4 числа 3. Запишем получившийся числитель. В нем останутся цифры: 2 номер 3 и номер 11

3*3*11=99

Запишем получившийся знаменатель. В нем останутся цифры: 2 цифра два и цифра 7

2*2*7=28

Результатом сокращения является дробь:

${99over{28}}$ — при желании можно выделить всю часть. Но если в состоянии задачи в этом нет необходимости, допускается оставить ответ в таком виде.