Как умножать логарифмы

Зачем в жизни нужны логарифмы?

Я упоминал, что математики — СУПЕР ленивые люди? Это верно.

Представьте, им лень умножать и они придумали логарифмы, позволяющие заменить умножение сложением!

Они еще более ленивы, чтобы возводить в степень и использовать логарифмы, чтобы заменить возведение в степень умножением или делением!

То есть они используют логарифмы для быстрого выполнения громоздких вычислений.

Как научиться решать логарифмы?

Логарифмы — ОЧЕНЬ ПРОСТАЯ ТЕМА!

Чтобы понять, как их решать, нужно: разобраться в свойствах логарифма и понять, как он называется, понять разницу между видами логарифмов (десятичным и натуральным).

Ну а уметь возводить число в степень, знать таблицу умножения (и ты точно умеешь это делать).

Каждый. Больше ничего не нужно.

Основные свойства логарифмов

Логарифмы, как и все числа, можно складывать, вычитать и преобразовывать самыми разными способами. Но так как логарифмы не совсем обычные числа, то здесь есть правила, которые называются фундаментальными свойствами.

Эти правила необходимо знать — без них не решить ни одну серьезную логарифмическую задачу. К тому же их очень мало — всему можно научиться за день. Итак, приступим.

Сложение и вычитание логарифмов

Рассмотрим два логарифма с одинаковым основанием: log ax и log ay. Затем их можно складывать и вычитать, и:

1. журнал топор + журнал ау = журнал а (ху);
2. журнал топор — журнал ау = журнал а (х: у).

Таким образом, сумма логарифмов равна логарифму произведения, а разность — логарифму частного. Обратите внимание: ключевым моментом здесь являются те же базы. Если базы разные, то эти правила не работают!

Эти формулы помогут вычислить логарифмическое выражение, даже когда не учитываются его отдельные части (см урок «Что такое логарифм»). Посмотрите на примеры и убедитесь:

Так как основания логарифмов одинаковые, используем формулу суммы:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Базы одинаковые, используем формулу разности:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Задача. Найдите значение выражения: log3 135 − log3 5.

Опять же, базы одинаковы, поэтому имеем:
log3 135 − log3 5 = log3 (135 : 5) = log3 27 = 3.

Как видите, исходные выражения состоят из «плохих» логарифмов, которые не вычисляются отдельно. Но после преобразований получаются вполне нормальные числа. Многие тесты основаны на этом факте. Да, контрольные — подобные выражения на полном серьезе (иногда — практически без изменений) предлагаются на экзамене.

Читайте также: Свойства медианы в прямоугольном треугольнике с доказательствами

Вынесение показателя степени из логарифма

Теперь немного усложним задачу. Что, если в основании или аргументе логарифма есть степень? Тогда показатель степени этой степени можно вынести из-под знака логарифма по следующим правилам:

1. журнал axn = n журнал ax ;
2. 
3. 

Легко видеть, что последнее правило следует за первыми двумя. Но лучше все же его запомнить — в некоторых случаях это значительно уменьшит объем вычислений.

Конечно, все эти правила имеют смысл, если соблюдается логарифм ОДЗ: а > 0, а ≠ 1, х > 0. И еще: научитесь пользоваться всеми формулами не только слева направо, но и наоборот, т.е вы можете добавить вводимые числа перед знаком логарифма в самом логарифме. Это то, что чаще всего требуется.

Задача. Найдите значение выражения: log7 49 6 .

Избавимся от степени в аргументе по первой формуле:
log7 49 6 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Задача. Найдите значение выражения:

Обратите внимание, что знаменатель представляет собой логарифм, основание и аргумент которого являются точными степенями: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Имеем:

Я думаю, что последний пример нуждается в пояснении. Куда пропали логарифмы? До последнего момента работаем только со знаменателем. Представили основание и аргумент стоявшего там логарифма в виде степеней и вынули показатели — получили «трехэтажную» дробь.

Теперь давайте посмотрим на основную фракцию. Числитель и знаменатель имеют одно и то же число: log2 7. Так как log2 7 ≠ 0, мы можем уменьшить дробь — в знаменателе останется 2/4. По правилам расчета четверку можно перевести в счетчик, что и было сделано. В результате ответ: 2.

Переход к новому основанию

Когда я говорю о правилах сложения и вычитания логарифмов, я специально подчеркиваю, что они работают только с одинаковыми основаниями. А если базы разные? Что, если они не являются точными степенями одного и того же числа?

На помощь приходят формулы перехода на новую базу. Сформулируем их в виде теоремы:

Пусть дана логарифмическая логарифмическая ось. Таким образом, для любого числа c, такого что c > 0 и c ≠ 1, верно равенство:

В частности, если мы установим c = x , мы получим:

Из второй формулы следует, что можно поменять местами основание и аргумент логарифма, но в этом случае все выражение «перевернуто», т.е логарифм стоит в знаменателе.

Эти формулы редко встречаются в обычных числовых выражениях. Насколько они практичны, можно оценить только при решении логарифмических уравнений и неравенств.

Однако есть задачи, которые вообще нельзя решить, кроме как перейти на новый фундамент. Рассмотрим пару из них:

Задача. Найдите значение выражения: log5 16 log2 25.

Обратите внимание, что аргументы обоих логарифмов являются точными показателями степени. Вынесем показатели: log5 16 = log5 2 4 = 4log5 2; log2 25 = log2 5 2 = 2log2 5;

Теперь инвертируем второй логарифм:

Так как от перестановки множителей произведение не меняется, мы спокойно перемножили четыре и два, а потом нашли логарифмы.

Задача. Найдите значение выражения: log9 100 lg 3.

Основание и аргумент первого логарифма — точные степени. Запишем это и избавимся от индикаторов:

Теперь избавимся от десятичного логарифма, перейдя к новому основанию:

Основное логарифмическое тождество

Часто в процессе решения необходимо представить число в виде логарифма по заданному основанию. В этом случае нам помогут формулы:

1. n = log аан
2. 

В первом случае число n становится показателем степени в аргументе. Число n может быть абсолютно любым, потому что это всего лишь значение логарифма.

Вторая формула на самом деле является переписанным определением. Называется так: .

Действительно, что будет, если число b возвести в такую ​​степень, что число b в этой степени даст число a? Правильно: это то же самое число a . Прочтите еще раз внимательно этот абзац — многие на нем «висят».

Подобно новым формулам преобразования оснований, основное логарифмическое тождество иногда является единственным возможным решением.

Задача. Найдите значение выражения:

Обратите внимание, что log25 64 = log5 8 — просто вынесли квадрат из основания и аргумент логарифма. Учитывая правила умножения степеней с одинаковым основанием, получаем:

Если кого-то нет, это было настоящее задание от ЕГЭ

Логарифмическая единица и логарифмический ноль

В заключение приведу два тождества, которые сложно назвать свойствами — это, скорее, следствия из определения логарифма. Они постоянно попадают в неприятности и создают удивительные проблемы даже для «продвинутых» учеников.

1. журнал аа = 1 есть. Запомните раз и навсегда: логарифм любого основания а от самого основания равен единице.
2. журнал a 1 = 0 есть. Основание а может быть любым, но если аргумент равен единице, то логарифм равен нулю! Потому что 0 = 1 является прямым следствием определения.

Это все особенности. Обязательно потренируйтесь применять их на практике! Скачайте шпаргалку в начале урока, распечатайте ее и решите задачи.

Умножение логарифмов

1 случай.
Доказательство. Используя частный случай формулы перехода на новую базу (Свойство 11), будем иметь:
КЭД Например.

2 случай. При умножении нескольких логарифмов с разными основаниями выражение также в некоторых случаях можно упростить, перейдя к логарифмам с одним основанием по формуле перехода

Логарифм положительного числа
разума

называется показателем, в который необходимо возвести
, Достигать
:
Например,
в

то есть

то есть

Логарифм единицы по любому основанию равен нулю.

Свойства логарифмов

Логарифм произведения и сумма логарифмов Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел.
Сумма логарифмов положительных чисел равна логарифму произведения этих чисел.

Логарифм степени и произведение числа и логарифма

Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм этого числа.

Логарифм произведения (сумма логарифмов)

Логарифм произведения — одно из основных логарифмических свойств; равно сумме логарифмов множителя и множителя при неизменном основании.

В этом случае результат умножения x на y должен быть строго положительным, т е. (x ⋅ y) > 0 .

Это свойство работает и в обратном направлении, т.е.:

Сумма логарифмов по одному основанию равна логарифму произведения их сублогарифмических выражений по одному основанию.