Действия с комплексными числами
z2=-1-я
Сложение комплексных чисел (действительная и мнимая части складываются отдельно)
Вычитание комплексных чисел (действительная и мнимая части вычитаются отдельно)
Умножение комплексных чисел
Деление комплексных чисел (взять под общий знаменатель)
Когда вы умножаете два комплексных числа в тригонометрической форме, их модули умножаются, а аргументы складываются. При делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.
z1 = r1(cos φ1 + i sin φ1), z2 = r2(cos φ2 + i sin φ2)
Затем
z1 z2 = r1r2cos(φ1 + φ2)+ i sin(φ1 + φ2)
Что делать, если дано сложное и сложное выражение. Его можно упростить с помощью следующего правила. Например:
Нужно умножить дробь на сопряженное выражение (2-i).
Возводим комплексное число в степень
Во-первых, помните, что комплексное число имеет общую форму: z = a + bi (алгебраическая форма).
Теперь можно перейти непосредственно к решению задачи.
Квадрат числа
Мы можем представить степень как произведение тех же множителей, а затем найти их произведение (помня при этом, что i2 = -1).
z2 = (а + bi)2 = (a + bi)(a + bi)
Пример 1:
г = 3 + 5i
z2 = (3 + 5i)2 = (3 + 5i)(3 + 5i) = 9 + 15i + 15i + 25i2 = -16 + 30i
Также можно использовать формулу сокращенного умножения, а именно квадрат суммы:
z2 = (a + bi)2 = a2 + 2 ⋅ a ⋅ bi + (bi)2 = a2 + 2abi – b2
Примечание: Аналогично при необходимости можно получить формулы квадрата разности, куба суммы/разности и т.д.
N-ая степень
Возведение комплексного числа z в натуральную степень n значительно проще, если оно представлено в тригонометрической форме.
Помните, что запись числа обычно выглядит так: z = |z| ⋅ (cos φ + i ⋅ sin φ).
Для возведения в степень можно использовать формулу Де Муавра (названную в честь английского математика Абрахама де Муавра):
zn = |z|n ⋅ (cos (nφ) + i ⋅ sin (nφ))
Формула получается умножением комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме (перемножаются модули и складываются аргументы).
Пример 2
Возведем комплексное число z = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ sin 35°) в восьмую степень.
Решение
z8 = 28 ⋅ (cos (8 ⋅ 35°) + i ⋅ sin (8 ⋅ 35°)) = 256 ⋅ (cos 280° + i sin 280°).
Основные действия с комплексными числами
Основные операции, определенные для комплексных чисел, — это сложение, разность, произведение и деление комплексных чисел. Операции для двух произвольных комплексных чисел (a + bi) и (c + di) определяются следующим образом:
- сложение: (а + би) + (с + ди) = (а + с) + (б + d)i
- вычитание: (a + bi) — (c + di) = (a — c) + (b — d)i
- умножение: (a + bi) (c + di) = ac + bci + adi + bdi2 = (ac — bd) + (bc + ad)i
- деление: a + bic + di = (a + bi)(c — di)c2 + d2 = (ac + bd)c2 + d2 + (bc — ad)c2 + d2i
Примеры
Найдите сумму чисел 5+7i и 5,5-2i:
Найдем суммы действительных частей и сумму мнимых частей отдельно: re = 5 + 5,5 = 10,5, im = 7 — 2 = 5.
Запишем их рядом и добавим мнимую часть i: 10,5 + 5i
Полученное число и будет ответом: 5+7i+5,5-2i=10,5+5i
Найдите разницу между числами 12-i и -2i:
Найдем отдельно разности действительных частей и разности мнимых частей: re = 12 — 0 = 12, im = -1 — (-2) = 1.
Запишем их рядом и добавим мнимую часть i: 12 + 1i
Полученное число и будет ответом: 12-i — (-2i) = 12 + i
Найдите произведение чисел 2+3i и 5-7i:
Найдем действительную и мнимую части по формуле: re = 2 5 — 3 (-7) = 31, im = 3 5 + 2 (-7) = 1.
Запишем их рядом и добавим мнимую часть i: 31 + 1i
Полученное число и будет ответом: 2+3i * (5-7i) = 31 + i
Найдите соотношение между числами 75-50i и 3+4i:
Найдем действительную и мнимую части по формуле: re = (75 3 — 50 4) / 25 = 1, im = (-50 3 — 75 4) / 25 = -18.
Запишем их рядом, добавляя мнимую часть i: 1 — 18i
Полученное число и будет ответом: 75-50i / (3 + 4i) = 1 — 18i
Другие действия над комплексными числами
Помимо основных операций сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел, существуют также различные математические функции. Рассмотрим некоторые из них:
- Получить действительную часть числа: Re(z) = a
- Получить мнимую часть числа: Im(z) = b
- Числовой модуль: |z| = √(a2 + b2)
- Числовой аргумент: arg z = arctg(b / a)
- Показатель степени: ez = ea cos(b) + i ea sin(b)
- Логарифм: Ln(z) = ln |z| + в аргументе (z)
- Тригонометрические функции: sin z, cos z, tg z, ctg z
- Гиперболические функции: sh z, ch z, th z, cth z
- Обратные тригонометрические функции: arcsin z, arccos z, arctg z, arcctg z
- Обратные гиперболические функции: arsh z, arc z, arth z, arcth z
Примеры
Найдите действительную и мнимую части числа z, а также его модуль, если z = 4 — 3i
Re(z) = Re(4 — 3i) = 4
Im(z) = Im(4 — 3i) = -3
|г| = √(42 + (-3)2) = √25 = 5
Читайте также: Как найти высоту прямоугольной трапеции: формулы через стороны, углы, диагонали, площадь
Формы представления комплексных чисел
Комплексные числа обычно представляются в одной из следующих трех форм: алгебраической, тригонометрической и экспоненциальной.
- Алгебраическая форма — наиболее часто используемая форма комплексного числа, записывающая число как сумму действительной и мнимой частей: x + iy, где x — действительная часть, а y — мнимая часть
- Тригонометрическая форма — это запись вида r (cos φ + isin φ), где r — модуль комплексного числа (r = |z|), а φ — аргумент этого числа (φ = arg(z))
- Экспоненциальная форма — это обозначение вида r eiφ, где r — модуль комплексного числа (r = |z|), e — число Эйлера, а φ — аргумент комплексного числа (φ = arg(z))
Пример:
Преобразуйте число 1+i в тригонометрическую и экспоненциальную формы:
Решение:
- Найдите радиус (модуль) комплексного числа r: r = √(12 + 12) = √2
- Найдите числовой аргумент: φ = arctan(11) = π4 = 45°
- Запишем результат в тригонометрической форме: √2 (cos(45°) + isin(45°))
- Запишем результат в экспоненциальной форме: √2 eπi/4
