Коллинеарность векторов: условия, правила и примеры

Общие сведения

Изучать векторную алгебру начинают на уроках геометрии в старших классах (7-9 классы).

Определение 1

Вектор — это отрезок заданной длины и направления.

С векторами можно выполнять различные математические операции: сложение, вычитание, умножение вектора на число и так далее

Остановимся на операции умножения вектора на число. Пусть это вектор a→, умножаем его на число k, получаем новый вектор b→=k·a→. Векторы a → и b→ параллельны и направлены в одну сторону, разница между ними только в длине. Тогда эти векторы можно считать коллинеарными.

Определение 2

Коллинеарность — это характеристика положения векторов, когда векторы располагаются на одной прямой или на параллельных прямых.

Что значит «коллинеарные векторы»

Коллинеарные векторы — это ненулевые векторы, лежащие на одной или параллельных прямых. При этом нулевой вектор считается коллинеарным друг другу. То есть, проще говоря, коллинеарность — это параллелизм векторов. Если векторы и коллинеарны, то записывается так: .

Коллинеарные векторы можно разделить по направлению на две группы: сонаправленные и противоположно направленные.

Векторы и лежат на параллельных прямых и также имеют одинаковое направление, поэтому и являются векторами сонаправления: .

Векторы и лежат на параллельных прямых, но имеют разные направления, поэтому и являются противоположно направленными векторами: .

Задача № 1

Найдите сонаправленные и противоположные векторы.

Благодаря клетчатому фону мы можем определить, что все векторы на рисунке коллинеарны, то есть лежат на параллельных прямых. Осталось посмотреть на направление векторов и сделать выводы:

Но не забудьте про нулевой вектор — он будет исправляться вместе с каждым вектором.

Но согласитесь, визуальная оценка параллелизма — не самая точная вещь на свете, а математика известна своей точностью и наглядностью. Поэтому возникает вопрос: как проверить коллинеарность векторов алгебраическими способами? Для этого существуют признаки коллинеарности векторов. Давайте рассмотрим их.

Читайте также: Элементарные преобразования матрицы

Условия коллинеарности векторов

Два вектора будут коллинеарными, если выполняется любое из этих условий:

Условие коллинеарности векторов 1. Два вектора a и b коллинеарны, если существует число n такое, что
a = n · bУсловия коллинеарности векторов 2. Два вектора коллинеарны, если отношение их координат равно.

NB Условие 2 неприменимо, если одна из компонент вектора равна нулю.

Условия коллинеарности векторов 3. Два вектора коллинеарны, если их векторное произведение равно нулевому вектору.

NB Условие 3 применимо только к трехмерным (пространственным) задачам.

Доказательство третьего условия коллинеарности

Пусть имеются два коллинеарных вектора a = {ax; да; az} и b = {nax; нет; наз}. Найдем их векторное произведение

a × b = ijkaxayazbxbybz = i (aybz — azby) — j (axbz — azbx) + k (axby — aybx) =
= i (айназ — азнай) — j (ахназ — азнах) + k (ахнай — айнакс) = 0i + 0j + 0k = 0

Координатная форма условия коллинеарности векторов

Исходные данные: вектор a→ задан в прямоугольной системе координат на плоскости и имеет координаты (ax, ay), тогда согласно полученному выше условию вектор b→=λ·a→ имеет координаты (λ·ax , λ·ay).

По аналогии: если вектор a→ задан в трехмерном пространстве, то он будет представлен в виде координат a=(ax, ay, az) , а вектор b→=λ a→ имеет координаты (λ ax, λ ay , λ аз). Из полученных утверждений следуют условия коллинеарности двух векторов в координатной интерпретации.

Определение 3

1.   ​Для коллинеарности двух ненулевых векторов на плоскости необходимо и достаточно, чтобы их координаты были связаны соотношениями: bx=λ axby=λ ay или ax=µ bxay=µ с
2. Для того чтобы два ненулевых вектора были коллинеарны в пространстве, необходимо и достаточно, чтобы их координаты были связаны соотношениями: bx=λ axby=λ ay bz=λ az или ax=µ bxay=µ при az=µ bz

Можно также получить другое условие коллинеарности векторов, зависящее от понятия их произведения.

Если ненулевые векторы a→=(ax, ay, az) и b→=(bx, by, bz) коллинеарны, то по векторному определению произведения a→×b→=0→. А это также соответствует равенству: i→j→k→axayazbxbybz=0→, что опять-таки возможно только при условии, что данные векторы связаны соотношениями b→=λ a→ и a→=µ b→ , где µ — произвольное действительное число (на основе ранга матрицы), указывающее на то, что векторы коллинеарны.

Определение 4

Два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору.

Рассмотрим применение условия коллинеарности к конкретным примерам.

Пример 1

Исходные данные: векторы a→=(3-22, 1) и b→=(12+1, 2+1) . Необходимо определить, коллинеарны ли они.

Решение

Выполним задачу, исходя из условия коллинеарности векторов на плоскости в координатах: bx=λ axby=λ ay (2+1) (3-22)=132-4+3-22=12-1by=λ ay⇔ 2+ 1=12-1 1⇔(2+1) (2-1)= 1⇔1≡1

B→=12-1·a→, поэтому данные векторы коллинеарны.

Ответ: данные векторы коллинеарны.

Пример 2

Исходные данные: векторы a→=(1, 0, -2) и b→=(-3, 0, 6) . Вы должны убедиться, что они коллинеарны.

Решение

Так как bx=λ axby=λ ay bz=λ az⇔-3=-3 10=-3 06=-3 (-2) , то будет верным равенство: b→=-3 a→ , что является необходимым и достаточное условие коллинеарности. Таким образом, заданные векторы коллинеарны.

Давайте также найдем векторное произведение заданных векторов и убедимся, что оно равно нулевому вектору: a→×b→=i→j→k→k→axayazbxbybz=i→j→k→10-2-306=i → 0 6 +j→ (-2) (-3)+k→ 1 0-k→ 0 (-3)-j→ 1 6-i→ (-2) 0=0→Ans: учитывая, что векторы коллинеарный.

Пример 3

Исходные данные: векторы a→=(2, 7) и b→=(p, 3) . Необходимо определить, при каком значении p данные векторы будут коллинеарны.

Решение

Согласно приведенному выше условию, векторы коллинеарны, если

b→=λ a→⇔bx=λ axby=λ ay⇔p=λ 23=λ 7

тогда λ=37 и p=λ·2⇔p=67 .

Ответ: при p=67 данные векторы коллинеарны.

Распространены также проблемы с нахождением вектора, коллинеарного заданному. Они решаются без труда, исходя из условия коллинеарности: : достаточно будет взять произвольное действительное число λ и определить вектор, коллинеарный заданному.

Пример 4

Исходные данные: вектор a→=(2, -6) . Необходимо найти любой ненулевой вектор, коллинеарный заданному.

Решение

Ответ может быть, например, 12 a→=(1, -3) или вектор 3 a→=(6, -18) .

Ответ: вектор, коллинеарный данному, имеет координаты (1, -3).

Пример 5

Исходные данные: вектор a→=(3, 4, -5) . Необходимо определить координаты вектора единичной длины, коллинеарного заданному.

Решение

Вычислить длину заданного вектора по его координатам: a→=ax2+bx2+cx2=32+42+(-5)2=52 Разделить каждую из заданных координат на полученную длину и получить единичный вектор, коллинеарный заданному один: 1a→ a→= (352, 452,- 12)

Ответ: (352, 452, — 12)

Теорема о разложении векторов

Пусть на плоскости три вектора b→,d→,c→. Итак, если вектор d→ выражается через b→ и c→, мы говорим, что d→ можно разложить через b→ и c→. При этом вектор d→ может быть либо коллинеарным одному из векторов, либо нет.

Сформулируем теорему о разложении векторов.

Теорема

Любой вектор d→ на плоскости можно представить как d→=xc→+yb→. Здесь c → и b→ — пара неколлинеарных векторов, а b→≠0,c→≠0. Такое представление называется векторной декомпозицией.

Доказательство.

Предположим, что d→ коллинеарно b→.

Тогда по лемме: d→=yb→. Коэффициент x будет равен нулю, т.е d→=0·c→+yb→. Вектор разлагается на векторы c→ и b→. Теорема доказана.

В пространстве три вектора, два из которых коллинеарны, будут компланарны.

Рассмотрим случай, когда среди векторов d→, c→ и b нет коллинеарных векторов.

На плоскости выбираем точку M, от которой откладываем отрезки MC→=c→, MD→=d→,MB=b→. Из точки D проведите прямую DC1||BM. Вектор d→ можно найти по правилу треугольника, т е d→=MC1→+DC1→.

DC1→ и b→ — пара коллинеарных векторов, так как они лежат на параллельных прямых. Векторы MC1→ и c→ коллинеарны, так как лежат на одной прямой. Согласно лемме, DC1→=y·b→ и MC1→=x·c→. Итак, d→=x·c→+y·b→, что и требовалось доказать.

Докажем, что x и y — однозначно определенные коэффициенты. Предположим, что есть x1 и y1, и d→=x1 c→+y1 b→. Получаем, что xc→+yb→=x1 c→+y1 b→, или (x-x1) c→+(y-y1) b→=0.

При условии b→≠0 и c→≠0 равенство возможно только при x-x1=0 и y-y1=0.

Тогда x=x1 и y=y1, то есть x и y — единственно возможные коэффициенты разложения вектора d→.

Признаки и свойства коллинеарности векторов

Коллинеарные векторы на плоскости или в пространстве обладают следующими свойствами:

• каждый вектор коллинеарен самому себе b→↑↑d→;
• если вектор b→ коллинеарен вектору d→, то верно и обратное: вектор d→ коллинеарен вектору b→(b→↑↑d→⇔d→↑↑b→);
• если ненулевой вектор b→ коллинеарно ненулевому d→, а d→ коллинеарно ненулевому c→, то b→ коллинеарно c→;
• нулевой вектор коллинеарен любому другому. Нулевой вектор — это вектор, длина которого равна нулю, а начальная и конечная точки совпадают;
• скалярное произведение коллинеарных векторов b→ и d→ можно вычислить по формулам: b→↑↑d→⇒(b→d→)=b→d→и b→↑↓d→⇒(b→d→) =- б→·д→.

Признаки коллинеарности векторов

1. Первый критерий коллинеарности векторов: векторы и коллинеарны, если .
2. Второй критерий коллинеарности векторов состоит в том, что два вектора коллинеарны, если отношение их координат равно.

   Но тут важно понимать, что это условие параллельности векторов работает только для всех ненулевых координат. Таким образом, если хотя бы одна компонента вектора равна нулю, правило не применяется.

3. Третий критерий коллинеарности векторов, который могут использовать 11-классники, взрослые и все, кто увлекается математикой: два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору.

Используем условия коллинеарности векторов для решения задач.

Задача № 2

Докажите, что векторы и коллинеарны.

У нас с вами есть два способа определить или доказать коллинеарность векторов, но в координатах каждого вектора ноль, а значит, подходит только первый критерий, который также называют свойством коллинеарности векторов: если , то .

Для начала определимся. Теперь проверим, выполняется ли условие :

, Фонды, . КЭД

Задача № 3

Какие из векторов и коллинеарны?

И здесь очень удобно использовать второй критерий коллинеарности векторов, который звучит так: отношение соответствующих координат коллинеарных векторов равно.

1. Проверим коллинеарность векторов и: должно выполняться условие, т е. — верно, следовательно, .
2. Проверим коллинеарность векторов и: должно выполняться условие, т.е. — ложно, а значит, неколлинеарно.
3. Проверим коллинеарность векторов и: должно выполняться условие, т.е. — ложно, а значит, неколлинеарно.

Задача № 4

Определить, при каком значении k векторы и коллинеарны.

Так как по условию векторы должны быть коллинеарны, а их координаты не содержат нуля, то можно использовать второй критерий коллинеарности, а именно должно выполняться условие, т.е .

По свойству пропорциональности выразим k:

<p>;

к = 27.

Следовательно, при k = 27 векторы и коллинеарны.

Если вам нужно проверить коллинеарность векторов в пространстве, а не на плоскости, все эти условия продолжают работать, но помните, что к проверке добавляется третья координата векторов. Давайте посмотрим на пару примеров.

Задача № 5

Докажите, что векторы и коллинеарны.

Продолжим так же, как решение в задаче 2 — воспользуемся первым критерием, который также называют свойством коллинеарности векторов, т.е если , то .

Для начала определимся. Теперь проверим, выполняется ли условие :

, Фонды, . КЭД

Задача № 6

Определить, при каких значениях k и f векторы и коллинеарны.

Аналогично задаче 4: поскольку по условию векторы должны быть коллинеарны и их координаты не содержат нуля, можно использовать второй критерий коллинеарности. Условие должно быть выполнено, т .

Рассмотрим первую и вторую дроби, по свойству пропорции выразим k:

<p>;

к = 27.

Рассмотрим первую и третью дроби, по свойству пропорции выразим f:

<p>;

ф = 2.

Следовательно, при k = 27 и f = 2 векторы и коллинеарны.

Векторы — прекрасный предмет, с помощью которого можно решать многие физические задачи, легко и просто доказывать сложнейшие геометрические теоремы. Сегодня вы узнали, какие векторы называются коллинеарными, но это только один аспект большой главы о векторах.
Критерии коллинеарности

Теорема о критерии коллинеарности — это утверждение, утверждающее, что если существуют два неортогональных отрезка равной длины, a и b, то вектор a можно выразить по формуле a || b = a = y * b В этом случае y обозначает любое произвольное число. Существует и обратное утверждение: если вектор b умножить на число и получить отрезок a, то a и b будут коллинеарны.

Эти два правила идентичны и называются критериями коллинеарности. Чтобы их доказать, нужно знать правило арифметических действий с параллельными и перпендикулярными векторами, а также понимать основные основы. Он состоит в том, что если имеется три отрезка a, b и c, то следующая комбинация есть || б и || c, то разумно сказать, что b || в.

Для доказательства свойства || b = a = y * b, вы должны использовать определение коллинеарности. Отсюда следует, что если || б, то сегменты могут быть сонаправлены или противоположно направлены. Следовательно, необходимо проверить утверждение для двух случаев:

Если предположения окажутся верными, можно будет сделать вывод, что журнал верен и для других случаев. То есть равенство a = u * b можно применить ко всем параллельным отрезкам. Этот критерий занимает важное место в геометрии наряду со свойствами перпендикулярности (ортогональности) прямых.

Сонаправленные вектора

Пусть a и b однонаправлены. Введем число y равное отношению a к b.Так как длина вектора может быть только положительной, то y = a/b > 0. Состояние вектора, когда он равен нулю, является частным случаем и его можно не учитывать, так как это приведет к равенству 0 = 0. Если длину b умножить на число, получится новый вектор. Пусть это будет отрезок с, т е с = у * Ь. Учитывая свойство коллинеарности, можно утверждать, что параллелизм между с и Ь сохранится.

Известно, если предположить, что || б) На основании транзитивности отрезков можно заключить, что c || Б. Теперь вам нужно ввести их направление. Первоначально a и b указывают в одном и том же направлении. Управляемый множитель больше нуля. Это означает, что после умножения направление вектора не изменится, т е c будет иметь то же направление, что и b, тогда окажется, что a || б и в || б. Отсюда следует, что || С.

Длина вектора c равна |c| = |и| *|б|. Вместо u можно подставить a/b. Результат |а| *|б| / |б| = |а|. Таким образом, выполняются два условия, и можно утверждать, что с = а. Получается, что для двух однонаправленных векторов будет выполняться правило а = и*Ь.

Противоположные отрезки

Пусть есть два отрезка a и b, при этом их направления противоположны друг другу. Вы можете указать переменную u, которая будет меньше нуля. Тогда можно написать u = — |a| / |б| 0, потому что |м| ↑↑ |н|. Следовательно, и = 240/12 = 20.

Требуется доказать, что если отрезки a и b не лежат на одной прямой, то a + b и a — b также не лежат на одной прямой. Такие задачи решаются обратным методом. Для повышения удобства решения рекомендуется выполнять векторную прорисовку в линейных координатах. Они предполагают, что a + b и a — b коллинеарны. Тогда должно выполняться следующее равенство: a + b = u (a — b). При этом u не должен быть равен нулю. В выражении можно раскрыть скобки: a + b = u * a — u * b, а затем перенести мономы, содержащие вектор a, в левую часть равенства, а b в правую часть: a — u * а = — и * б — б.

Используя законы умножения, выражение можно преобразовать к виду: (1-u) * a = (-u — 1) * b После ряда стандартных упрощений получаем: a = (-u — 1) * b/1- u, ab = (u + 1)*b/1- u. Изучив полученное выражение, можно заметить, что u = 1 противоречит условию, так как a + b = a — b, то b = -b = 0. Определить, коллинеарны ли отрезки c1 и c2 в векторах a и b при условии a = <1; 4; -2>, б = <1; 1; -1>; c 1 = a + b, c 2 = 4 a + 2 b.Решение осуществляется следующим образом. Если векторы коллинеарны, найдется число, где будет верным равенство: c 1 = u * c 2 . Другими словами, векторы коллинеарны, если их координаты пропорциональны. Используя исходные данные, получаем: c 1 = a + b = <1+1; 4+1; -2+(-1)>=<2; 5; -3>; с 2 = 4 * а + 2 * b = <4*1 + 2*1; 4*4+2*1; 4 * (-2) + 2 * (-1) >= <6; 18; -10>. Результат: 2/6 ≠ 5/18 ≠ -3/-10. Отсюда можно сделать вывод, что рассматриваемые отрезки не лежат на одной прямой.

Примеры задач на коллинеарность векторов

Примеры задач на коллинеарность векторов на плоскости

Пример 1. Какой из векторов a = {1; 2}, б = {4; 8}, с = {5; 9} коллинеарны?

Решение: Так как векторы не содержат компонент равных нулю, воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае плоской задачи для векторов a и b будет иметь вид:

топор	=	да	.
бх	из

Фонды:

Векторы a и b коллинеарны, так как	1	=	2	.
4	8

Векторы a и c не лежат на одной прямой, так как	1	≠	2	.
5	9

Векторы c и b не коллинеарны, так как	5	≠	9	.
4	8

Пример 2. Докажите, что векторы a = {0; 3} и б = {0; 6} коллинеарны.

Решение: Так как векторы содержат компоненты равные нулю, используем первое условие коллинеарности, находим, существует ли такое число n, что:

б = нет.

Для этого находим ненулевую компоненту вектора а, в данном случае это ау. Если векторы коллинеарны, то

п =	из	=	6	= 2
да	3

Найдем значение na:

на = {2 0; 2 3} = {0; 6}

Поскольку b = na, векторы a и b коллинеарны.

Пример 3 найти значение параметра n, где вектор a = {3; 2} и б = {9; n} коллинеарны.

Решение: Так как векторы не содержат компонент равных нулю, используем второе условие коллинеарности

топор	=	да	.
бх	из

Фонды:

3	=	2	.
9	н

Давайте решим это уравнение:

п =	2 9	= 6
3

Ответ: векторы a и b коллинеарны при n = 6.

Примеры задач на коллинеарность векторов в пространстве

Пример 4. Какой из векторов a = {1; 2; 3}, б = {4; 8; 12}, с = {5; 10; 12} коллинеарны?

Решение: Так как векторы не содержат компонент равных нулю, воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае пространственной задачи для векторов a и b будет иметь вид:

топор	=	да	=	аз	.
бх	из	бз

Фонды:

Векторы a и b коллинеарны, так как 14=28=312

Векторы a и c не лежат на одной прямой, так как 15 = 210 ≠ 312

Векторы c и b не лежат на одной прямой, так как 54 = 108 ≠ 1212

Пример 5. Докажите, что векторы a = {0; 3; 1} и б = {0; 6; 2} коллинеарны.

Решение: Так как векторы содержат компоненты равные нулю, используем первое условие коллинеарности, находим, существует ли такое число n, что:

б = нет.

Для этого находим ненулевую компоненту вектора а, в данном случае это ау. Если векторы коллинеарны, то

п =	из	=	6	= 2
да	3

Найдем значение na:

на = {2 0; 2 3; 2 1} = {0; 6; 2}

Поскольку b = na, векторы a и b коллинеарны.

Пример 6 найти значения параметров n и m, где векторы a = {3; 2; m} и b = {9; н; 12} коллинеарны.

Решение: Так как векторы не содержат компонент равных нулю, используем второе условие коллинеарности

топор	=	да	=	аз	.
бх	из	бз

Фонды:

3	=	2	=	м
9	н	12

Из этого соотношения получаем два уравнения:

3	=	2
9	н

3	=	м
9	12

Решим эти уравнения:

п =	2 9	= 6
3

м =	3 12	= 4
9

Ответ: векторы a и b коллинеарны при n = 6 и m = 4.

Сложение коллинеарных и неколлинеарных векторов

Очевидно, что сложить два коллинеарных вектора очень просто: откладываем второй вектор от начала первого, получаем новый вектор. По своему периоду она будет коллинеарна, все они будут лежать, грубо говоря, на одной прямой.

Вы можете представить, что идете прямо: каждый ваш шаг — это вектор. Каждый новый шаг — это новый вектор. Но если сложить их все вместе, то получится большой прямой вектор такой же длины, как и все ваши шаги.

Теперь попробуем добавить пару неколлинеарных векторов. Это как если бы мы сначала сделали шаг немного вправо, а затем сделали шаг влево. Шагов два, но если мы соединим начало и конец пути, то он не будет совпадать с путями наших шагов. Появится какой-то новый вектор с новым направлением, и он будет неколлинеарным по отношению к членам.

Также пару неколлинеарных векторов из одной плоскости можно растянуть и разложить в пространстве. Если их сложить вместе, появится новый вектор.

Математики называют такой вектор базисом. Когда базис находится на плоскости или в пространстве, его можно преобразовать обратно только в пару неколлинеарных векторов, которые однозначно его сформировали.

Правило работает, когда мы масштабируем и меняем положение векторов в пространстве. Если мы изменим направление исходных векторов, мы получим новый базис.

В основе лежит понятие из высшей математики, так что если сейчас сложно, не переживайте. Студенты-математики тоже однажды отчаялись.

Поменяли пару неколлинеарных векторов и сформировали из них базис — получили новый фиолетовый вектор со своей системой координат
Теперь мы изменили исходные неколлинеарные векторы и получили новый базис — это оранжевый вектор

Как определять неколлинеарность

Когда мы работаем с короткими векторами, все очевидно: мы начертили систему координат, нанесли на нее векторы, либо они совпали, либо нет. Если они совпадают, они коллинеарны; в противном случае они неколлинеарны.

Теперь представьте, что векторы настолько огромны, что мы физически не можем нарисовать и сопоставить их. Например,

Как это нарисовать? Как проверить коллинеарность? Вот где начинается магия алгебры.

Есть три способа проверить линейную зависимость векторов. Чтобы упростить вычисления, давайте проверим эти три метода на этих еще простых векторах:

Используя эти координаты, мы ответим на два вопроса: являются ли предложенные векторы линейно зависимыми (то есть коллинеарными) и можно ли их разложить по базису.

Первый способ. Запишем простую систему уравнений: возьмем первую координату каждого вектора и сложим ее со второй координатой каждого вектора, умноженной на неизвестное число λ. Вычислим λ и сравним результаты.

Знак λ здесь по традиции и для простоты. Это действительно просто неизвестный номер. Вместо этой буквы может быть X, Y, Z или N, но поскольку мы уже называем векторы X и Y, а N используется в математике для других целей, возьмем λ — это греческая буква «лямбда», древний предок нашей русской буквы «Л».

Составим систему уравнений:

Рассчитываем значение λ:

Сравниваем результаты и делаем выводы:

Мы получили другое значение для неизвестного числа λ и поэтому наши векторы будем считать линейно независимыми. Из них можно получить основу.

Если бы значение λ совпадало, мы имели бы дело с линейно зависимыми векторами.

Другой способ. Проверяем координаты векторов на пропорциональность: берем первую координату первого вектора, делим на первую координату второго вектора. Повторяем ту же операцию с другими координатами: берем вторую координату первого вектора и делим ее на вторую координату второго вектора.

Получаем следующую долю:

Считаем значение и сравниваем результат:

Равенство не выполняется, а значит, между векторами нет зависимости.

Третий способ. Мы используем четыре элемента наших координат, чтобы найти определитель — скалярную величину, с которой мы подробно познакомимся в следующих статьях по мере решения матричных уравнений. Теперь нам не нужны детали и достаточно формулы для проверки линейной зависимости.

Записываем координаты наших векторов в две строки:

Переводим координаты векторов в определитель — добавляем по вертикали с обеих сторон и получаем простую квадратную матрицу размером 2 х 2:

Полученная матрица имеет две диагонали. Числа -6 и -1 образуют главную диагональ; числа -4 и 5 — вторая диагональ. Чтобы найти определитель, мы должны перемножить числа на главной и других диагоналях, а затем вычесть их разность.

Если мы получили определитель из координат вектора и он не равен нулю, то векторы считаются линейно независимыми и пригодными для разложения по базису.

И наоборот: нулевой определитель указывает на линейную зависимость векторов.

Что из этого нужно запомнить

• С точки зрения векторов важно, имеют они направление или нет. По-другому, коллинеарны они или нет.
• Коллинеарность влияет на то, что вы можете делать с этими векторами. Например, неколлинеарные векторы можно разложить по базису.
• Базис — это вектор, который можно разложить на такие же неколлинеарные векторы.
• Коллинеарность легко проверяется с помощью уравнений. Не обязательно строить векторы на координатной плоскости.