Компланарность векторов

Понятие компланарности векторов

Как мы уже говорили, компланарность векторов связана с их расположением в пространстве. Чтобы понять, какие векторы называются компланарными, давайте рассмотрим несколько определений, раскрывающих это понятие с разных сторон.

• Векторы называются компланарными, если при построении из одной точки они лежат в одной плоскости.

  

• Копланарные векторы — это векторы, лежащие в одной плоскости или параллельные одной плоскости.

  

Как вы думаете, всегда ли можно найти плоскость, параллельную двум векторам? Да, вы абсолютно правы! Поэтому любые два произвольных вектора можно считать компланарными.

Но если векторов не два, а три, то должны быть выполнены определенные условия, чтобы можно было назвать их компланарными.

Рассмотрим эти условия компланарности на примере векторов a, b и c. Эти векторы компланарны, когда:

1. Пары векторов а и с, b и с, а и b компланарны друг другу.
2. Любая пара этих векторов коллинеарна (т.е лежит на прямой или двух параллельных прямых).
3. Все три вектора лежат в одной плоскости.

Давайте найдем пример компланарных и некомпланарных векторов, которые мы размещаем на краях прямоугольника:

• векторы AA1, CC1 и CB компланарны, так как AA1 и CC1 коллинеарны;
• векторы AB, DC и DD1 компланарны, так как AB и DC коллинеарны;
• векторы CD, CB и CC1 некомпланарны, так как они не лежат в одной плоскости и любая пара векторов не коллинеарна.

Читайте также: Приведение дроби к наименьшему общему знаменателю: правило, примеры решений

Условия компланарности векторов

• Для 3 векторов. Три вектора компланарны, если их смешанное произведение равно нулю.
• Для 3 векторов. Три вектора компланарны, если они линейно зависимы.
• Для n векторов Векторы компланарны, если среди них не более двух линейно независимых векторов.

Признак и критерий компланарности векторов

С теоремами разобрались — пора переходить к последней части. Для полной картины нужно рассказать еще о некоторых нюансах, касающихся копланарных векторов.

Линейно зависимыми называются векторы, из которых можно составить линейную комбинацию, равную нулю: .

Смешанным (или векторно-скалярным) произведением трех векторов а, b, с (взятых в указанном порядке) называется скалярное произведение вектора а на векторное произведение bc, т.е число a(bc), или (bc) один.

Признак компланарности векторов:

• Если смешанное произведение трех векторов равно нулю, то эти три вектора компланарны.
• Если три вектора линейно зависимы, они компланарны.

Эти признаки редко подробно изучаются в школьном курсе. Но приятно знать то, о чем не знают даже твои одноклассники?

Теоремы, связанные с компланарностью трех векторов

Теорема 1

Первая теорема не имеет прямого отношения к вопросу о компланарности, но нам все равно нужно ее запомнить, поскольку она полезна.

Звучит это примерно так: любой произвольный вектор можно разложить на два неколлинеарных вектора с единственными коэффициентами разложения: .

Теорема 2

Если один из трех векторов можно разложить на два других вектора с уникальными коэффициентами разложения, то эти векторы компланарны.

Попробуем доказать эту теорему. Для этого возьмем три вектора: c, b и e, где .

1. Пусть векторы b и e коллинеарны. Тогда векторы c, b и e точно компланарны со свойством, что если два из трех векторов коллинеарны, то все три можно считать компланарными.
2. Допустим, векторы b и e не лежат на одной прямой. Затем мы разложили вектор c на два неколлинеарных вектора, что соответствует теореме 1. А это опять означает, что векторы c, b и e лежат в одной плоскости и компланарны.

Теорема доказана!

Теорема 3

Если три вектора a, b и c компланарны, а векторы a и b неколлинеарны, то вектор c можно разложить по a и b единственным способом: .

Эта теорема очень похожа на предыдущую, верно? Давайте посмотрим, как мы можем доказать, что это правда.

Поскольку векторы а, b и с компланарны, это означает, что существует такая плоскость, параллельная исходной, на которой можно построить векторы а1 = а, b1 = b, c1 = c коллинеарны, новые векторы a1 и b1 также будут неколлинеарными. Тогда согласно теореме 1 мы можем разложить вектор c1 = xa1 + yb1.

Поэтому, .

Примеры задач на компланарность векторов

Пример 1. Проверить, что три вектора a = {1; 2; 3}, б = {1; 1; 1}, с = {1; 2; 1}.

Решение: найти смешанное произведение векторов

а б × с =	1	2	3	=
1	1	1
1	2	1

= 1 1 1 + 1 1 2 + 1 2 3 — 1 1 3 — 1 1 2 — 1 1 2 = 1 + 2 + 6 — 3 — 2 — 2 = 2

Ответ: векторы не компланарны в том смысле, что их смешанное произведение не равно нулю.

Пример 2. Докажите, что три вектора a = {1; 1; 1}, б = {1; 3; 1} и с = {2; 2; 2} компланарны.

Решение: найти смешанное произведение векторов

а б × с =	1	1	1	=
1	3	1
2	2	2

= 1 2 3 + 1 1 2 + 1 1 2 — 1 2 3 — 1 1 2 — 1 1 2 = 6 + 2 + 2 — 6 — 2 — 2 = 0

Ответ: векторы компланарны, потому что их смешанное произведение равно нулю.

Пример 3. Проверить, что векторы a = {1; 1; 1}, б = {1; 2; 0}, с = {0; -1; 1}, д = {3; 3; 3}.

Решение: найти количество линейно независимых векторов, для этого запишем значения векторов в матрицу, и проведем над ней элементарные преобразования

	1	1	1		~
1	2	0
0	-1	1
3	3	3

вычесть 1 из 2 строки; из четвертой строки вычесть первую, умноженную на 3

~		1	1	1		~		1	1	1		~
одиннадцать	2 — 1	0 — 1	0	1	-1
0	-1	1	0	-1	1
3 — 3	3 — 3	3 — 3	0	0	0

добавить 2 строку к 3 строке

~		1	1	1		~		1	1	1
0	1	-1	0	1	-1
0+0	-1+1	1 + (-1)	0	0	0
3 — 3	3 — 3	3 — 3	0	0	0

Поскольку осталось две ненулевые строки, среди приведенных векторов есть только два линейно независимых вектора.

Ответ: векторы компланарны, так как среди приведенных векторов есть только два линейно независимых.

Практика

Мы многому научились, теперь осталось закрепить теорию практическим заданием.

Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Разложите вектор D1B1 на DC и CB.

Решение.

Плоскости (ABC) и (А1В1С1) параллельны, так как находятся по разные стороны параллелепипеда. Следовательно, векторы D1B1, DC и CB компланарны. Следовательно, по теореме 2 мы можем разложить D1B1 на DC и CB, причем единственным образом:

DB=D1B1, DC=D1C1, CB=C1B1.

Согласно правилу треугольника, DB = DC + CB.

А так как DB = D1B1, значит D1B1 = DC + CB.

Как применять смешанное произведение

Если три вектора не лежат в одной плоскости, то по ним можно построить, как по сторонам, параллелепипед или пирамиду.

С помощью смешанного произведения можно вычислить объемы параллелепипедов или треугольных пирамид, построенных на трех некомпланарных векторах.

Примечание:
Определитель может быть отрицательным числом. Причем громкость может быть как нулевой, так и положительной. Поэтому, если определитель равен отрицательному числу при расчете объема, знак минус не учитывается.

big boxed { V _ { text {box}} = pm left ( vec {a}, vec {b}, vec {c} right) }

На рис. 2 показано, как, используя векторы на ребрах параллелепипеда, можно вычислить объем

[ large boxed { V _ { text {пирамиды}} = pm frac {1} {6} cdot left ( vec {a} , vec {b} , vec {c} right) }]

На рис. 3 показано, как использовать векторы на ребрах пирамиды для расчета объема

Смешанное произведение векторов в физике — работа вращающей силы

Пусть цилиндрическое тело вращается под действием силы. Ось вращения проходит через ось симметрии тела.

Работа вращающей силы представляет собой смешанное произведение векторов (vec{omega} ), (vec{r} ) и (vec{F} )

[large] boxed { dA = left(vec{F} left[vec{omega} , vec{r} right] right)cdot dt [}]

Пояснения:

Линейная скорость — это векторное произведение радиуса окружности и угловой скорости:

[v]ec{v} = left[vec{omega} , vec{r} right]

Расстояние (vec{dS}), которое проходит точка при повороте на малый угол, есть произведение вектора линейной скорости на скалярную величину — время:
[vec{dS} = v cdot dt ]

Малая работа dA представляет собой скалярное произведение вектора силы и вектора смещения
[dA = left(vec{F} cdot vec{dS} right)]