Комплексные числа: тригонометрическая форма Z

Определение понятия

Определение 1

Тригонометрической формой некоторого числа z=x+iy, комплексного и отличного от нуля, является следующая запись:

z=r(cosφ+isinφ)

Здесь модуль комплексного числа z с тригонометрической точки зрения может быть задан алгебраическим выражением с корнем:

г=х2+у2.

Алгебраическая форма записи комплексных чисел

Пусть x и y — произвольные действительные числа.

Множеством комплексных чисел называется множество всех возможных пар (x, y) действительных чисел, где операции сложения, вычитания и умножения определены в соответствии с описанными ниже правилами.

Множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел, так как множество действительных чисел содержится в нем в виде пар (x, 0).

Комплексные числа, заданные парами (0, y), называются чисто мнимыми числами.

Для комплексных чисел существует несколько форм записи: алгебраическая запись, тригонометрическая запись и экспоненциальная (экспоненциальная) запись.

Алгебраическая форма — это форма записи комплексных чисел, в которой комплексное число z, заданное парой действительных чисел (x, y), записывается как

z знак равно х + я .

(1)

где используется символ i, называемый мнимой единицей.

Число x называется действительной (вещественной) частью комплексного числа z = x + iy и обозначается Re z.

Число y называется мнимой частью комплексного числа z = x + iy и обозначается Im z.

Комплексные числа с Im z = 0 являются действительными числами.

Комплексные числа с Re z = 0 — чисто мнимые числа.

Тригонометрическая и экспоненциальная формы записи комплексных чисел будут рассмотрены чуть позже.

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Сложение и вычитание комплексных чисел z1 = x1 + i y1 и z2 = x2 + i y2 производятся по правилам сложения и вычитания двучленов (многочленов) x1 + i y1 и x2 + i y2 , т.е в соответствии с формулами

z1 + z2 =
=x1 + i y1 + x2 + i y2 =
=x1 + x2 + я (y1 + y2) ,

z1 – z2 =
=x1 + i y1– (x2 + i y2) =
=x1– x2 + i (y1– y2) .

Умножение комплексных чисел z1 = x1 + i y1 и z2 = x2 + i y2, а также операции сложения и вычитания выполняются по правилам умножения двучленов (многочленов), но берется самое главное равенство с учетом, которая имеет вид:

я 2 = — 1 .

(2)

По этой причине

z1z2 = (x1 + i y1) (x2 + i y2) =
=x1x2 + i x1 y2 +
+ я y1x2 + я 2y1 y2 =
= х1х2 + я х1у2 +
+i y1x2 – y1 y2 =
=x1x2 – y1 y2 +
+ я (x1 y2 + я x2 y1) .

Комплексно сопряженные числа

Два комплексных числа z = x + iy, действительные части которых равны, а мнимые части различаются по знаку, называются комплексно-сопряженными числами.

Операция перехода от комплексного числа к его комплексному сопряжению называется операцией комплексного сопряжения, обозначается горизонтальной чертой над комплексным числом и удовлетворяет следующим свойствам:

Модуль комплексного числа

Модуль комплексного числа z = x + iy — это действительное число, обозначаемое | г| и определяется по формуле

Для любого комплексного числа z справедливо равенство:

а для произвольных комплексных чисел z1 и z2 справедливы следующие неравенства:

Комментарий. Если z — действительное число, то его модуль равен | г| равно его абсолютному значению.

Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Деление комплексного числа z1 = x1 + i y1 на ненулевое комплексное число z2 = x2 + i y2 осуществляется по формуле

Используя обозначения модуля комплексного числа и комплексного сопряжения, частное при делении комплексных чисел можно представить следующим образом:

Деление на ноль запрещено.

Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости

Рассмотрим плоскость с заданной на ней прямоугольной декартовой системой координат Oxy и вспомним, что радиус-вектор на плоскости — это вектор, начало которого совпадает с началом системы координат.

Назовем рассматриваемую плоскость комплексной плоскостью, а комплексное число z = x + iy представим в виде радиус-вектора с координатами (x , y).

Назовем ось абсцисс Ох действительной осью, а ось ординат Оу мнимой осью.

При таком представлении комплексных чисел сумма комплексных чисел равна сумме радиус-векторов, а произведение комплексного числа на действительное число равно произведению радиус-вектора на это число.

Читайте также: Как найти площадь квадрата, формула

Аргумент комплексного числа

Рассмотрим радиус-вектор произвольного, но отличного от нуля, комплексного числа z.

Аргументом комплексного числа z является угол φ между положительным направлением действительной оси и радиус-вектором z.

Аргумент комплексного числа z считается положительным, если поворот от положительного направления вещественной оси радиус-вектора z осуществляется против часовой стрелки, и отрицательным — в случае поворота по часовой стрелке (см рис.).

Предполагается, что комплексное число ноль не имеет аргумента.

Поскольку аргумент комплексного числа определен с точностью до члена 2kπ , где k — произвольное целое число, вводится главное значение аргумента, обозначаемое arg z и удовлетворяющее неравенствам:

Тогда сходство оказывается истинным:

Если для комплексного числа z = x + iy известен его модуль r = | г| и аргумент φ, то можно найти действительную и мнимую части по формулам

(3)

Если комплексное число z = x + iy задано в алгебраической форме, т е нам известны числа x и y, то модуль этого числа, конечно, определяется по формуле

(4)

и аргумент определяется в соответствии со следующей таблицей 1.

Чтобы не загромождать запись, условимся, не уточняя этого, что символ k обозначает произвольное целое число в таблице 1.

Таблица 1. — Формулы для определения аргумента числа z = x + iy

Размещение номер г	X и Y символы	Основная ценность аргумента	Аргумент	Примеры
Положительный подлинный ось ось	х > 0 у=0	0	φ = 2kπ
квадрант Первый	х > 0 у > 0
Положительный воображаемый ось ось	х = 0 у > 0
квадрант Второй	х<0 , у > 0
Отрицательный подлинный ось ось	х<0 , у=0	π	φ = π + 2kπ
квадрант Третий	х<0 , у < 0
Отрицательный воображаемый ось ось	х = 0 у < 0
квадрант Четвертый	х > 0 у < 0

Размещение номер г	Положительный подлинный ось ось
X и Y символы	х > 0 у=0
Основной важность аргумент	0
Аргумент	φ = 2kπ
Примеры

Размещение номер г	квадрант Первый
X и Y символы	х > 0 у > 0
Основной важность аргумент
Аргумент
Примеры

Размещение номер г	Положительный воображаемый ось ось
X и Y символы	х = 0 у > 0
Основной важность аргумент
Аргумент
Примеры

Размещение номер г	квадрант Второй
X и Y символы	х<0 , у > 0
Основной важность аргумент
Аргумент
Примеры

Размещение номер г	Отрицательный подлинный ось ось
X и Y символы	х<0 , у=0
Основной важность аргумент	π
Аргумент	φ = π + 2kπ
Примеры

Размещение номер г	квадрант Третий
X и Y символы	х<0 , у < 0
Основной важность аргумент
Аргумент
Примеры

Размещение номер г	Отрицательный воображаемый ось ось
X и Y символы	х = 0 у < 0
Основной важность аргумент
Аргумент
Примеры

Размещение номер г	квадрант Четвертый
X и Y символы	х<0 , у < 0
Основной важность аргумент
Аргумент
Примеры

Расположение числа z : Положительная действительная полуось Нарисуйте х и у : х > 0, у = 0 Основное значение аргумента: 0 Аргумент: φ = 2kπ Примеры:

Расположение числа z : Первый квадрант Нарисуйте х и у : х > 0, у > 0 Основное значение аргумента: Аргумент: Примеры:

Расположение числа z : Положительная мнимая ось Нарисуйте х и у : х = 0, у > 0 Основное значение аргумента: Аргумент: Примеры:

Расположение числа z : Второй квадрант Нарисуйте х и у : х < 0 , у > 0 Основное значение аргумента: Аргумент: Примеры:

Расположение числа z : Отрицательная действительная полуось Нарисуйте х и у : х < 0 , у = 0 Основное значение аргумента: π Аргумент: φ = π + 2kπ Примеры:

Расположение числа z : Третий квадрант Нарисуйте х и у : х < 0 , у < 0 Основное значение аргумента: Аргумент: Примеры:

Расположение числа z : Отрицательная мнимая ось Нарисуйте х и у : х = 0, у < 0 Основное значение аргумента: Аргумент: Примеры:

Расположение числа z : Четвертый квадрант Нарисуйте х и у : х < 0 , у < 0 Основное значение аргумента: Аргумент: Примеры:

Тригонометрическая форма записи комплексного числа

Из формулы (3) следует, что любое ненулевое комплексное число z = x + iy можно записать в виде

z = r (cos φ + i sin φ) ,

(5)

где r и φ — соответственно модуль и аргумент этого числа, причем модуль удовлетворяет неравенству r > 0 .

запись комплексного числа в виде (5) называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа

В курсе «Теория функций комплексного переменного», который студенты изучают в высших учебных заведениях, доказывается важная формула, называемая формулой Эйлера:

потому что φ + я грех φ знак равно е iφ .

(6)

Из формулы Эйлера (6) и тригонометрической формы комплексного числа (5) следует, что любое ненулевое комплексное число z = x + iy можно записать в виде

z = re iφ ,

(7)

где r и φ — соответственно модуль и аргумент этого числа, причем модуль удовлетворяет неравенству r > 0 .

запись комплексного числа в виде (7) называется экспоненциальной (экспоненциальной) формой записи комплексного числа.

Формула (7), в частности, подразумевает следующие подобия:

а из формул (4) и (6) следует, что модуль комплексного числа

cos φ + i sin φ,

или, что то же самое, числа e iφ при любом значении φ, равном 1.

Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме

Показательная запись комплексного числа очень удобна для выполнения умножения, деления и возведения комплексных чисел в натуральную степень.

На самом деле умножение и деление двух произвольных комплексных чисел, записанных в показательной форме, осуществляется по формулам

При умножении комплексных чисел перемножаются их модули и складываются аргументы.

Когда вы делите два комплексных числа, модуль их частного равен частному их модулей, а аргумент частного равен разности между аргументами делимого и делителя.

возведение комплексного числа z = re iφ в натуральную степень осуществляется по формуле

Другими словами, когда комплексное число возводится в натуральную степень, модуль числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

Позвольте быть любым комплексным числом, отличным от нуля.

Корень n-й степени из числа z0 , где называется такое комплексное число z = re iφ, которое является решением уравнения

zn = z0 .

(8)

Для решения уравнения (8) перепишем его в виде

и заметим, что два комплексных числа, записанных в экспоненциальной форме, равны тогда и только тогда, когда равны их абсолютные значения и разница между их аргументами равна 2kπ, где k — произвольное целое число. По этой причине равенства

что приводит к сходству

(9)

Из формул (9) следует, что уравнение (8) имеет n различных корней

(10)

где

кроме того, на комплексной плоскости концы радиус-векторов zk при k = 0, .., n – 1 расположены в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат.

Комментарий. В случае n = 2 уравнение (8) имеет два разных корня z1 и z2, отличающихся знаком:

z2 = -z1 .

Пример 1. Найти все корни уравнения

z3 = – 8i .

Решение. Потому что

то по формуле (10) получаем:

Поэтому,

Пример 2. Решить уравнение

z2 + 2z + 2 = 0 .

Решение. Поскольку дискриминант этого квадратного уравнения отрицателен, оно не имеет действительных корней. Для нахождения комплексных корней выбираем, как и в реальном случае, полный квадрат:

Потому что

то решения уравнения имеют вид

z1 = – 1 + i, z2 = – 1 – i .

Примеры комплексных чисел

• 4+3i — действительная часть = 4, мнимая = 3
• -2+i — действительная часть = -2, мнимая = 1
• i — действительная часть = 0, мнимая = 1
• -i — действительная часть = 0, мнимая = -1
• 10 — действительная часть = 10, мнимая = 0

Основные действия с комплексными числами

Основные операции, определенные для комплексных чисел, — это сложение, разность, произведение и деление комплексных чисел. Операции для двух произвольных комплексных чисел (a + bi) и (c + di) определяются следующим образом:

• сложение: (а + би) + (с + ди) = (а + с) + (б + d)i
• вычитание: (a + bi) — (c + di) = (a — c) + (b — d)i
• умножение: (a + bi) (c + di) = ac + bci + adi + bdi2 = (ac — bd) + (bc + ad)i
• деление: a + bic + di = (a + bi)(c — di)c2 + d2 = (ac + bd)c2 + d2 + (bc — ad)c2 + d2i

Примеры

Найдите сумму чисел 5+7i и 5,5-2i:
Найдем суммы действительных частей и сумму мнимых частей отдельно: re = 5 + 5,5 = 10,5, im = 7 — 2 = 5.
Запишем их рядом и добавим мнимую часть i: 10,5 + 5i
Полученное число и будет ответом: 5+7i+5,5-2i=10,5+5i

Найдите разницу между числами 12-i и -2i:
Найдем отдельно разности действительных частей и разности мнимых частей: re = 12 — 0 = 12, im = -1 — (-2) = 1.
Запишем их рядом и добавим мнимую часть i: 12 + 1i
Полученное число и будет ответом: 12-i — (-2i) = 12 + i

Найдите произведение чисел 2+3i и 5-7i:
Найдем действительную и мнимую части по формуле: re = 2 5 — 3 (-7) = 31, im = 3 5 + 2 (-7) = 1.
Запишем их рядом и добавим мнимую часть i: 31 + 1i
Полученное число и будет ответом: 2+3i * (5-7i) = 31 + i

Найдите соотношение между числами 75-50i и 3+4i:
Найдем действительную и мнимую части по формуле: re = (75 3 — 50 4) / 25 = 1, im = (-50 3 — 75 4) / 25 = -18.
Запишем их рядом, добавляя мнимую часть i: 1 — 18i
Полученное число и будет ответом: 75-50i / (3 + 4i) = 1 — 18i

Другие действия над комплексными числами

Помимо основных операций сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел, существуют также различные математические функции. Рассмотрим некоторые из них:

• Получить действительную часть числа: Re(z) = a
• Получить мнимую часть числа: Im(z) = b
• Числовой модуль: |z| = √(a2 + b2)
• Числовой аргумент: arg z = arctg(b / a)
• Показатель степени: ez = ea cos(b) + i ea sin(b)
• Логарифм: Ln(z) = ln |z| + в аргументе (z)
• Тригонометрические функции: sin z, cos z, tg z, ctg z
• Гиперболические функции: sh z, ch z, th z, cth z
• Обратные тригонометрические функции: arcsin z, arccos z, arctg z, arcctg z
• Обратные гиперболические функции: arsh z, arc z, arth z, arcth z

Примеры

Найдите действительную и мнимую части числа z, а также его модуль, если z = 4 — 3i
Re(z) = Re(4 — 3i) = 4
Im(z) = Im(4 — 3i) = -3
|г| = √(42 + (-3)2) = √25 = 5

Формы представления комплексных чисел

Комплексные числа обычно представляются в одной из следующих трех форм: алгебраической, тригонометрической и экспоненциальной.

• Алгебраическая форма — наиболее часто используемая форма комплексного числа, записывающая число как сумму действительной и мнимой частей: x + iy, где x — действительная часть, а y — мнимая часть
• Тригонометрическая форма — это запись вида r (cos φ + isin φ), где r — модуль комплексного числа (r = |z|), а φ — аргумент этого числа (φ = arg(z))
• Экспоненциальная форма — это обозначение вида r eiφ, где r — модуль комплексного числа (r = |z|), e — число Эйлера, а φ — аргумент комплексного числа (φ = arg(z))

Пример:

Преобразуйте число 1+i в тригонометрическую и экспоненциальную формы:

Решение:

• Найдите радиус (модуль) комплексного числа r: r = √(12 + 12) = √2
• Найдите числовой аргумент: φ = arctan(11) = π4 = 45°
• Запишем результат в тригонометрической форме: √2 (cos(45°) + isin(45°))
• Запишем результат в экспоненциальной форме: √2 eπi/4

Примеры решения задач

Задание 1

Даны комплексные числа, которые необходимо записать в тригонометрической форме:

г=1-я.

Решение

Комплексное число z=1-i имеет действительную часть:

х=рез=1

Также запишем мнимую часть комплексного числа:

y=Im z=-1.

Вы можете представить комплексное число в тригонометрической форме с известным модулем и аргументом. Прежде всего определим, чему равен модуль рассматриваемого числа z:

г=х2+у2=12+(-1)2=2

Далее вычисляем модуль комплексного числа:

φ=argz=arctg yx=arctg -11=arctg (-1)=-π4

В результате тригонометрическая форма комплексного числа z будет иметь следующий вид:

z=2cos-π4+isin-π4

Ответ: z=2cos-π4+isin-π4.

Задача 2

Дан комплексный номер:

г=3-25я

Необходимо вычислить, чему равен модуль z.

Решение

Комплексное число z=3-25i имеет следующую действительную часть:

х=рез=3

Запишем также мнимую часть, которую имеет комплексное число z:

y=Im z=-25

По уже известной формуле определяем модуль этого числа:

г=х2+у2=32+(-25)2=634

Ответ: г=634.

Задача 3

Есть пара комплексных чисел:

z1=1-я

z2=25i

Необходимо определить, чему равно произведение модулей этих чисел.

Решение

Вычислим модуль первого комплексного числа z1=1-i. Мы получаем:

г1=12+(-1)2=2

Вычислим модуль второго комплексного числа z2=25i. Мы получаем:

г2=02+252=25

Умножаем полученные модули:

r1 r2=252

Ответ: r1 r2=252.

Задача 4

Записывается пара комплексных чисел:

z1=2cos-π2+isin-π2

z2=2cosπ4 +isinπ4

Необходимо вычислить, чему равно произведение этих чисел.

Решение

Воспользуемся правилом умножения комплексных чисел и проведем вычисления:

z1 z2=r1 r2(cos(φ1+φ2)+isin(φ1+φ2))=2 2cos-π2+π4+isin-π2+π4=2cos-π4+isin-π4

Ответ: z1 z2=2cos-π4+isin-π4