Конус

Определение конуса

Далее мы рассмотрим самый распространенный тип конуса – прямой круговой. Другие возможные варианты рисунка перечислены в последней части публикации.

Итак, прямой круговой конус – это объемная геометрическая фигура, полученная вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов, который в данном случае будет осью фигуры. В связи с этим такой конус иногда называют конусом вращения.

Конус на рисунке выше получается в результате вращения прямоугольного треугольника ACD (или BCD) вокруг катета CD.

Элементы конуса

Определение. Вершиной конуса является точка (К), из которой выходят лучи. Определение. Основание конуса — это плоскость, образованная пересечением плоской поверхности и всех лучей, исходящих из вершины конуса. У конуса могут быть такие основания, как окружность, эллипс, гипербола и парабола. Определение Образующая конуса (L) — это любой отрезок, соединяющий вершину конуса с границей основания конуса. Образующая — это отрезок луча, выходящего из вершины конуса):

Л 2 = Р 2 + Н 2

Определение. Направляющая конуса – это кривая, описывающая контур основания конуса. Определение. Боковая поверхность конуса есть сумма всех образующих конуса. То есть поверхность, образованная движением образующей по направляющей конуса Определение Поверхность конуса состоит из боковой поверхности и основания конуса Определение Высота конуса (Н) – это отрезок, выходящий из вершине конуса и перпендикулярна основанию. Определение. Ось конуса (а) представляет собой прямую линию, проходящую через вершину конуса и центр основания конуса. Определение конусности (С) конуса – это отношение диаметра основания конуса к его высоте. В случае усеченного конуса это отношение разности диаметров сечений D и d усеченного конуса и расстояния между ними:

С =	Д	и С =	Д — д
ЧАС	час

где C — конусность, D — диаметр основания, d — диаметр меньшего основания, h — расстояние между основаниями.
Конусность характеризует остроту конуса, то есть угол наклона образующей к основанию конуса. Чем больше конусность, тем острее будет угол наклона угла конусности α:

α = 2 угл	Р
ЧАС

где R — радиус основания, H — высота конуса.
Определение: осевым сечением конуса называется сечение конуса плоскостью, проходящей через ось конуса. Такое сечение образует равнобедренный треугольник, где стороны образованы образующими, а основание треугольника является диаметром основания конуса.
Определение: Касательной плоскостью к конусу называется плоскость, проходящая через образующую конуса и перпендикулярная осевому сечению конуса. Конус, покоящийся на окружности, эллипсе, гиперболе или параболе, называется круговым, эллиптическим, гиперболическим или параболическим конусом соответственно (последние два имеют бесконечный объем).
Определение: Прямой конус — это конус, ось которого перпендикулярна основанию. У такого конуса ось совпадает с высотой, а все образующие равны между собой Формула Объем круглого конуса:

В =	1	πHR2
3

где R — радиус основания, а H — высота конуса. Формула. Площадь боковой поверхности (Sb) прямого конуса через радиус R и длину образующей L:

Sb=πRL

Формула. Суммарная площадь поверхности (Sp) прямого кругового конуса по радиусу R и длине образующей L:

Sp = πRL + πR2

Определение: Наклонный (наклонный) конус – это конус, ось которого не перпендикулярна основанию. У такого конуса ось не совпадает с высотой Формула Объем любого конуса:

В =	1	Ш
3

где S — площадь основания, а H — высота конуса.
Определение. Усеченный конус — это часть конуса, расположенная между основанием конуса и плоскостью сечения, параллельной основанию. Формула. Объем усеченного конуса:

В =	1	(S2H-S1h)
3

где S1 и S2 — площади меньшего и большего основания соответственно, а H и h — расстояние от вершины конуса до центра нижнего и верхнего основания соответственно.

Читайте также: Сравнение десятичных дробей — как правильно?

Плоские сечения конуса

Сечения конуса в координатных плоскостях представляют собой пары пересекающихся прямых, удовлетворяющих уравнениям (для) или (для) соответственно в этих плоскостях.

Теперь рассмотрим сечение конуса плоскостью, параллельной плоскости. Подставив , где – произвольная константа (параметр), в уравнение (4.50), получим

Этому уравнению удовлетворяет одна вещественная точка — начало координат. При любом ненулевом значении параметра уравнение определяет эллипс с полуосями. Следовательно, часть конуса на плоскости представляет собой эллипс, центр которого лежит на оси приложения, а вершины принадлежат координатным плоскостям.

Таким образом, конус можно представить как поверхность, образованную эллипсами, центры которых лежат на оси приложения, а вершины принадлежат координатным плоскостям.

Виды конусов

1. Правый конус — имеет симметричное основание. Ортогональная проекция вершины этой фигуры на плоскость основания совпадает с центром этого основания.
2. Косой (наклонный) конус — ортогональная проекция вершины фигуры на основание не совпадает с центром этого основания.
3. Усеченный конус (конический слой) — часть конуса, остающаяся между основанием и секущей плоскостью, параллельной этому основанию.
4. Круглый конус – основание фигуры – круг. Различают также: эллиптические, параболические и гиперболические конусы.
5. Равносторонний конус – это прямой конус, образующая которого равна диаметру основания.

Уравнение конуса

1. Уравнение прямого кругового конуса в декартовой системе координат с координатами (x, y, z):

х2	+	у2	—	z2	= 0
а2	а2	с2

2. Уравнение прямого эллиптического конуса в декартовой системе координат с координатами (x, y, z):

х2	+	у2	=	z2
а2	би 2	с2

Основные свойства кругового конуса

1. Все образующие прямого кругового конуса равны между собой.2. При вращении прямоугольного треугольника вокруг ножки на 360° образуется прямоугольный круговой конус.3. При повороте равнобедренного треугольника вокруг своей оси на 180° образуется прямоугольный круговой конус.4. На пересечении конуса с плоскостью, параллельной основанию конуса, образуется окружность. (см усеченный конус)

5. Если плоскость в точке пересечения не параллельна основанию конуса и не пересекает дно, то в точке пересечения образуется эллипс (рис. 3).6. Если плоскость сечения проходит через основание, то в точке пересечения образуется парабола (рис. 4).7. Если плоскость сечения проходит через вершину, в точке пересечения образуется равнобедренный треугольник (см. Осевое сечение). Центр тяжести любого конуса находится на четверти высоты от центра основания.

Осевое сечение конуса и его площадь

Чтобы записать формулу площади осевого сечения конуса, необходимо сначала ознакомиться с самим сечением. Получается так: нужно взять секущую плоскость, расположить ее параллельно оси конуса. Затем необходимо разрезать конус плоскостью на две одинаковые части так, чтобы вершина фигуры попала в плоскость сечения.

Нетрудно представить, что в результате описанной операции получится равнобедренный треугольник. Равные стороны треугольника будут такими же, как длины образующих. А третья сторона будет равна диаметру основания.

Формула площади осевой части конуса (см рисунок выше) не сложна. Ему соответствует формула вычисления этого значения для описанного треугольника. Так как площадь треугольника равна произведению основания на высоту, которое нужно разделить пополам, то искомое равенство для осевого сечения будет иметь вид:

S = ч * г

Эта формула утверждает, что S в два раза больше площади прямоугольного треугольника, вращение которого было достигнуто конусом.

Усеченный конус и его осевое сечение

Усеченный конус получается из правильного конуса с помощью секущей плоскости, параллельной основанию. Получившаяся фигура под плоскостью будет усеченным конусом. Это показано на картинке.

Помимо боковой поверхности, эта фигура состоит из двух оснований, которые представляют собой большой и малый круги. Обозначим их радиусы как r1 и r2. Расстояние между основаниями называется высотой и обозначается буквой h.

Осевое сечение рассматриваемого конуса будет квадратом, две стороны которого являются образующими. А две другие стороны будут параллельны друг другу и равны 2*r1 и 2*r2 соответственно. Этот квадрат будет равнобедренной трапецией, как показано на рисунке ниже.

Этот факт позволяет использовать выражение для трапеции для записи формулы площади поперечного сечения усеченного осевого конуса. Он будет иметь вид:

S = (2*r1 + 2*r2)/2*h = h*(r1 + r2)

То есть площадь S равна произведению суммы радиусов оснований усеченного конуса на его высоту.

Для решения геометрических задач также может понадобиться формула связи между образующей фигуры и ее параметрами r1, r2 и h. Соответствующее выражение будет иметь вид:

g2 = h2+ (r1 — r2)2

Его довольно легко получить самостоятельно, если рассмотреть прямоугольный треугольник внутри конуса, построенный на сторонах g, h и (r1 — r2).

Задача на определение площади сечения осевого конуса усеченного

Покажем, как найти площадь осевого сечения на примере усеченного конуса.

Известно, что высота этой фигуры равна 10 см. Известно также, что для конуса с осевым сечением площадь равна разности площадей оснований. Зная, что диаметр оснований отличается ровно в два раза, необходимо найти площадь этой части по оси.

В зависимости от состояния задачи можно записать два уравнения:

г1 = 2*г2;

h*(r1 + r2) = pi*(r12 — r22)

Значение высоты известно из условия. Таким образом, у нас есть 2 сходства и 2 неизвестных. Решим эту систему:

h*(2*r2 + r2) = pi*((2*r2) 2 — r22) =>

3*pi*r22 — 3*t*r2 = 0

Мы получили неполное квадратное уравнение, которое необходимо решить относительно переменной r2. У уравнения 2 корня, но решение r2 = 0 не является физическим, поэтому мы просто запишем одно значение для малого радиуса:

г2 = ч/пи

Тогда большой радиус r1 будет равен:

г1 = 2*ч/пи

Подставив эти равенства в формулу площади осевой части конуса, получим:

S = h*(rl + r2) = 3*h2/pi

Подставляем числовое значение h и записываем ответ: S ≈ 95,54 см2.

Объем, площади боковой и полной поверхностей конуса и усеченного конуса

Введем следующие обозначения

В	объем конуса (объем усеченного конуса)
Страница	боковая поверхность конуса (площадь боковой поверхности усеченного конуса)
Полный	общая площадь поверхности конуса (полная поверхность усеченного конуса)
Сосн	базовая поверхность конуса
Дополнительная база	площадь верхнего основания усеченного конуса
Медленнее основной	площадь нижнего основания усеченного конуса

В объем конуса (объем усеченного конуса)

Страница боковая поверхность конуса (площадь боковой поверхности усеченного конуса)

Полный общая площадь поверхности конуса (полная поверхность усеченного конуса)

Сосн базовая поверхность конуса

Дополнительная база площадь верхнего основания усеченного конуса

Медленнее основной площадь нижнего основания усеченного конуса

Тогда справедливы следующие формулы для расчета объема, площади боковой и всей поверхности конуса, а также формулы для расчета объема, площади боковой и всей поверхности усеченного конуса.

Фигура	Рисунок	Формулы для объема, боковой и полной площади поверхности
Конус		Sприм = πr2, Sсайд = прл, Сумма = πr2 + πrl, где r — радиус основания конуса, l — длина образующей конуса, h – высота конуса.
Расстроенный		Сторона = π (r + r1)l , где h – высота усеченного конуса, r – радиус нижнего основания усеченного конуса, r1 — радиус верхнего основания усеченного конуса, l — длина образующей усеченного конуса.

Конус

Формулы для объема, боковой и полной площади поверхности: Sприм = πr2, Sсайд = прл, Сумма = πr2 + πrl, где r — радиус основания конуса, l — длина образующей конуса, h – высота конуса.

Расстроенный

Формулы для объема, боковой и полной площади поверхности: , Сторона = π (r + r1)l , где h – высота усеченного конуса, r – радиус нижнего основания усеченного конуса, r1 — радиус верхнего основания усеченного конуса, l — длина образующей усеченного конуса.

Примечание 3. Формула расчета объема конуса

можно получить из формулы объема правильной n-углеродной пирамиды

дойдя до предела, когда число сторон правильной пирамиды n возрастает до бесконечности. Однако доказательство этого выходит за рамки школьной программы.

Примечание 4. Формула расчета объема усеченного конуса

можно получить из формулы объема правильной усеченной n-углеродной пирамиды

переходя к пределу, когда число сторон правильной усеченной пирамиды n возрастает до бесконечности. Однако доказательство этого выходит за рамки школьной программы.

Круговой конус

Для всех частей конуса после плоскости становятся кругами. Такой конус является фигурой вращения и называется прямым круговым конусом. Это может быть достигнуто в результате вращения, например, прямой линии (образующей) вокруг соответствующей оси (рис. 4.44, б).

Примечания 4.10.

1. Конус является линейчатой ​​поверхностью, так как его можно получить, передвигая прямую линию.

2. Конус, образованный асимптотами гипербол, полученных при разрезании гиперболоида плоскостью, проходящей через ось, называется асимптотическим конусом этого гиперболоида. На рис. 4.44в показан асимптотический конус для гиперболоидов с одной и двумя пластинами.

3. Конус (4.50) может быть получен из прямого кругового конуса (для которого) в результате двух сжатий (растяжений) к координатным плоскостям и .

4. Начало канонической системы координат — центр симметрии конуса, координатные оси — оси симметрии конуса, координатные плоскости — плоскости симметрии конуса.

Действительно, если точка принадлежит конусу, то точки с координатами при любом выборе знака также принадлежат конусу, так как их координаты удовлетворяют уравнению (4.50).

5. Рассмотрим сечение прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через вершину, например плоскостью , где — произвольная постоянная (параметр) — наклон прямой на плоскости. Отметим, что образующие рассматриваемого конуса на плоскости описываются уравнением с наклоном. Подставляя в уравнение конуса, получаем

Это уравнение проекции на координатную плоскость линии пересечения плоскости и конуса. Вычислительные инварианты

Когда у нас есть. По таблице 3.2 определяем, что рассматриваемое сечение, пересекающее все образующие прямого кругового конуса, является эллипсом. Когда у нас есть. По таблице 3.2 определяем, что рассматриваемое сечение, параллельное двум образующим кругового конуса, является гиперболой. Когда у нас есть. По таблице 3.2 определяем, что рассматриваемое сечение, параллельное одной образующей кругового конуса, является параболой. Так как тип прямых не меняется при аффинных преобразованиях, такой же вывод можно сделать и для произвольного конуса (4.50):

— сечение конуса плоскостью, пересекающей все его образующие, представляет собой эллипс (рис. 4.45, а);

— сечение конуса плоскостью, параллельной двум его образующим, является гиперболой (рис. 4.45, б);

— сечение конуса плоскостью, параллельной одной из его образующих, является параболой (рис. 4.45, в).

6. Конические сечения можно принять как эквивалентные определения эллипса, гиперболы, параболы.