Координаты середины отрезка — как найти?

Что такое отрезок

Отучите эту тему досконально, начнем с самого простого: с определения кроя.

Отрезок – это прямая, имеющая начало и конец, или прямая, соединяющая две произвольные точки, не совпадающие между собой.

Отрезок называется заглавными буквами латинского алфавита по названию конечных точек. При этом буквы можно расположить в любом порядке: АВ и ВА — равнозначные варианты. Посмотрите на иллюстрацию, сосчитайте и назовите все сегменты.

Обозначение отрезков

Отрезки отмечаются с помощью его конечных точек. Отрезок на рисунке 1 обозначается как: AB или BA. Последовательность имен конечных букв не имеет значения.

Сравнение отрезков

Для компании отрезков недвижимости:

• Возьмите любую прямую и отметьте на ней точку.
• Поместите оба отрезка от отмеченной точки прямо на одну и ту же сторону.

Если два других конца совпадают, то отрезки равны. Если конец одного отрезка находится внутри другого, то длина первого отрезка меньше второго.

Пусть даны два отрезка AB и CD (Рис.2). Требуется счетети отрезки, т.е определить, какой из них больше. Отложим эти отрезки на прямой а. Как видим, точка D находится внутри отрезка АВ. Значит отрезок CD мнеше отрезка AB. Это обозначается как: CD < AB.

Читайте также: Как найти радиус описанной около треугольника abc окружности

Длина отрезка

Для определения длины отрезка необходимо сравнить его с другим отрезком, принятым за единичный размер.

В качестве единицы измерения можно взять, например, сантиметры. В этом случае для определения длины отрезка выясняют, сколько сантиметров входит в этот отрезок. Этот показатель представляет собой длину отрезка, выраженную в сантиметрах. Если длина отрезка AB ревана трем сентирам, то пишет AB=3см.

Если отрезок, принятый за единицу измерения, не укладывается целое число раз в измеряемый отрезок, его обычно делят на 10 равных частей и определяют, сколько раз одна такая часть умещается в остатке. Одна десятая сантиметра называется миллиметром. В результате получаем длину отрезка в сантиметрах и миллиметрах.

На рис. 4 в отрезке АВ 4 раза помещается 1 см, а в остальных ровно по 8 десятых сантиметра. Следовательно, вы можете написать: AB=4см 8мм или AB=4,8см.

Направленный отрезок

Если вы определяете направление для сегмента, то такой сегмент называется направленным сегментом. Направленный отрезок имеет начальную точку и конечную точку. В конечной точке направленного отрезка нарисуйте стрелку (Рис.5)

Для обозначения направленных отрезков сначала пишется начальная точка, а затем конечная точка. На рисунке 2 верхний графанный отрезок образует так: (small overrightarrow {CD} ) а нижний отрезок так: (small overrightarrow {BA.} ) Направленный отрезок на бытие вектором.

Что такое середина отрезка

Середина отрезка – это точка, равноудаленная от его концов. Иначе можно сказать так: это точка, которая делит отрезок пополам.

Так, на рисунке ниже D — медреста отрезка СК, так как СD = DK. Обратите внимание, как на чертеже отрезки равны по длине — ставим на них одинаковое количество точек.

Главный вопрос, который нас сегодня интересует, это координаты середины отрезка.

Координаты — это положение точек в пространстве.

Мы можем рассматривать отрезок, который лежит на координатной прямой, тогда координата будет единица. В Декартовой системе координат оху будет две координаты, сначала записывать х, затем у. Например: С (5; 3): К (4; 8). Мы также можем разместить отрезок в трехмерном пространстве, тогда в каждой точке будет три координаты: х, у, z.

Кажется, что чем дальше, тем сложнее, но на деле все не совсем так. Хорошая новость: в каждом случае мы будем использовать один и тот же принцип, так что вы обязательно все поймете!

Расчет координат середины отрезка

Центром называется точка, лежащая на отрезке и находящаяся на одинаковом расстоянии от его концов.

АС = СВ

Если концы отрезка A(xa,ya) и B(xb,yb) расположены в одной плоскости, то координаты его середины (точки C) вычисляются по формуле:

Если отрезок с концами A (xa, ya, za) и B (xb, yb, zb) расположен в трехмерном пространстве, координаты его середины вычисляются следующим образом:

Как найти координаты середины отрезка на координатной прямой

Проведем горизонтальную координатную линию oХ и отметим на ней две точки: М и L. Поставим ляжаю на отрезке точка А — медресту ML, MA = LA.

Определим кородинаты покутки: Хм = {2}, XL = {8}. Чтобы найти середину отрезка, используйте формулу XA=(XM+XL)/2 и получите:

ХА = (2 + 8)/2 = 5.

Проверим, верна ли формула. Для этого графическим методом определяем координаты середины отрезка Собственно: фактическая координата точки А совпадает с полученным нами значением.

Подумайте, случайно ли мы взяли эту формулу или ее можно отобразить. Да, конечно, правильный второй вариант — в математике не используют ничего непроверенного. Посмотрим, как можно доказать истинность формулы, тем более, что мы возьмем ее за основу при решении более сложных задач.

1. Точка А — это медреста отрезка, а между, MA = LA.
2. Дестания между точками можно рассчитать через разность модулей их кородинт: │ХА – ХМ│=│ХL – ХА│.
3. Преобразуем правую часть, выносим знак минуса: ХА – ХМ= — (ХА –ХL).
4. Переносим ХА в левую часть, а все остальные — в правую: 2ХА= ХL+ ХМ.
5. Найдем ХА: ХА = (ХL + ХМ)/2.

Вот мы и вывели формулу координаты середины отрезка! Чтобы лучше закрепить материал, проделаем пару заданий.

Задание 1

Определить координаты середины отрезка АВ, если ХА = –2, ХВ = 10.

Решение

Середину отрезка обозначим буквой Т. Тогда Хт = (ХА + ХВ)/2 = (–2 + 10)/2 = 4.

Ответ: Хк = {4}.

Задача 2

Определите кородины начала отрезка КМ с медрестой в восприятии Н, если Хм = 5, Хн = 10.

Решение

Сначала напишите формулу середины отрезка: Хн = (Хк + Хм)/2. Выразим Хк через нее:

Хн = (Хк + Хм)/2,2Хн = (Хк + Хм),2Хн – Хм = Хк,Хк = 2Хн – Хм = 2 * 5 – 10 = 0.

Ответ: Хк = {0}

Как найти середину отрезка на плоскости

В декартовой системе координат каждая точка имеет две координаты: по осям оХ и оУ. Изобразим отрезок АВ с кородинами А (1; 3), В (3; 6) и узел С — медрестой отрезка.

Для нахождения координат точки С воспользуемся уже известной нам формулой, но применим ее к каждой координате отдельно. Сначала рассчитаем Хс:

Хс = (ХА + ХВ)/2 = (1 + 3)/2 = 2.

Тогда УС = (УА + УВ)/2 = (3 + 6)/2 = 4,5. Значение С (2; 4,5).

Не пагайтесь, если отрезок на дереже праллелен оси оХ или оУ: мы честно идем по вредному алгормиту и ничего не меняем.

Важно заметить: если отрезок параллелен оси оУ, координаты концов и середины отрезка по оХ будут совпадать, ХА = ХС = ХВ. Если же отрезок параллелен оси оХ, совпадут кородинты по оУ: УА = УВ = УС.

И снова настало время задач. Рассмотрим несколько примеров решений.

Задача 3

В системе координат две точки: С (–6; 4) и К (2; 8). Определить координаты середины отрезка.

Решение

Обозначим медресту отрезка наблюдения О. Затем:

ХО = (ХС + ХК)/2 = (–6 + 2)/2 = –2, УО = (УС + УК)/2 = (4 + 8)/2 = 6.

Ответ: О (-2; 6).

Задача 4

Дан треугольник с вершинами АВС: А (-2; 4), В (4; 6), С (3; -5). Определите кородины почни М — медианы ВМ.

Решение

Медиана — это отрезок, проведенный из вершины треугольника и делящий противоположную сторону пополам. А значит, медиана ВМ делит на равные части сторону АС, АМ = МС. Затем:

ХМ = (ХА + ХС)/2 = (–2 + 3)/2 = 0,5, УМ = (УА + УС)/2 = (4 – 5)/2 = –0,5.

Ответ: М (0,5; –0,5).

Координаты середины отрезка в пространстве

Вспомните, чем отличается пространство от плоскости. Точно, третье измерение! В этом смысле добавляется еще одна координатная ось: оZ. Как это выглядит, можно увидеть на картинке ниже.

При этом формула нахождения середины отрезка остается неизменной. Если изобразить в трехмерном пространстве отрезок АВ с серединой в точке С, то:

ХС = (ХА + ХВ)/2,УС = (УА + УВ)/2, ZС = (ЗА + ZВ)/2.

Координаты середины отрезка через радиус-векторы его концов

В принципе, этот метод нельзя назвать чем-то новым и уникальным. Он только еще раз доказывает истинность формулы координат середины отрезков, только с помощью алгебры. Чтобы понять это, давайте сначала вспомним определение вектора.

Вектор — это направленный прямой отрезок, т е отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая — концом.

Векторы — достаточно обширная тема. Двух статей будет мало, чтобы это понять. Но сейчас мы будем устанавливать высокие тезисов компании, компьютер в теме.

1. Векторы можно изображать в системах координат оХУ и оХYZ, т.е е в двухмерном и трехмерном.
2. Координаты начала и конца векторов записываются так же, как и для отрезков: (x;y) и (x;y;z).
3. Сумма векторов может быть найдена методом треугольника или параллелограмма. Картинка ниже поможет вам запомнить, как им пользоваться.

Радиус-вектор — вектор, задающий положение точки в пространстве относительно некоторой предварительно фиксированной точки — начала координат.

Разберемся, как доказать формулу нахождения координат середины отрезка через радиус-векторы его концов. В декартовой системе координат рисуем вектор с средней точкой в ​​точке К. Кородинаты почни А (ХА; УА; ZА), К (ХК; УК; ZК), С (ХС; УС; ZС , , .

По определению среднего сечения: ОК = ½(ОС + ОА). Координаты векторов ОА, ОК, ОС соответственно равны координатам точек А, К, С, а также координатам точек О (0; 0; 0).

ОА (ХА – 0, УА – 0, ЗА – 0) = (ХА; УА; ЗА),ОК (ХК – 0, УК – 0, ЗК – 0) = (ХК; УК; ЗК,), ОС (ХС – 0, УС – 0, ЗС – 0) = (ХС; УС; ЗС).

Тогда запишем уравнение ОК = ½(ОС + ОА) через координаты:

ХК = 1/2(ХА + ХО),УК = 1/2(УА + УО),ZК = 1/2(ЗА + ЗО).

Напоследок сделаем небольшой перерыв, забудем о формулах и числах. Давайте подумаем, как найти середину отрезка, если нам неизвестны координаты его концов.

Например, нарисуем участок песчаного пляжа во время отпуска. Определить частные кородины в таких часах будет вече сложно, правда? Вряд ли вы брали с собой в отпуск набор линеек для расчета длины отрезка. С подобной задачей вы могли столкнуться и на уроках геометрии, где учитель вручал вам чистые, неразлинованные листы бумаги и просил найти середину отрезка, не используя линейку.

Сейчас мы обучим вас волшебному методу Все, что вам нужно, это циркуляр. Нарисуем на бапуре отрезок АВ любой длины. Поставим иголку циркуляции в конкуть А и начертим окружность с радиомемкостью АВ. Далее дрейтирим дерево — прочертим такуюже обстановку с вниманием к впечатлению В.

Мы видим, что окружности пересеклись дважды: снизу и сверху. Если соединить эти две точки, то эта прямая пересечет наш начальный отрезок ровно посередине.

Скептики вспомнят наш пример с пляжем и скажут: «Мы в отпуск ни строчки с собой не берем, а у нас тоже есть печатная плата!» Что вы скачиваете на это?» А ответим мы вот что: доход от курса по профильной математике в Skysmart! Там вы научитесь не только заменять настоящую циркулярку на самодельную, но и подготовитесь к экзаменам, разовьете логику и узнаете много интересного. Я жду тебя!

Определение координат середины отрезка через координаты радиус-векторов его концов

Формулу нахождения координат середины отрезка можно вывести и по алгебраической интерпретации векторов.

Исходные данные: прямоугольная декартовая система координат Oxy, точки с заданными координатами A(xA,yA) и B(xB, xB) . Точка C – местона отрезка AB.

Согласно геометрической вредности движимость по векторам верным будет регенство: OC→=12·OA→+OB→ . Точка C в указанной части – точка пересечения диагоналей параллегормы, постанного на основе векторов OA→ и OB→ , т.е точки местрены диагоналей. Проделаем некоторые операции над векторами в координатах и ​​получим:

OC→=12·OA→+OB→=xA+xB2, yA+yB2

Следовательно, точка С имеет координаты:

хА+хВ2, уА+уВ2

По аналогии определяется формула нахождения координат середины отрезка в пространстве:

С(хА+хВ2, уА+уВ2, zА+zВ2)

Примеры решения задач на нахождение координат середины отрезка

Среди задач, предполагающих использование полученных выше формул, есть такие, в которых прямым вопросом является вычисление координат середины отрезка, а также те, которые предполагают приведение к этому вопросу заданных условий: термин «медиана », целью является нахождение координат одного из концов отрезка, а также общие задачи на симметрию, решение которых в целом также не должно вызывать затруднений после изучения настоящей темы. Рассмотрим характерные примеры.

Пример 1

Исходные данные: на обороте – баллы с заданными королями А (-7,3) и В (2,4). Необходимо найти координаты середины отрезка АВ.

Решение

Обозначает медресту отрезка AB встреча C. Кородины ее будут как полусумма кородины вечные отрезка, т.е точки А и Б.

хС=хА+хВ2=-7+22=-52уС=уА+уВ2=3+42=72

Ответ: кородинты медресты отрезка АВ-52, 72.

Пример 2

Исходные данные: известные координаты треугольника АВС: А (-1,0), В (3,2), С (9,-8). Необходимо найти длину медианы АМ.

Решение

1. По задаче АМ — медиана, а М — середина отрезка ВС. В первую очередь находим координаты середины отрезка ВС, т.е точки М:

хМ=хВ+хС2=3+92=6уМ=уВ+уС2=2+(-8)2=-3

1. Поскольку теперь мы знаем координаты обоих концов медианы (точки А и М), мы можем использовать формулу для определения расстояния между точками и вычислить длину медианы АМ:

АМ=(6-(-1))2+(-3-0)2=58

Ответ: 58

Пример 3

Исходные данные: в прямоугольной системе координата трехмерного пространства задается параллелепипедом ABCDA1B1C1D1 . Задаются координаты точки C1(1, 1, 0) и определяется точка M, являющаяся серединой диагонали BD1 и имеющая координаты M (4, 2, -4) . Необходимо вычислить координаты точки А.

Решение

Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке, которая является серединой всех диагоналей. На основании этого утверждения можно иметь в виду, что известная по условиям задачи точка М является серединой отрезка АС1. Опираясь на формулу для прохождения кородины место отрезка в стравить, найдем кородины покти А: xM=xA+xC12 ⇒xA=2·xM-xC1=2·4-1+7yM=yA+yC12⇒yA=2·yM-yC1= 2·2-1=3zM=zA+zC12⇒zA=2·zM-zC1=2·(-4)-0=-8

Ответ: координаты точки А (7,3,-8).

Примеры задач

задание 1
Вычислим координаты точки С, являющейся серединой отрезка АВ, образованного точками А (5, -2) и В (11, 10).

Решение:
В этом случае нам подходят формулы для плоскостности:
хс = (5 + 11) / 2 = 8
ук = (-2 + 10) / 2 = 4

Таким образом, точка C имеет координаты (8, 4).

Задание 2
Найдите координаты точки В, являющейся одним из концов отрезка АВ. При этом известны координаты точки А (7, 13) и середины отрезка – С (4, -3).

Решение:
Нужные нам формулы можно вывести из выражений для вычисления координат середины отрезка:

хб = 2хс – ха = 2 · 4 – 7 = 1
yb = 2yc – ya = 2 · (-3) – 13 = –19

Следовательно, координаты B – (1, -19).