Координаты точки пересечения двух прямых — примеры нахождения, как найти точку пересечения прямых

Определение пересекающихся прямых

Говорят, что две прямые пересекаются, если они имеют общую точку.

Определение точки пересечения прямых

Точка пересечения линий – это точка пересечения этих линий.

Точка пересечения прямой и плоскости − теория, примеры и решения

• Содержание
• 1. Точка пересечения плоскости и прямой, заданная в канонической форме.
• 2. Пересечение плоскости и прямой, заданной в параметрическом виде.
• 3. Примеры нахождения точки пересечения прямой и плоскости.

1. Точка пересечения плоскости и прямой, заданной в каноническом виде

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат задана прямая L1:

,

(1)

и плоскость α:

α: Ax+By+Cz+D=0.

(2)

где M1(x1, y1, z1) — точка на прямой L1, q1={m1, p1, l1} — вектор направления прямой L1, а n={A,B,C} — вектор нормали плоскость а.

Найдите точку пересечения линии L1 с плоскостью α (рис.1).

Запишем уравнение (1) в виде системы двух линейных уравнений:

,

(3)

(4)

Перемножим в уравнениях (3) и (4):

p1(x−x1)=m1(y−y1)

l1(y−y1)=p1(z−z1)

Раскроем скобки и перенесем переменные в левую часть уравнений, а остальные элементы — в правую:

p1x−m1y=p1x1−m1y1,

(5)

l1y−p1z=l1y1−p1z1.

(6)

Решим систему линейных уравнений (2), (5), (6) с тремя неизвестными x, y, z. Для этого в уравнении (2) переведем свободный член в правую часть уравнения и запишем эту систему в матричном виде:

(7)

Как решить систему линейных уравнений (11) (или (2), (5), (6)) смотрите на сайте метода Гаусса или в примерах ниже. Если система линейных уравнений (7) несовместна, то прямая L1 и плоскость α не пересекаются. Если система (7) имеет множество решений, то прямая L1 лежит в плоскости α. Единственное решение системы линейных уравнений (7) указывает на то, что это решение определяет координаты точки пересечения прямой L1 и плоскости α.

Комментарий. Если прямая задана параметрическим уравнением, уравнение прямой должно быть приведено к каноническому виду и использован описанный выше метод, или

Читайте также: Область ⭐ значений функции 10 класс: алгоритм нахождения области значения функции

2. Точка пересечения плоскости и прямой, заданной в параметрическом виде.

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и задана прямая L1 в этой системе координат в параметрическом виде:

(8)

и плоскость α:

α: Ax+By+Cz+D=0.

(9)

где M1(x1, y1, z1) — точка на прямой L1, q1={m1, p1, l1} — вектор направления прямой L1, а n={A,B,C} — вектор нормали плоскость а.

Задача нахождения точки пересечения прямых L1 и плоскости α может решаться разными способами.

Способ 1. Приведем уравнения прямой L1 к каноническому виду.

Для приведения уравнения (8) к каноническому виду выразим параметрическую десятую форму остальных переменных:

(10)

Поскольку левые части уравнений (10) равны, можно написать:

(одиннадцать)

Кроме того, чтобы найти пересечение прямой и плоскости, нужно воспользоваться пунктом 1.

Способ 2. Для нахождения точки пересечения прямой L1 с плоскостью α решаем уравнения (8) и (9) совместно. Из уравнений (8) заменим x, y, z на (9):

(1. 3)

Раскроем скобки и найдем t:

(14)

Если числитель и знаменатель в уравнении (14) равны нулю, это означает, что прямая L1 лежит в плоскости α. Если числитель в уравнении (14) отличен от нуля, а знаменатель равен нулю, то прямая и плоскость параллельны.

Если числитель и знаменатель в уравнении (14) отличны от нуля, то прямая и плоскость пересекаются в одной точке. Для нахождения координат точки пересечения прямой L1 с плоскостью α подставим полученное значение t из (14) в (8).

3. Примеры нахождения точки пересечения прямой и плоскости.

Пример 1. Найдите пересечение прямой L1:

(15)

и плоскость α:

α: 7x−5y+2z+19=0.

(16)

Представим уравнение (15) в виде двух уравнений:

(17)

(18)

Произведем перекрестное умножение в уравнениях (17) и (18):

Раскроем скобки и перенесем переменные в левую часть уравнений, а остальные элементы — в правую:

Давайте упростим:

3х-у=11,

(19)

2y−3z=−22.

(20)

Для нахождения точки пересечения прямой L1 с плоскостью α необходимо совместно решить уравнения (2), (19) и (20). Для этого переведем свободный член в уравнении (2) в правую часть уравнения и построим матричное уравнение для системы линейных уравнений (2), (19) и (20):

(21)

Решим систему линейных уравнений (21) относительно x, y, z. Для решения системы составим расширенную матрицу:

Обозначим через aij элементы в i-й строке и j-м столбце.

Начальная ступень. Прямые черты Гаусса.

Исключим элементы в первом столбце матрицы ниже элемента a1 1. Для этого добавим строку 3 со строкой 1, умноженной на −7/3:

Исключим элементы во втором столбце матрицы ниже элемента a22. Для этого к строке 2 добавляем строку 3, умноженную на 4/3:

Вторая фаза. Обратный гаусс.

Исключим элементы в третьем столбце матрицы над элементом a33. Для этого прибавьте строку 2 к строке 3, умноженную на −3/2:

Исключим элементы во втором столбце матрицы над элементом a22. Для этого сложите строку 1 со строкой 2, умноженную на 1/2:

Разделим каждую строку матрицы на соответствующий старший элемент (если старший элемент существует):

Напишем решение:

Отвечать. Точка пересечения прямой L1 с плоскостью α имеет следующие координаты:

М(37/2, 89/2, 37).

Пример 2. Найдите пересечение прямой L1:

(22)

и плоскость α:

α: 6x+2y+z+7=0.

(23)

Представим уравнение (22) в виде двух уравнений:

(24)

(25)

Произведем перекрестное умножение в уравнениях (24) и (25):

Раскроем скобки и перенесем переменные в левую часть уравнений, а остальные элементы — в правую:

Давайте упростим:

−5x−y=8,

(26)

4г+5г=23.

(27)

Для нахождения точки пересечения прямой L1 с плоскостью α необходимо совместно решить уравнения (2), (26) и (27). Переведем свободный член в уравнении (2) в правую часть уравнения и построим матричное уравнение для системы линейных уравнений (2), (26) и (27):

(28)

Решим систему линейных уравнений (21) относительно x, y, z. Для этого построим расширенную матрицу:

Обозначим через aij элементы в i-й строке и j-м столбце.

Исключим элементы в первом столбце массива ниже элемента a11. Для этого сложите строку 3 со строкой 1, умноженную на 6/5:

Исключим элементы во втором столбце матрицы ниже элемента a22. Для этого добавьте строку 3 к строке 2, умноженной на −1/5:

Из расширенной матрицы восстанавливаем систему линейных уравнений:

(29)

Легко видеть, что последнее уравнение в (29) несовместно, так как не существует x, y, z, для которых выполняется это равенство. Следовательно, система линейных уравнений (2), (26) и (27) несовместна. Тогда прямая L1 и плоскость α не пересекаются, т е параллельны.

Отвечать. Прямая L1 и плоскость α параллельны, т.е не имеют общей точки.

Пример 3. Найдите пересечение прямой в параметрическом виде L1:

(тридцать)

и плоскость α:

α: 2x+y−z+11=0.

(31)

Решение. Для нахождения точки пересечения прямой L1 с плоскостью α необходимо найти значение t такое, что точка M(x, y, z) удовлетворяет уравнению (31). Поэтому подставляем значения x, y, z из (30) в (31):

2(1+2ч)+(-5-5ч)-(8-ч)+11=0.

Раскроем скобки:

2+4t−5−5t−8+t+11=0.

(32)

Упрощая уравнение, получаем:

0ч=0.

(33)

Как видим, любое значение t удовлетворяет уравнению (33), т.е любая точка на прямой L1 удовлетворяет уравнению плоскости α. Следовательно, прямая L1 лежит в плоскости α.

Отвечать. Прямая L1 лежит в плоскости α.

Нахождение координат точки пересечения двух прямых на плоскости

Прежде чем найти координаты пересечения двух прямых, необходимо рассмотреть пример ниже.

При наличии на плоскости оксисистемы координат даны две прямые а и Ь. Линия а соответствует общему уравнению вида А1х+В1у+С1=0, а линия Ь — А2х+В2у+С2=0. Тогда M0(x0, y0) — точка на плоскости, необходимо выяснить, будет ли точка M0 точкой пересечения этих прямых.

Для решения задачи необходимо следовать определению. Тогда прямые должны пересечься в точке, координаты которой являются решением данных уравнений A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0. Это означает, что во все заданные уравнения подставляются координаты точки пересечения. Если они дают правильное тождество при подстановке, M0(x0, y0) берется в качестве их точки пересечения.

Пример 1

Даны две пересекающиеся прямые 5x-2y-16=0 и 2x-5y-19=0. Будет ли точка M0 с координатами (2,-3) точкой пересечения.

Решение

Для того чтобы пересечение линий было реальным, необходимо, чтобы координаты точки M0 удовлетворяли уравнениям линий. Это подтверждается их заменой. Мы понимаем, что

5 2-2 (-3)-16=0⇔0=02 2-5 (-3)-19=0⇔0=0

Оба равенства верны, значит, M0 (2, -3) есть пересечение данных прямых.

Это решение изобразим на координатной линии на рисунке ниже.

Ответ: заданная точка с координатами (2,-3) будет точкой пересечения данных прямых.

Пример 2

Пересекутся ли прямые 5x+3y-1=0 и 7x-2y+11=0 в точке M0 (2, -3)?

Решение

Для решения задачи необходимо во все уравнения подставить координаты точки. Мы понимаем, что

5 2+3 (-3)-1=0⇔0=07 2-2 (-3)+11=0⇔31=0

Второе равенство неверно, значит, данная точка не принадлежит прямой 7x-2y+11=0. Следовательно, мы имеем, что точка M0 не является пересечением прямых.

На рисунке хорошо видно, что M0 не является пересечением линий. У них есть общая точка с координатами (-1,2).

Ответ: точка с координатами (2,-3) не является пересечением данных прямых.

Перейдем к нахождению координат точек пересечения двух прямых по заданным уравнениям плоскости.

Две пересекающиеся прямые a и b задаются уравнениями вида A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0, расположенными в Oxy. Когда мы проектируем точку пересечения M0, нам говорят продолжить поиск координат, используя уравнения A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0.

Из определения видно, что M0 является общей точкой пересечения прямых. В этом случае его координаты должны удовлетворять уравнениям A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0. Другими словами, это решение получившейся системы A1x+B1y+C1=0A2x+B2y+C2=0.

Это значит, что для нахождения координат точки пересечения необходимо сложить все уравнения системы и решить ее.

Пример 3

Даны две линии x-9y+14=0 и 5x-2y-16=0 на плоскости, вы должны найти их точку пересечения.

Решение

В системе должны быть собраны данные о состоянии уравнения, после чего получаем x-9y+14=05x-2y-16=0. Для ее решения первое уравнение решается относительно x и во второе подставляется выражение:

х-9у+14=05х-2у-16=0⇔х=9у-145х-2у-16=0⇔⇔х=9у-145 9у-14-2у-16=0⇔х=9у-1443у-86 = 0⇔⇔x=9y-14y=2⇔x=9 2-14y=2⇔x=4y=2

Полученные числа и есть координаты, которые необходимо найти.

Ответ: M0 (4, 2) — это пересечение прямых x-9y+14=0 и 5x-2y-16=0.

Поиск координат сводится к решению системы линейных уравнений. Если по условию задана другая форма уравнения, то ее следует привести к нормальной форме.

Пример 4

Определить координаты пересечения прямых x-5=y-4-3 и x=4+9·λy=2+λ, λ∈R.

Решение

Для начала необходимо привести уравнения к общему виду. Тогда получаем, что x=4+9 λy=2+λ, λ∈R преобразуется таким образом:

х=4+9 λy=2+λ⇔λ=x-49λ=y-21⇔x-49=y-21⇔⇔1 (x-4)=9 (y-2)⇔x-9y +14= 0

Затем мы приводим уравнение к каноническому виду x-5=y-4-3 и преобразовываем его. Мы понимаем, что

х-5=у-4-3⇔-3 х=-5 у-4⇔3х-5у+20=0

Таким образом, мы имеем, что координаты являются точкой пересечения

х-9у+14=03х-5у+20=0⇔х-9у=-143х-5у=-20

Воспользуемся методом Крамера, чтобы найти координаты:

∆=1-93-5=1(-5)-(-9)3=22∆x=-14-9-20-5=-14(-5)-(-9)(- 20)=- 110⇒x=∆x∆=-11022=-5∆y=1-143-20=1 (-20)-(-14) 3=22⇒y=∆y∆=2222= 1

Ответ: M0 (-5, 1).

Есть еще один способ найти координаты точки пересечения прямых, лежащих на плоскости. Он применим, когда одна из прямых задана параметрическими уравнениями вида x=x1+ax·λy=y1+ay·λ, λ∈R. Тогда x=x1+ax·λ и y=y1+ay·λ заменяются на значение x, где мы получаем λ=λ0, что соответствует точке пересечения, имеющей координаты x1+ax·λ0, y1+ay ·λ0.

Пример 5

Определить координаты пересечения прямой x=4+9·λy=2+λ, λ∈R и x-5=y-4-3.

Решение

Необходимо произвести замену в x-5=y-4-3 выражением x=4+9 λ, y=2+λ, тогда получим:

4+9 λ-5=2+λ-4-3

При решении получаем, что λ=-1. Это означает, что существует пересечение между прямыми x=4+9·λy=2+λ, λ∈R и x-5=y-4-3. Для вычисления координат необходимо подставить выражение λ=-1 в параметрическое уравнение. Тогда мы получаем, что x=4+9 (-1)y=2+(-1)⇔x=-5y=1.

Ответ: M0 (-5, 1).

Чтобы полностью разобраться в теме, нужно знать некоторые нюансы.

Для начала нужно понять расположение линий. Когда они пересекаются, мы находим координаты, в остальных случаях решения нет. Чтобы избежать этой проверки, мы можем составить систему вида A1x+B1y+C1=0A2x+B2+C2=0. Если решение существует, мы заключаем, что прямые пересекаются. Если решения не существует, они параллельны. Когда система имеет бесконечное число решений, говорят, что они одинаковы.

Пример 6

Даны строки x3+y-4=1 и y=43x-4. Выяснить, имеют ли они общую точку.

Решение

Упрощая данные уравнения, мы получаем 13x-14y-1=0 и 43x-y-4=0.

Необходимо собрать уравнения в систему для последующего решения:

13x-14y-1=013x-y-4=0⇔13x-14y=143x-y=4

Это показывает, что уравнения выражаются друг через друга, тогда мы получаем бесконечное количество решений. Тогда уравнения x3+y-4=1 и y=43x-4 определяют одну и ту же прямую. Поэтому пересечений нет.

Ответ: данные уравнения определяют одну и ту же прямую.

Пример 7

Найдите координаты точки пересечения прямых 2x+(2-3)y+7=0 и 23+2x-7y-1=0.

Решение

По условию возможно, что линии не будут пересекаться. Напишите систему уравнений и решите. Для решения необходимо использовать метод Гаусса, так как с его помощью можно проверить уравнение на совместность. Получаем систему вида:

2x+(2-3)y+7=02(3+2)x-7y-1=0⇔2x+(2-3)y=-72(3+2)x-7y=1⇔⇔2x+2- 3y=-72(3+2)x-7y+(2x+(2-3)y)(-(3+2))=1+-7(-(3+2))⇔⇔2x+(2-3) у=-70=22-72

Мы получили неверное равенство, поэтому система не имеет решений. Делаем вывод, что прямые параллельны. Перекрестков нет.

Второе решение.

Для начала нужно определить наличие пересечения линий.

n1→=(2, 2-3) — вектор нормали прямой 2x+(2-3)y+7=0, то вектор n2→=(2(3+2), -7 — вектор нормали строка 23+2x- 7y -1=0.

Необходимо проверить коллинеарность векторов n1→=(2, 2-3) и n2→=(2(3+2),-7). Получаем равенство вида 22(3+2)=2-3-7. Это правильно, потому что 223+2-2-3-7=7+2-3(3+2)7(3+2)=7-77(3+2)=0. Отсюда следует, что векторы коллинеарны. Это означает, что прямые параллельны и не имеют пересечений.

Ответ: точек пересечения нет, прямые параллельны.

Пример 8

Найдите координаты пересечения данных прямых 2x-1=0 и y=54x-2.

Решение

Для ее решения составим систему уравнений. Мы получаем

2x-1=054x-y-2=0⇔2x=154x-y=2

Найдите определитель главной матрицы. Для этого 2054-1=2 (-1)-0 54=-2. Так как оно не равно нулю, система имеет 1 решение. Отсюда следует, что прямые пересекаются. Решим систему для нахождения координат точек пересечения:

2x=154x-y=2⇔x=1245x-y=2⇔x=1254 12-y=2⇔x=12y=-118

Мы нашли, что точка пересечения данных прямых имеет координаты M0(12, -118).

Ответ: M0(12, -118).

Нахождения координат точки пересечения двух прямых в пространстве

Таким же образом находятся точки пересечения линий пространства.

Когда линии a и bi координатной плоскости Oxyz заданы уравнениями пересекающихся плоскостей, то существует линия a , которую можно определить по заданной системе A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D1 = 0 и строка b — A3x+ B3y+C3z+D3=0A4x+B4y+C4z+D4=0.

Когда точка M0 является пересечением прямых, ее координаты должны быть решениями обоих уравнений. Получаем линейные уравнения в системе:

A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0A3x+B3y+C3z+D3=0A4x+B4y+C4z+D4=0

Рассмотрим такие задачи на примерах.

Пример 9

Найти координаты точки пересечения данных прямых x-1=0y+2z+3=0 и 3x+2y+3=04x-2z-4=0

Решение

Составим систему x-1=0y+2z+3=03x+2y+3=04x-2z-4=0 и решим ее. Чтобы найти координаты, надо решить через матрицу. Тогда мы получим основную матрицу вида A=10001232040-2 и расширенную T=1001012-340-24. Определим ранг матрицы по Гауссу.

Мы понимаем, что

1=1≠0, 1001=1≠0, 100012320=-4≠0, 1001012-3320-340-24=0

Отсюда следует, что ранг расширенной матрицы равен 3. Тогда система уравнений x-1=0y+2z+3=03x+2y+3=04x-27-4=0 дает только одно решение.

Минор базиса имеет определитель 100012320=-4≠0, тогда последнее уравнение не подходит. Получаем, что x-1=0y+2z+3=03x+2y+3=04x-2z-4=0⇔x=1y+2z=-33x+2y-3 . Решение системы x=1y+2z=-33x+2y=-3⇔x=1y+2z=-33 1+2y=-3⇔x=1y+2z=-3y=-3⇔⇔x=1-3 + 2z =-3y=-3⇔x=1z=0y=-3.

Итак, мы имеем, что пересечение x-1=0y+2z+3=0 и 3x+2y+3=04x-2z-4=0 имеет координаты (1, -3, 0).

Ответ: (1, -3, 0).

Система вида A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0A3x+B3y+C3z+D3=0A4x+B4y+C4z+D4=0 имеет только одно решение. Итак, прямые а и b пересекаются.

В остальных случаях уравнение не имеет решения, то есть общих точек тоже нет. То есть найти точку с координатами невозможно, так как ее не существует.

Таким образом, методом Гаусса решается система вида A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0A3x+B3y+C3z+D3=0A4x+B4y+C4z+D4=0. При его несовместимости линии не пересекаются. Если существует бесконечное число решений, то они сходятся.

Вы можете принять решение, вычислив главный и увеличенный ранг матрицы, а затем используя теорему Кронекера-Капелли. Получаем одно, много или полное отсутствие решений.

Пример 10

Даны уравнения для линий x+2y-3z-4=02x-y+5=0 и x-3z=03x-2y+2z-1=0. Найдите точку пересечения.

Решение

Сначала составим систему уравнений. Получаем, что x+2y-3z-4=02x-y+5=0x-3z=03x-2y+2z-1=0 . Решаем ее методом Гаусса:

12-342-10-510-303-221~12-340-56-130-20-40-811-11~~12-340-56-1300-125650075-1595~12-340-56-151510001

Система заведомо не имеет решений, а значит, прямые не пересекаются. Перекрестка нет.

Ответ: пересечения нет.

Если линии заданы с помощью конических или параметрических уравнений, то необходимо привести их к виду уравнений пересекающихся плоскостей, а затем найти координаты.

Пример 11

Даны две строки x=-3-λy=-3 λz=-2+3 λ, λ∈R и x2=y-30=z5 в Oxyz. Найдите точку пересечения.

Решение

Задаем прямые уравнениями двух пересекающихся плоскостей. Мы понимаем, что

x=-3-λy=-3 λz=-2+3 λ⇔λ=x+3-1λ=y-3λ=z+23⇔x+3-1=y-3=z+23⇔⇔ x+ 3 -1=y-3x+3-1=z+23⇔3x-y+9=03x+z+11=0x2=y-30=z5⇔y-3=0x2=z5⇔y-3= 05x- 2z =0

Находим координаты 3x-y+9=03x+z+11=0y-3=05x-2z=0, для этого вычисляем строки матрицы. Ранг матрицы равен 3, а фундаментальный минор равен 3-10301010=-3≠0, значит, последнее уравнение необходимо исключить из системы. Мы понимаем, что

3x-y+9=03x+z+11=0y-3=05x-2z=0⇔3x-y+9=03x+z+11=0y-3=0

Решим систему методом Крамера. Получаем, что x=-2y=3z=-5. Отсюда получаем, что пересечение заданных прямых дает точку с координатами (-2, 3, -5).

Ответ: (-2, 3, -5).

Принадлежность точки отрезку

В общем случае для определения принадлежности точки отрезку необходимо определить две вещи:

1. Точка принадлежит линии, проходящей через конечные точки отрезка. Для этого просто подставьте значение X и Y в уравнение прямой и проверьте полученное равенство. В нашем случае эта запись уже завершена, потому что точка пересечения априори принадлежит обеим линиям.
2. Проверяем, чтобы найти точку между концами отрезка.

Рассмотрим пункт 2. Этот факт можно установить двумя способами:

• Логически т.е. (x1 <= x <= x2) ИЛИ (x1 >= x >= x2). В случае «вертикальной» строки добавьте галочку для Y:
  • (y1 <= y <= y2) ИЛИ (y1 >= y >= y2).
• Арифметика. Сумма отрезков |x-x1| + |х-х2| должен быть равен длине отрезка |x1-x2|. Аналогично, в случае «вертикальности» добавляем галочку:
  • |у-у1| + |у-у2| = |у1-у2|

Практика показывает, что расчетный метод работает примерно в 3 раза быстрее. Раньше я думал, что операции сравнения самые быстрые. Такого давно не было.

Угол пересечения прямых

Угол пересечения линий – это угол пересечения векторов направления. То есть, взяв уже известные точки p1 и p2, мы получим вектор направления V(p1,p2) и таким же образом второй вектор M(p3,p4). По идее мы будем вычислять довольно «дорогую» функцию, с корнями, квадратами, дробями и арккосинусами.

Не будем на этом останавливаться, это долго, нудно и, в нашем случае, ненужно. Рассмотрим вектор:

Рис.4. Вектор V(p1,p2)

α — угол вектора к оси X, который можно найти как:

α = арктангенс (A1 / B1)

Где расстояния:

А1 = (у1 — у2)

В1 = (х2 — х1)

Что-то знакомое? Да это не что иное, как коэффициенты уравнения прямой от образованных любителей. Возможно, они правы в своем кипящем фанатизме…

Короче говоря, у нас уже есть коэффициенты (расстояния) по обеим прямым.

Рис.5. Пересекающиеся вектор V(p1,p2) и вектор M(p3,p4)

Судя по рисунку угол между векторами это сумма углов наклона векторов к оси Х Ммм. не совсем так, на самом деле разница есть.

Рис. 6. Пересекающиеся векторы в положительном Y

На рисунке хорошо видно, что угол между векторами равен γ = (β — α).

В предыдущем примере все правильно, только знаки углов разные, т.к находятся по разные стороны от оси абсцисс, и формула работает одинаково.

От теории к практике

Теперь что касается практического применения. Мне нужно точно знать, где, где и в каком направлении этот угол. Теоретически угол между линиями считается наименьшим из пары γ и (180-γ). Так что нам это не нужно. Какой угол получится – это то, что нам нужно.

Поэтому под углом между векторами мы понимаем угол между вектором V(p1,p2) и вектором M(p3,p4). Если знак угла отрицательный, мы понимаем, что он против часовой стрелки, в противном случае — по часовой стрелке.

Следует отметить, что после того, как коэффициенты известны, координаты больше не нужны для нахождения угла пересечения. Запись:

Здесь ситуация с вертикальной чертой, т.е когда теоретически происходит деление на ноль, явно не обрабатывается. Это правильно обрабатывается функцией ArcTan2, которая в этом случае возвращает и знак, и 90 градусов.

Рис.7. Точка пересечения перпендикулярных векторов

Практика 2

В дополнение к функции поиска точки пересечения напишем «продвинутую» функцию, которая находит эту точку, определяет, находится ли она на каждом из отрезков, и определяет угол между векторами направления. Или определяет, что линии параллельны/совпадают.