Квадрат суммы и квадрат разности: формула, определение

Вычисления

Формулы сокращенного умножения

Вместо букв a, b это может быть любое число, переменная или даже целочисленное выражение. Чтобы быстро решать задачи, лучше выучить наизусть основные 7 формул сокращенного умножения (ФСУ). Да, алгебра такая, надо быть готовым многое запоминать.

Ниже представлена ​​удобная таблица, которую можно распечатать и использовать как закладку для быстрого запоминания формул.

Формулы сокращенного умножения

Читайте также: Чему равен куб суммы: формула, доказательство, пример

Как читать формулы сокращенного умножения

Научитесь произносить формулы сокращенного выражения:

  1. Разность между квадратами двух выражений равна произведению их разности на их сумму.
  2. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого плюс удвоенное произведение первого и второго плюс квадрат второго.
  3. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого минус удвоенное произведение первого и второго плюс квадрат второго.
  4. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго на неполный квадрат их разности.
  5. Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражений на неполный квадрат их суммы.
  6. Куб суммы двух выражений равен кубу первого плюс утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второй.
  7. Куб разности двух выражений равен кубу первого минус утроенное произведение квадрата первого и второго плюс утроенное произведение первого на квадрат второго минус куб второго.

Доказательство формул сокращенного умножения

Помните, что разность квадратов двух чисел a и b равна произведению их разности на их сумму: a2 — b2 = (a — b) * (a + b).

Другими словами, произведение суммы а и b на их разность равно разности их квадратов: (а — b) * (а + b) = а2 — b2.

Важно знать, что разность квадратов не равна квадрату разности: a2 — b2 ≠ (a — b)2.

Докажем, что a2 — b2 = (a — b) * (a + b).

Идти:

  1. Искусственным методом сложим и вычтем одно и то же a * b.+ а * б — а * б = 0

    а2 — Ь2 = а2 — Ь2 + аб — аб

  1. Сгруппируйте по-разному: a2 — b2 + a * b — a * b = a2 — a * b + a * b — b2
  2. Продолжим группировку: a2 — a * b — b2 + a * b = (a2 — a * b) + (a * b — b2)
  3. Вынесем общие множители за скобки:(a2 — a * b) + (a * b — b2) = a * (a — b) + b * (a — b)
  1. Вынесем за скобки (a — b) a * (a — b) + b * (a — b) = (a — b) * (a + b)
  2. Результат доказательства: a2 — b2 = (a — b) * (a + b)
  3. Чтобы доказать в обратном направлении: (a — b) * (a + b) = a2 — b2, нужно раскрыть скобки: (a — b) * (a + b) = a * a + a * b — б * а — б * б = а2 — б2.

Аналогичным методом можно доказать остальные ФСО.

Дополнительные формулы сокращенного умножения

В таблицу основных ФСО следует добавить еще несколько важных тождеств, которые будут полезны при решении задач.

Бином Ньютона

Формула разложения в отдельные члены целой неотрицательной степени суммы двух переменных. Записывается следующим образом:
напишите формулу разложения на отдельные члены целой неотрицательной степени суммы двух переменных

Пример вычисления биномиальных коэффициентов, находящихся в строке номер девять треугольника Паскаля:
Пример расчета биномиальных коэффициентов

БСС квадрата и куба суммы и разности являются частными случаями биномиальной формулы Ньютона для n = 2 и n = 3.

Формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и более слагаемых

Полезно, если в сумме больше двух членов, которые нужно возвести в степень.

(a1+a2+…+an)2 = a12 + a22 + … + an-12 + an2 + 2 * a1 * a2 + 2 * a1 * a3 + 2 * a1 * a4 + … +

+ 2 * a1 * an-1 + 2 * a1 * an + 2 * a2 * a3 + 2 * a2 * a4 +… + 2 * a2 * an-1 + 2 * a2 * an +…+

+2*ан-1*ан

Читается оно так: квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех этих слагаемых и удвоенному произведению всех возможных пар этих слагаемых.

Формула разности n-ых степеней двух слагаемых

an − bn = (a − b) * (an-1 + an-2 * b + an-3 * b2 +… + a * bn-2 + bn-1).

Для четных чисел вы можете написать это так:

a2*m − b2*m = (a2 − b2) *(a2*m−2 + a2*m−4 * b2 + a2*m−6 * b4 + … + b2*m−2).

Для нечетных показателей:

a2*m+1 − b2* m+1 = (a − b) * (a2*m + a2*m−1 * b + a2*m−2 * b2 + … + b2*m).

Частными случаями являются формулы для разности квадратов и кубов при n = 2 и n = 3. Для разности кубов b также можно заменить на −b.

Формула квадрата суммы

Квадрат суммы членов a и b равен квадрату a плюс удвоенное произведение a и b плюс квадрат b.

(а + б)2 = а2 + 2аб + б2

Выражение можно представить и в обратном порядке:

а2 + 2аб + Ь2 = (а + Ь)2

Доказательство формулы

Арифметическое

Представим формулу в виде произведения двух одинаковых скобок (другими словами, умножим выражение само на себя):
(а+б)(а+б).

Теперь раскроем скобки по правилам арифметики и получим:
(a+b)(a+b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2.

Геометрическое

Чтобы доказать формулу геометрически, начертим квадрат, который разделен двумя отрезками на четыре части таким образом, что получим:

  • два квадрата с разной длиной сторон (а или б);
  • 2 прямоугольника одинаковой длины (а) и ширины (б).

Геометрическое доказательство суммы квадратов

Площадь большого квадрата равна (а+b)2 и одновременно сумме площадей фигур, составляющих:

Кв. = (a + b)2 = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2.

Квадрат разности двух выражений

Рассмотрим фразу 128586.png
. Преобразуем это выражение в многочлен. По определению степени с натуральным показателем можно написать:

128587.png

По правилу умножения многочлена на многочлен получаем:

128588.png

Итак, мы получили личность 128589.png
, которая называется формулой квадрата разности двух выражений.

Правило:

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения.

Пример. Выразите в виде полиномиального выражения:

128590.png

Решение:

По формуле квадрата разности двух выражений получаем:

128591.png

Полученные формулы называются формулами сокращенного умножения, поскольку с помощью этих формул, не применяя правила умножения многочлена на многочлен, проще возводить в квадрат сумму или разность двух выражений.

Примеры задач

Упражнение
Чему равен квадрат суммы (2x + 4y3)2?

Решение
Воспользуемся формулой сокращенного умножения:
(2x + 4y3)2 = (2x)2 + 2 ⋅ 2x ⋅ 4y3 + (4y3)2 = 4×2 + 16xy3 + 16y6

Примечание:
Формулу можно использовать для быстрых расчетов в уме, например:

  • 632 = (60 + 3)2 = 602 + 2 ⋅ 60 ⋅ 3 + 32 = 3600 + 360 + 9 = 3969.
  • 942 = (90 + 4)2 = 902 + 2 ⋅ 90 ⋅ 4 + 42 = 8100 + 720 + 16 = 8836.

Задание 1

Что делать: вычислить квадрат произведения (55 + 10)2.

Как решить: используем формулу суммы квадратов: (55+10)2=552+2*55*10+102=3025+1100+100=4225.

Задание 2

Что делать: упростить выражение 64*с3 — 8.

Как решаем: используем разность кубов: 64*s3 — 8 = (4*s) 3 — 23 = (4*s — 2) ((4*s) 2 + 4*s * 2 + 22) = (4*с — 2) (16*с2+8*с+4).

Задание 3

Что делать: раскроем скобки (7*у — х)*(7*у+х).

Как мы решаем:

  1. Умножьте: (7 * у — х) * (7 * у + х) = 7 * у * 7 * у + 7 * у * х — х * 7 * у — х * х = 49 * у2 + 7 * у * х — 7 * у * х — х2 = 49 * у2 — х2.
  2. Воспользуемся приведенной формулой умножения: (7 * у — х) * (7 * у + х) = (7 * у)2 — х2 = 49 * у2 — х2.

Не стоит бояться многочленов, просто выполняйте каждую операцию по порядку. С формулами быстрее и удобнее решать задачи — сохраняйте шпаргалку, запоминайте и радуйте учителей 🙂

Оцените статью
Блог о Microsoft Word