Квадрат, вписанный в окружность: калькулятор

Свойства квадрата

• Длина всех сторон квадрата равна.
• Все углы квадрата прямые.
• Диагонали квадрата равны.
• Диагонали пересекаются под прямым углом.
• Диагонали квадрата являются биссектрисами угла.
• Диагонали квадрата делятся точкой пересечения пополам.

Указанные свойства показаны на рисунках ниже:

Признаки квадрата

Нарисуйте 1. Если все стороны четырехугольника равны и один из углов четырехугольника прямой, то этот четырехугольник является четырехугольником.

Доказательство. По условию, в четырехугольнике противоположные стороны равны, то этот четырехугольник является параллелограммом (признак 2 статьи Параллелограмм). В параллелограмме противоположные углы равны. Следовательно, против прямого угла лежит прямой угол. Тогда сумма оставшихся двух углов равна: 360°-90°-90°=180°, но так как они тоже противоположные углы, то они тоже равны и каждый из них равен 90°. Мы нашли, что все углы четырехугольника прямые, и согласно определению 1 этот четырехугольник является четырехугольником.

Нарисуйте 2. Если диагонали квадрата равны, перпендикулярны и точка пересечения делится пополам, то такой квадрат является квадратом (рис. 5).

Доказательство. Пусть диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке O и пусть

(10)

Так как AD и BC перпендикулярны, то есть

(одиннадцать)

Из (10) и (11) следует, что треугольники OAB, OBD, ODC, OCA равны (с учетом двух сторон и угла между ними (см статью на стр. Треугольники. Признаки равенства треугольников)). Затем

(12)

Эти треугольники также равнобедренные. Затем

(1. 3)

Из (13) следует, что

(14)

Уравнения (12) и (14) показывают, что квадрат ABCD является квадратом (определение 1).

 

Диагональ квадрата

Определение 4. Диагональ квадрата – это отрезок, соединяющий несмежные углы квадрата.

На рис. 2 показана диагональ d — отрезок, соединяющий несмежные вершины A и C. У квадрата две диагонали.

Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:

или

.

(1)

Из уравнения (1) находим d:

.

(2)

Пример 1. Сторона квадрата а=53. Найдите диагональ квадрата.

Решение. Для нахождения диагонали квадрата воспользуемся формулой (2). Подставив a=53 в (2), получим:

Отвечать:

Окружность, вписанная в квадрат

Определение 5. Окружность называется вписанной в квадрат, если все ее стороны касаются этого квадрата (рис. 3):

Формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата

На рис. 3 видно, что диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата. Следовательно, формула для вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата:

(3)

Пример 2. Сторона квадрата а=21. Найдите радиус вписанной окружности.

Решение. Для нахождения радиуса отброшенной окружности воспользуемся формулой (3). Подставив a=21 в (3), получим:

Отвечать:

Читайте также: Как перевести обыкновенную дробь в десятичную?

Формула вычисления сторон квадрата через радиус вписанной окружности

Из формулы (3) находим а. Получаем формулу вычисления стороны квадрата через радиус вписанной окружности:

(4)

Пример 3. Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен r=12. Найдите сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадрата воспользуемся формулой (4). Подставляя r=12 в (4), получаем:

Отвечать:

Окружность, описанная около квадрата

Определение 6. Окружность называется описанной близко к квадрату, если все углы квадрата лежат на этой окружности (рис. 4):

Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата

Выведем формулу для вычисления радиуса окружности, описанной вокруг квадрата через сторону квадрата.

Обозначим через а сторону квадрата, а через R радиус окружности, описанной вокруг квадрата. Проведем диагональ BD (рис.4). Треугольник ABD прямоугольный. Итак, по теореме Пифагора имеем:

или

(5)

Из формулы (5) находим R:

(6)

или умножьте числитель и знаменатель на
, мы получаем:

.

(7)

Пример 4. Сторона квадрата а=4,5. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата.

Решение. Для нахождения радиуса окружности, описанной вокруг квадрата, воспользуемся формулой (7). Подставив a=4,5 в (7), получим:

Отвечать:

Формула стороны квадрата через радиус описанной около квадрата окружности

Выведем формулу для вычисления стороны квадрата через радиус описанной вокруг квадрата окружности.

Из формулы (1) выразим ai в виде R:

.

(8)

Пример 5. Радиус описанной окружности вокруг квадрата равен
Найдите сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадрата воспользуемся формулой (8). Заменять
в (8) получаем:

Отвечать:

Периметр квадрата

Периметр квадрата — это сумма всех сторон. Окружность обозначается латинской буквой P.

Поскольку стороны квадрата равны, периметр квадрата вычисляется по формуле:

(9)

где
— сторона квадрата.

Пример 6. Сторона четырехугольника равна
. Найдите периметр квадрата.

Решение. Для нахождения периметра квадрата воспользуемся формулой (9). Заменять
в (9) получаем:

Отвечать:

Формула площади квадрата через сторону

S = а ^ 2

а — сторона квадрата

Формула площади квадрата через диагональ

S=dfrac{d^2}{2}

г — диагональ квадрата

Формула площади квадрата через радиус вписанной окружности

S = 4r ^ 2

r — радиус вписанной окружности

Формула площади квадрата через радиус описанной окружности

С = 2R ^ 2

R — радиус описанной окружности

Формула площади квадрата через периметр

S = dfrac{P^2}{16}

P — квадратный периметр