Линейно зависимые и линейно независимые вектора

Коллинеарные векторы

Определение 1

Коллинеарные векторы — это векторы, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой.

Пример 1

Условия коллинеарности векторов

Два вектора коллинеарны, если выполняется любое из следующих условий:

• условие 1. Векторы a и b коллинеарны, если существует число λ такое, что a=λb;
• условие 2. Векторы a и b коллинеарны с равными отношениями между координатами:

а=(а1; а2), b=(b1; b2)⇒а∥b⇔a1b1=a2b2

• условие 3. Векторы a и b коллинеарны при условии равенства векторного произведения и нулевого вектора:

а∥б⇔а, б=0

Примечание 1

Условие 2 неприменимо, если одна из координат вектора равна нулю.

Заметка 2

Условие 3 применяется только к векторам, заданным в пространстве.

Примеры задач на исследование коллинеарности векторов

Пример 1

Мы проверяем векторы a=(1; 3) и b=(2; 1) на коллинеарность.

Как решить?

В этом случае необходимо использовать второе условие коллинеарности. Для заданных векторов это выглядит так:

12=-31

Сходство неправильное. Отсюда можно сделать вывод, что векторы a и b неколлинеарны.

Ответ: а | | б

Пример 2

Какое значение m вектора a=(1; 2) и b=(-1; m) необходимо, чтобы векторы были коллинеарны?

Как решить?

Используя второе условие коллинеарности, векторы будут коллинеарными, если их координаты пропорциональны:

1-1=2м

Это показывает, что m=-2.

Ответ: m=-2.

Критерии линейной зависимости и линейной независимости систем векторов

Теорема

Система векторов в векторном пространстве линейно зависима, только если один из векторов системы может быть выражен через остальные векторы системы.

Доказательство

Пусть система e1, e2,…, en линейно зависима. Запишем линейную комбинацию этой системы, равную нулевому вектору:

a1e1+a2e2+…+anen=0

где хотя бы один из коэффициентов комбинации не равен нулю.

Пусть ak≠0 k∈1, 2,…, n.

Разделим обе части равенства на ненулевой коэффициент:

ak-1(ak-1a1)e1+(ak-1ak)ek+…+(ak-1an)en=0

Обозначить:

-ak-1am, где m∈1, 2,…, k-1, k+1, n

В этом случае:

β1e1+…+βk-1ek-1+βk+1ek+1+…+βnen=0

или ek=(-β1)e1+…+(-βk-1)ek-1+(-βk+1)ek+1+…+(-βn)en

Отсюда следует, что один из векторов системы выражается через все остальные векторы системы. Это и требовалось доказать (и т д).

Достаточность

Пусть один из векторов линейно выражается через все остальные векторы системы:

ek=γ1e1+…+γk-1ek-1+γk+1ek+1+…+γnen

Перенесем вектор ek в правую часть этого равенства:

0=γ1e1+…+γk-1ek-1-ek+γk+1ek+1+…+γnen

Поскольку коэффициент при векторе ek равен -1≠0, мы получаем нетривиальное представление нуля системой векторов e1,e2,…,en, а это опять означает, что эта система векторов линейно зависимый. Это и требовалось доказать (и т д).

Последствие:

• Система векторов линейно независима, если ни один из ее векторов не может быть выражен через все остальные векторы системы.
• Система векторов, содержащая нулевой вектор или два равных вектора, линейно зависима.

Линейная зависимость векторов и её связь с линейной комбинацией векторов

Чтобы понять, что такое линейная зависимость векторов, введем понятие линейной комбинации векторов.

Линейная комбинация — это сумма векторов, умноженная на некоторое число. Эти векторы могут иметь разные направления.

То есть линейная комбинация является выражением формы

,

где какие-то действительные числа.

На рисунке выше — линейная комбинация, представленная вектором, представляющим собой сумму векторов и , умноженную на 2 и 3 соответственно.

Векторы линейно зависимы, если их линейная комбинация равна нулю и хотя бы один из коэффициентов линейной комбинации отличен от нуля.

Читайте также: Чему равен куб разности: формула, доказательство, пример

Свойства линейно зависимых векторов:

• Для 2- и 3-мерных векторов. Два линейно зависимых вектора коллинеарны. (Коллинеарные векторы линейно зависимы.) .
• Для трехмерных векторов. Три линейно зависимых вектора компланарны. (Три компланарных вектора линейно зависимы.)
• Для n-мерных векторов n + 1 вектор всегда линейно зависим.

Линейные комбинации двух векторов

Теорема 3. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов является их коллинеарность.

Следствие 1. Если векторы и коллинеарны, то они линейно независимы.

Следствие 2. Среди двух неколлинеарных векторов не может быть нулевого вектора (иначе эти векторы окажутся линейно зависимыми).

Линейные комбинации трёх векторов

Определение. Векторы называются компланарными, если они лежат либо в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях.

Теорема 4. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трех векторов является их компланарность.

Следствие 1. Независимо от неколлинеарности векторов и , для любого вектора, лежащего в одной плоскости с векторами и , существуют действительные числа и такие, что равенство.

Следствие 2. Если векторы и не компланарны, то они линейно независимы.

Следствие 3. Среди трех некомпланарных векторов не может быть двух коллинеарных и не может быть нулевого вектора (иначе эти векторы оказались бы линейно зависимыми).

Линейные комбинации четырёх векторов

Теорема 5. Все четыре вектора линейно зависимы.

Последствие. Какими бы некомпланарными не были векторы , и , для любого вектора найдутся действительные числа , и , такие, что равенство

Пример 1. Составим линейную комбинацию векторов и с коэффициентамии .

Решение. Сначала вычислим произведения и . Для этого данные в состоянии задачи, координаты вектора надо умножить на 2 (умножаем каждую координату), а координаты вектора надо умножить на 3. Получаем:

Теперь найдем линейную комбинацию. Для этого складываем первую координату полученного вектора с первой координатой вектора, затем вторую со второй, третью с третьей:

Пример 2. Составим линейную комбинацию векторов с коэффициентами

Аналогично предыдущему находим линейную комбинацию:

Пример 3. Выяснить, являются ли векторы и линейно зависимы.

Решение. В соответствии с определением линейной зависимости необходимо найти такие числа и к

Для этого подставляем координаты векторов и в последнее равенство; Затем выполняя преобразования в левой части по правилам операций над векторами, получаем или

Тогда вектор равна нулю, а значит, каждая из проекций равна нулю, т.е. или

Мы установили, что линейная комбинация векторов и может быть нулевой, только если все коэффициенты равны нулю. Это означает, что эти векторы линейно независимы.

Примеры задач на линейную зависимость и линейную независимость векторов:

Пример 1. Проверить, что векторы a = {3; 4; 5}, б = {-3; 0; 5}, с = {4; 4; 4}, д = {3; 4; 0} линейно независимы.

Решение:

Векторы будут линейно зависимы, так как размерность векторов меньше количества векторов.

Пример 2. Проверить, что векторы a = {1; 1; 1}, б = {1; 2; 0}, с = {0; -1; 1} линейно независимы.

Решение: Найти значения коэффициентов, при которых линейная комбинация этих векторов будет равна нулевому вектору.

х1а + х2б + х3с1 = 0

Это векторное уравнение можно записать в виде системы линейных уравнений

	х1 + х2 = 0
х1 + 2х2 — х3 = 0
х1 + х3 = 0

Решим эту систему методом Гаусса

110012-101010 ~

вычесть первую из второй строки; вычесть первую из третьей строки:

11001 — 12 — 1-1 — 00 — 01 — 10 — 11 — 00 — 0 ~ 110001-100-110 ~

вычесть из первой строки вторую; добавить вторую строку к третьей строке:

1 — 01 — 10 — (-1)0 — 001-100 + 0-1 + 11 + (-1)0 + 0 ~ 101001-100000

Это решение показывает, что система имеет много решений, то есть существует ненулевая комбинация значений x1, x2, x3 такая, что линейная комбинация векторов a, b, c равна нулевому вектору, для пример:

-а + б + с = 0

что означает, что векторы a, b, c линейно зависимы.

Ответ: векторы a, b, c линейно зависимы.

Пример 3. Проверить, что векторы a = {1; 1; 1}, б = {1; 2; 0}, с = {0; -1; 2} линейно независимы.

Решение: Найти значения коэффициентов, при которых линейная комбинация этих векторов будет равна нулевому вектору.

х1а + х2б + х3с1 = 0

Это векторное уравнение можно записать в виде системы линейных уравнений

	х1 + х2 = 0
х1 + 2х2 — х3 = 0
х1 + 2х3 = 0

Решим эту систему методом Гаусса

110012-101020 ~

вычесть первую из второй строки; вычесть первую из третьей строки:

11001 — 12 — 1-1 — 00 — 01 — 10 — 12 — 00 — 0 ~ 110001-100-120 ~

вычесть из первой строки вторую; добавить вторую строку к третьей строке:

1 — 01 — 10 — (-1)0 — 001-100 + 0-1 + 12 + (-1)0 + 0 ~ 101001-100010 ~

вычесть из первой строки третью; добавить третью ко второй строке:

1 — 00 — 01 — 10 — 00 + 01 + 0-1 + 10 + 00010 ~ 101001000010

Это решение показывает, что система имеет единственное решение x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0, а значит, векторы a, b, c линейно независимы.

Ответ: векторы a, b, c линейно независимы.