Основные понятия
Алгебра дается не всем с первого раза. Чтобы не запутаться во всех темах и правилах, важно изучать темы последовательно и понемногу. Сегодня мы научимся решать линейные неравенства.
Неравенство — это алгебраическое выражение, в котором используются знаки ≠, <, >, ≤, ≥.
Линейные неравенства – это неравенства вида:
- ах + Ь < 0,
- ах + Ь > 0,
- ах + б ≥ 0,
- ах + б ≤ 0,
где a и b — все числа, a ≠ 0, x — неизвестная переменная. Как разрешаются разногласия, будет рассмотрено далее в статье.
Решение — это значение переменной, при котором неравенство становится верным.
решить неравенство означает найти все значения переменной, для которых неравенство верно.
Определение линейного неравенства
Во-первых, давайте вспомним основные математические символы, используемые для сравнения.
| Символ | Имя | Тип знака |
| > | более | строгий знак, т.е исключает число на границе |
| < | меньше | |
| ≥ | больше или равно | нестрогий характер, т.е включение числа на границе |
| ≤ | меньше или равно |
Линейное неравенство похоже на линейное уравнение, только вместо знака «равно» оно является одним из знаков сравнения.
Примечание: неизвестная переменная (чаще всего это «х») только одна и указывается в первой степени, в связи с чем неравенство называется линейным.
Например:
- х + 3 > 7
- 12 — 2x < 4
- х (3 + 5) + 11 ≥ 0
Типы неравенств
- Строгий — используйте только больше (>) или меньше (<):
- a < b означает, что a меньше b.
- a > b означает, что a больше b.
- a > b и b < a означают одно и то же, то есть они эквивалентны.
- Нестроковые — используйте сравнения ≥ (больше или равно) или ≤ (меньше или равно):
- a ≤ b означает, что a меньше или равно b.
- a ≥ b означает, что a больше или равно b.
- знаки ⩽ и ⩾ противоположны.
- Другие типы:
- a ≠ b означает, что a не равно b.
- a ≫ b означает, что a намного больше, чем b.
- a ≪ b означает, что a намного меньше, чем b.
- знаки >> и << противоположны.
Линейные неравенства: свойства и правила
Запомните свойства числовых неравенств:
- Если а > b, то b < а. И наоборот: а < b, то b > а.
- Если a > b и b > c, то a > c, а также если a < b и b < c, то a < c.
- Если a > b, то a + c > b + c (и a — c > b — c).
Если a < b, то a + c < b + c (и a — c < b — c). Вы можете добавить или вычесть одно и то же значение для обеих частей.
- Если a > b и c > d, то a + c > b + d.
Если a < b и c < d, то a + c < b + d.
Два неравенства одного и того же значения могут быть сложены почленно. Но важно перепроверить из-за возможных исключений. Например, если мы вычтем 3 > 2 почленно из 12 > 8, мы получим правильный ответ 9 > 6. Если мы вычтем 7 > 2 почленно из 12 > 8, результат будет неверным.
- Если а > b и с < d, то а — с > b — d.
Если а < b и с > d, то а — с < b — d.
Из неравенства можно почленно вычесть другое противоположного значения, оставив знак того, из которого оно было вычтено.
- Если a > b, m — положительное число, то ma > mb и
Обе части можно умножать или делить на положительное число (знак остается прежним).
Если a > b, n — отрицательное число, то na < nb и
Обе части можно умножать или делить на отрицательное число, при этом знак неравенства меняется на противоположный.
- Если a > b и c > d, где a, b, c, d > 0, то ac > bd.
Если a < b и c < d, где a, b, c, d > 0, то ac < bd.
Неравенства с одинаковым значением на множестве положительных чисел можно перемножать почленно.
Следствие этого правила или квадратичный пример: если a > b, где a, b > 0, то a2 > b2, а если a < b, то a2 < b2. На множестве положительных чисел обе части можно возвести в квадрат.
- Если а > b, где а, b > 0, то
Если а < b, то
Решением неравенства с одной переменной является значение одной переменной, которое превращает его в истинное числовое неравенство.
Важно знать Два неравенства можно назвать эквивалентными, если они имеют одинаковые решения.
Для упрощения процесса нахождения корней неравенства необходимо произвести эквивалентные преобразования — затем заменить это неравенство на более простое. При этом все растворы должны быть сохранены без появления посторонних корней.
Приведенные выше свойства помогут нам применить следующие правила.
Читайте также: Область определения функции
Правила линейных неравенств
- Любой член можно перенести из одной части в другую с обратным знаком. Знак неравенства не меняется.
- 2x — 3 > 6 ⇒ 2x > 6 + 3 ⇒ 2x > 9.
- Обе части можно умножать или делить на одно положительное число. Знак неравенства не меняется.
- Умножьте обе части на пять 2x > 9 ⇒ 10x > 45.
- Обе части можно умножать или делить на одно отрицательное число. В этом случае знак неравенства меняется на противоположный.
- Разделите обе части на минус два 2x > 9 ⇒ 2x : (–2) > 9 : (–2) ⇒ x < 4,5.
Решение линейных неравенств
Линейные неравенства с одной переменной x выглядят так:
- ах + Ь < 0,
- ах + Ь > 0,
- ах + б ≤ 0,
- ах + б ≥ 0,
где а и b — действительные числа. А вместо x может быть обычное число.
Равносильные преобразования
Для решения ax + b < 0 (≤, >, ≥) необходимо использовать эквивалентные преобразования неравенства. Рассмотрим два случая: когда коэффициент равен и не равен нулю.
Алгоритм решения ax + b < 0 для a ≠ 0
- переместите число b в правую сторону с обратным знаком,
- получаем эквивалент: ax < −b;
- разделим обе части на число, не равное нулю.
Когда a положительно, знак неравенства остается неизменным; если a отрицательно, знак меняется на противоположный.
Рассмотрим пример: 4x + 16 ≤ 0.
Вот как мы решаем: В этом случае a = 4 и b = 16, то есть коэффициент при x не равен нулю. Используем приведенный выше алгоритм.
- Перенесем член 16 в другую часть, изменив знак: 4x ≤ −16.
- Делим обе части на 4. Знак не меняем, так как 4 — положительное число: 4x : 4 ≤ −16 : 4 ⇒ x ≤ −4.
- Неравенство x ≤ −4 эквивалентно. То есть решением является любое действительное число, меньшее или равное 4.
Ответ: x ≤ −4 или числовой интервал (−∞, −4.
При решении ax + b < 0, когда a = 0, становится 0 * x + b < 0. Берем b < 0 на рассмотрение, после чего выясняется, верно оно или нет.
Вернемся к определению решения неравенства. Для любого значения x получаем числовое неравенство вида b < 0. Подставляя любое t вместо x, получаем 0 * t + b < 0, где b < 0. Если верно, то какое значение предпочтительно подходит для решения. Когда b < 0 ложно, данное уравнение не имеет решений, так как нет единственного значения переменной, которое может привести к правильному числовому равенству.
Числовое неравенство вида b < 0 (≤, > , ≥) верно, когда исходное решение имеет решение для любого значения. False, если у оригинала нет решений.
Рассмотрим пример: 0 * x + 5 > 0.
Как мы решаем:
- Это неравенство 0 * x + 5 > 0 может иметь любое значение x.
- Получается верное числовое неравенство 5 > 0. Следовательно, решением может быть любое число.
Ответ: интервал (− ∞ , + ∞).
Метод интервалов
Интервальный метод можно использовать для линейных неравенств, когда значение коэффициента x не равно нулю.
Дистанционный метод заключается в следующем:
- введем функцию y = ax + b;
- ищем нули, чтобы разделить область определения на интервалы;
- отметьте полученные корни на координатной линии;
- мы определяем символы и помечаем их интервалами.
Алгоритм решения ax + b < 0 (≤, >, ≥) для a ≠ 0 с использованием интервального метода:
- найдите нулевые точки функции y = ax + b, чтобы решить уравнение ax + b = 0.
Если a ≠ 0, то решением будет единственный корень — x₀;
- проводим координатную линию с изображением точки с координатой x₀, при строгом неравенстве точку рисуем пробитой, при нестрогом — закрашиваем;
- определим знаки функции y = ax + b на отрезках.
Для этого находим значения функции в точках отрезка;
- если решение неравенства со знаком > или ≥, добавляем штриховку над положительным зазором на координатной прямой, если < или ≤ — над отрицательным зазором.
Рассмотрим пример: −6x + 12 > 0.
Как мы решаем:
- В соответствии с алгоритмом сначала находим корень уравнения − 6x + 12 = 0,
-6х = -12,
х=2.
Проведем координатную линию с отмеченной пробитой точкой, так как неравенство строгое.
- Определим знаки интервалов.
Для определения интервала (−∞, 2) необходимо вычислить функцию y = −6x + 12 при x = 1. Получается, что −6 * 1 + 12 = 6, 6 > 0. Знак интервал положительный.
Определяем знак интервала (2, +∞), затем подставляем значение х = 3. Получается, что -6 * 3 + 12 = — 6, — 6 < 0. Знак зазора равен отрицательный.
- Штриховка будет сделана над положительным зазором.
По рисунку делаем вывод, что решение имеет вид (−∞, 2) или x < 2.
Ответ: (−∞, 2) или x < 2.
Графический способ
Суть графического решения неравенств состоит в том, чтобы найти пробелы, которые должны появиться на графике.
Алгоритм графического решения y = ax + b
- решая ax + b < 0, определить интервал, в котором график показан ниже бычьей оси;
- при решении ax + b ≤ 0 определить интервал, на котором график рисуется ниже Ox или совпадает с осью;
- решая ax + b > 0, определить интервал, на котором строится график над Ox;
- решая ax + b ≥ 0, определить интервал, на котором график находится выше оси x или совпадает с ней.
Рассмотрим пример: −5 * x − √3 > 0.
Как мы решаем
- Поскольку коэффициент при x отрицательный, эта линия убывающая.
- Координаты точки пересечения с Ox равны (−√3 : 5; 0).
- Неравенство имеет знак >, поэтому нужно обратить внимание на разрыв над бычьей осью.
- Следовательно, решением будет открытый числовой луч (−∞, −√3 : 5.
Ответ: (−∞, −√3 : 5) или x < −√3 : 5.
Линейные неравенства в 8 классе – это маленький кирпичик, который необходимо добавить во всю базу знаний. Мы верим, что все получится!
