Логарифмические неравенства: как решать, правила с подробным решением, простейшие примеры

Определение логарифмического неравенства

В процессе решения задач в виде логарифмических неравенств пригодятся знания теории: свойства монотонности и ключевые формулы.

Определение 1

Логарифм положительного числа b по основанию a — это показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b:

logab=c⇔ac=b.

Здесь b > 0, a > 0, a отлично от единицы.

Наиболее важным логарифмическим тождеством является:

алогаб=б,

логак=с.

В процессе решения задач будут полезны следующие формулы для логарифмов:

1. Логарифм произведения равен сумме логарифмов: loga(bc)=logab+logac.
2. Логарифм частного равен разности логарифмов: logabc=logab-logac.
3. Формула для вычисления логарифма степени: logabm=mlogab.

Переход на другую базу осуществляется по формуле:

logab=logcblogca

логаб=1логба.

Определение 2

Простейшим логарифмическим неравенством является отношение, записанное в виде:

лога fx > logagx,

с fx и gx некоторые выражения, которые зависят от x. Например, fx=1+2x+x2, gx=3x-1.

Обратите внимание, что символ «>» — больше — можно заменить другими символами: ≥,≤,<.

1. loga fx>loga gx => fx>gx для a>1
2. лога fx >лога gx => FX<><>

Виды логарифмических неравенств

Логарифмические неравенства можно записать в следующем виде:

1. Самые простые, такие как log2x>-1.
2. Неравенства, которые можно свести к простейшему: как log12(x+1)≤log12(2x+3).
3. Неравенства с использованием логарифмических свойств: например, log2(x+1)+log2(x-1)≤2.
4. Неравенства, решаемые подстановкой: например, log22x-log2x-2≤0.
5. Выражения с основанием, в котором присутствует переменная: например, logx2≤1.

Формулы логарифмических неравенств

1. Значение логарифма больше нуля (loga x > 0) при условии, что и основание, и сублогарифмическое выражение находятся по одну сторону от числа 1. Возможны два варианта:

• а>1 и х>1
• 0<1><>

Следовательно, если a и x находятся по разные стороны от единицы, значение логарифма logax отрицательно.

2. Для логарифмического неравенства loga f(x) > b имеем:

• f(x)
• f(x) > ab для a>1

Аналогично, для logaf(x) < b верно следующее:

• f(x) > ab для 0<>
• f(x) 1

3. Неравенство вида loga f(x) > loga g(x) сводится к следующему:

• 0 <f(x)></f(x)><g(x) для=»» 0<=»»></g(x)>
• f(x) > g(x) > 0 для a>1

Точно так же для loga f (x) < loga g (x) можно сказать:

• f (x) > g (x) > 0 для 0<>
• 0 < f(x) <g(x) для=»» a=»»>1</g(x)>

Читайте также: Логарифмы

Как решать логарифмические неравенства?

решение неравенств с логарифмами аналогично решению обычных логарифмических уравнений. Но есть несколько вещей, которые следует учитывать.

Во-первых, давайте вспомним, что такое логарифм (log_{a}b) — это степень, в которую нужно возвести число (a), чтобы получить (b). Между прочим, число (a) называется основанием логарифма, а число (b) называется аргументом. Например: $$log_{3}(27)=3;$$ $$log_{frac{1}{3}}(9)=log_{frac{1}{3}}((frac{1}{3})^{-2})=-2;$$ $$log_{2}(sqrt{2})=log_{2}(2^{frac{1} { 2}})=frac{1}{2};$

При этом необходимо иметь в виду ограничения, накладываемые на логарифм (log_{a}b): $$ begin{cases} b>0, a>0, aneq 1 .end{случаи}$

Начнем изучение неравенств с небольшого примера: $$log_{2}x>log_{2}4;$$ Сравниваются два логарифма с ОДИНАКОВЫМ основанием, поэтому вполне логично предположить, что (log_ {2}x) будет больше (log_{2}4) при условии, что (x>4). Это будет решением нашего простого неравенства.

На самом деле, по определению логарифма, чем больше (х), тем больше нужно возводить (2-ку) в основании логарифма, и тем больше будет сам логарифм. Подставляем в неравенство (x=16) — число больше (4): $$log_{2}16>log_{2}4;$$ Вычисляем полученные логарифмы: $$4>2; $$ Мы получили правильное неравенство.

И если вы подставите все числа больше (4), вы всегда получите правильное неравенство. Никаких логарифмов, типа (log_{2}15), мы вычислить не можем, но логика сохраняется, если подставить (x>4), то неравенство будет верным. Кстати, калькулятор любезно подскажет, что (log_{2}15=3,907>log_{2}4), что нам подходит.
Ответ: (х>4).

Теперь рассмотрим другой пример: $$log_{frac{1}{2}}(x)>log_{frac{1}{2}}(4);$$ Обратите внимание, что я изменил основания на (фракция{1}{2}). Интересно, изменится ли логика рассуждений? Замените (x=16>4): $$log_{frac{1}{2}}(16)>log_{frac{1}{2}}(4);$$ $$ log _ { frac {1} {2}} (2 ^ 4) > log _ { frac {1} {2}} (2 ^ 2); $ $ $ $ log _ { frac {1} {2} }((frac{1}{2})^{-4})>log_{frac{1}{2}}((frac{1}{2})^{-2});$ $ Подсчитаем логарифмы слева и справа: $$-4>-2;$$ Упс! Оказалось, что это неправильное неравенство! (-4) конечно не более чем (-2). Мы подставили под левый логарифм большее число, чем под правый, но получили, что значение логарифма меньше. Другими словами, если основание логарифма меньше единицы, то чем больший аргумент мы подставляем, тем меньше будет логарифм.

Получается, что если основание логарифма больше единицы, то логарифм будет возрастающей функцией: чем БОЛЬШЕ значение аргумента, тем БОЛЬШЕ сам логарифм. Если основание логарифма меньше единицы, то логарифм будет убывающей функцией: чем БОЛЬШЕ значение аргумента, тем МЕНЬШЕ значение логарифма.

Например, на рисунке показан график логарифмов (log_{2}(x)) по основанию 2 (красный) — возрастающая функция. А (log_{frac{1}{2}}(x)) с основанием 0,5 выделено синим цветом (редуцирующая функция).

Тогда наш пример (log_{frac{1}{2}}(x)>log_{frac{1}{2}}(4)) будет правильно решаться следующим образом: $$ x<4; $$ Изменен знак неравенства!

Также не забывайте об ограничениях логарифма (ОДЗ) — логарифма отрицательного числа не существует! А это значит, что (x>0).
Ответ: (хв(0;4)).

Подытожим наши рассуждения. Чтобы решить простое логарифмическое неравенство:

1. Вы должны привести логарифмы слева и справа к одному и тому же основанию
2. Удалить логарифмы
3. Сохраняйте знак неравенства, если основание больше единицы
4. Поменять знак неравенства, если основание меньше 1
5. Мы внимательно следим за ОДЗ.

Разберем примеры с основными видами логарифмических неравенств.

Пример 1 $$log_{2}(x)>3;$

В первую очередь всегда записываем ОДЗ. Здесь все очень просто: $$x>0;$$ Следующим шагом будет заставить логарифмы с одинаковым основанием стоять слева и справа. Для этого представим число (3) в виде логарифма по основанию (2) по формуле, позволяющей представить любое число (а) в виде логарифма по основанию (b) нужно: $$a=log_ {b}(b^a);$$ $$3=log_{2}(2^3);$$ }(2^3);$$ Теперь у нас есть логарифмы с такая же база. Смотрим на это основание (2>1), а значит просто избавляемся от логарифмов, оставляя знак неравенства прежним: $$x>2^3;$$ $$x>8;$$ так, что все корни подходят. Это удобно сделать, отметив на оси (х) решение уравнения (х>8) и ОДЗ(х>0):

Найдите пересечение данных областей. И видим, что все (x>8) удовлетворяют ОДЗ, записываем ответ.
Ответ: (х>8.)

Пример 2 $$log_{3}(x+3)>log_{3}(2x-4);$

Любой пример начинаем с ОДЗ: $$ begin{cases} x+3>0, 2x-4>0. end{cases}$$ $$ begin{cases} x>-3, x>2. end{cases}$$ Общая ОДЗ равна (x>2). Теперь перейдем к решению самого неравенства. Левый и правый логарифмы с одним и тем же основанием больше единицы. Поэтому мы просто избавляемся от логарифмов: $$x+3>2x-4;$$ $$x-2x>-4-3;$$ $$-x>-7;$$ $$x lt 7 .$ $ Сверяемся с ОДЗ ((x>2)) — получаем (xin(2;7)).
Ответ: (хв(2;7)).

В примере 2 был важный момент в DHS, на который стоит обратить особое внимание. Мы поставили условия, что оба выражения под логарифмами должны быть больше нуля: $$ begin{cases} x+3>0, 2x-4>0. end{cases}$$ Но на самом деле в этом случае в ODZ можно вычислить только (2x-4>0). А условие (x+3>0) не обязательно! Из простой логики следует, что если (2x-4>0), то (x+3>0) выполняется автоматически, так как при избавлении от логарифмов при решении примера мы ищем такие значения (x), для которого (x+3>2x-4>0).

Особенно в данном примере это не критично, но потом, когда будут примеры куда более сложные, решение дополнительных неравенств в ДПВ может существенно усложнить жизнь. Особенно это актуально для задач с одним параметром. Настоятельно рекомендую подумать, а не просто использовать ОДЗ на всем подряд по схеме.

Пример 3 $$ log_{0,1}(x^2-x-2)>log_{0,1}(3-x);$$ ODZ: $$ begin{cases} x^2-x -2>0, 3-х>0. end{случаи}$

Для решения первого неравенства в ОДЗ необходим метод интервалов. Через дискриминант или по теореме Виета (как вам удобно) находим корни квадратного многочлена: $$D=1-4*(-2)=9;$$ $$x_1=frac{1+ 3 }{ 2}=2; $$ $$x_2=frac{1-3}{2}=-1;$$ Факторинг по формуле: $$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2); $$ $$x^2-x-2=(x-2)(x+1);$$ $$(x-2)(x+1)>0;$$ Нарисуйте ось (x) , расставляем знаки, отмечаем соответствующие пропуски и на этой же оси отмечаем решение второго неравенства в ОДЗ: $$3-x>0;$$ $$x lt 3;$

Находим ОДЗ как пересечение зазоров, т.е значений (х), которые одновременно удовлетворяют обоим неравенствам:

$$xin(-infty;-1)cup(2;3);$

Найдя ОДЗ, возвращаемся к решению неравенства: $$ log_{0,1}(x^2-x-2)>log_{0,1}(3-x);$$ Имеем два логарифма с теми же базами, но эти базы меньше (1)! Значит надо поменять знак неравенства на противоположный при вычеркивании логарифмов: $$x^2-x-2<3-x;$$ Получили правильное квадратное неравенство. Просто сдвигаем все влево, добавляем одинаковые члены, факторизуем по формуле разности квадратов и решаем интервальным методом. $$x^2-5<0;$$ $$(x-sqrt{5})(x+sqrt{5})<0;$

Если учесть ОДЗ ((xin(-infty;-1)cup(2;3))) получим:

ОДЗ отмечен синим цветом, а ответ зеленым.
Ответ: (xin(-sqrt{5}; -1)cup(2;sqrt{5})).

Рассмотрим пример, когда логарифмы имеют разные основания.

Пример 4 $$2log_{9}(4x^2+1)geqlog_{3}(3x^2+4x+1)$$ ODZ: $$ begin{cases} 4x^2+1>0 , 3x^2+4x+1>0. end{cases}$$ Первое неравенство выполняется автоматически по той простой причине, что сумма двух всегда положительных членов стоит слева и всегда больше (0). Таким образом, наша DPV сводится к: $$3x^2+4x+1>0;$$ $$3(x+1)(x+frac{1}{3})>0;$$ $$xin(- infty;-1)cup(-frac{1}{3};+infty);$

Теперь давайте решим само неравенство: $$2log_{9}(4x^2+1)geqlog_{3}(3x^2+4x+1);$$ Первое, что мы замечаем, это то, что логарифмы имеют разные по основаниям, а кроме этого перед левым логарифмом стоит множитель (2). Обе эти проблемы требуют решения. Для этого вам понадобится формула для получения степени по основанию логарифма: $$log_{a^n}(b)=frac{1}{n}log_{a}(b);$ $ $ $log_{9}(4x^2+1)=log_{3^2}(4x^2+1)=frac{1}{2}log_{3}(4x^2+1); $$ : $$2*frac{1}{2}*log_{3}(4x^2+1)geqlog_{3}(3x^2+4x+1)$$ $$ log_{ 3} (4x^2+1)geqlog_{3}(3x^2+4x+1)$$ Превратилось все очень удачно — множитель перед логарифмом исчез, а основания слева и право стало таким же. Так как основание больше единицы, то просто вычеркиваем логарифмы, оставляя знак неравенства: $$4x^2+1geq3x^2+4x+1;$$ $$x^2-4xgeq0;$$ $$ x(x -4)geq0;$$ Дистанционный метод:

Если учесть ОДЗ, то получим:
Ответ: (xin(-infty;-1)cup(-frac{1}{3};0cup[4;+infty).)

Нахождение области допустимых значений логарифмического неравенства

Корректность решения логарифмических неравенств зависит от правильности определения области допустимых значений. Рассмотрим наглядный пример:

лог 22x+4 > лог 23

Обратите внимание, что в формуле стандартного логарифмирования роль bi в данном случае играет выражение 2x+4. Итак, по определению:

2x+4>0

Обратившись к определению логарифмического неравенства, мы можем добиться того, что записанное выражение должно быть больше нуля. В результате х>-2.

После определения ОДЗ можно приступать к решению неравенства:

лог22х+4>лог23

Первый шаг — избавиться от log2 в обеих частях выражения. Затем:

2х+4>3

Таким образом:

2x>-1

х>-12

Затем необходимо доказать, что полученное решение соответствует ранее определенному диапазону допустимых значений:

Нарисуйте числовую линию, где мы определяем набранные очки:

-2 и -12).

В результате окончательное решение неравенства представляет собой участок с двумя проходящими дугами:

х∈-0,5;+∞

Возьмем немного другой пример:

log0.22x+4>log0.23

По сравнению с предыдущим заданием база изменена с 2 на 0,2. На принцип решения задачи это не повлияет. Диапазон допустимых значений остается прежним:

х>-2

Таким образом:

2х+4<3

х<-12

В результате исходное неравенство эквивалентно системе:

х>-2х<-12

Решим эту систему:

х∈-2;-12.

Правило 1

Когда основание логарифма неравенства больше единицы, знак неравенства остается неизменным как для fx, так и для gx. Когда основание логарифма больше нуля и меньше единицы, знак между fx и gx необходимо поменять местами:

logafx>logagx⇒fx>gx с >1logafx>logagx⇒fx<><>

Руководствуясь написанным правилом, можно рассмотреть еще одно логарифмическое неравенство:

log0,2×2+6x+8>log0,25x+10.

Определим ОДЗ:

х2+6х+8>0.

Это неравенство решается интервальным методом. Вычислим корни уравнения:

х2+6х+8=0

Мы получаем:

х1=-4, х2=-2.

Перенесем значения на числовую ось. Чтобы определить символы, вы можете использовать нулевую замену в исходном выражении. Это приведет к числу 8, что является положительным. В результате первый интервал имеет знак плюс:

В данном случае нас интересует интервал с положительным знаком. Для первого выражения диапазон допустимых значений следующий набор:.

Вторая ОДЗ это:

5x+10>0

Затем:

х>-2.

На координатной линии необходимо совместить обе ОДЗ:

Участок, в котором совпадают все ОДЗ, соответствует конечному диапазону допустимых значений:

<p>-2;+∞.

Решим неравенство:

log0.2×2+6x+8>log0.25x+10

Обратите внимание, что основание 0,2<1. В этом случае следует изменить знак неравенства:

х2+6х+8<5х+10

Выражение можно упростить:

х2+х-2<0

Используя уже известный интервальный метод, находим решения:

х∈-2;1.

Окончательное решение соответствует участку, где ОДЗ пересекает результирующее множество:

В соответствии с полученной площадью можно написать ответ:

х∈-2;1.

Методы решения логарифмических неравенств

Простейшие логарифмические неравенства, которые записываются в виде:

logafx > logagx

решить по алгоритму:

1. Поиск по ОДЗ: . Регистрация в виде системы одновременно означает выполнение условий.
2. Фундаментальное исследование. При a>1 необходимо решить неравенство fx>gx. Для 0<1 необходимо><>
3. Полученный раствор нужно соединить с ранее определенной ОДЗ.

Другие типы логарифмических неравенств также могут быть решены с помощью описанной последовательности операций.

В случае если база не уникальная, а переменная, следует рассмотреть два варианта:

• основание больше единицы;
• основание лежит между нулем и единицей.

Когда логарифмическое неравенство не записано в простейшей форме, решение сводится к приведению к простейшей форме.

Рассмотрим использование алгоритма на примере. Допустим, нам нужно решить следующее неравенство:

log0.3x+4>log0.3×2+2x-2

В первую очередь следует определить диапазон допустимых значений:

Обратите внимание, что в первом неравенстве:

х>-4

Второе неравенство удобно решать интервальным методом. В результате получаются следующие корни:

х1=3-1

х2=-1-3

В этом случае множество решений x2+2x-2>0 определяется как:

Обратите внимание, что -4<-1-3. Итоговая ОДЗ:

Приступим к решению неравенства:

х+4<>

Это неравенство эквивалентно следующему:

0<>

Используя интервальный метод, получаем:

Исходя из того, что -3<-1-3, 2>3-1:

Правило 2

Решение логарифмического неравенства, которое записывается как logafx

Неравенство logafx>logagx в каждой из рассмотренных альтернатив сводится к одной из следующих систем:

Можно упростить решение логарифмических неравенств, перейдя к постоянному основанию. Разберем этот метод на примере:

лог|х|-2|х-3|≤0.

Определим ОДЗ:

Используя формулу logab=logcblogca, давайте перейдем к основанию 10:

lg|x-3|lg(|x|-2)≤0.

Используя метод обобщенного интервала, вы можете представить левую часть выражения в виде функции:

г(х)=лог|х-3|лог(|х|-2).

Обратите внимание, что эта функция меняет знак при прохождении точек с нулевыми значениями или при отсутствии значений. Выражение log |x − 3| обращается в нуль при |x − 3| = 1.

В этом случае: x = 4 или x = 2. Выражение lg (|x| − 2) получает нулевое значение для |x| = 3. Эти точки равны 3 и −3. Учитывая диапазон допустимых значений исходного неравенства, проводим числовую прямую с определенными точками:

Определим знаки, которые принимает функция g(x) для каждого интервала, и запишем ответ.

Ответ: x∈-3;-2∪(3;4].

В следующем примере решается логарифмическое неравенство через систему:

log3x2+7x+10+log13x+59+1≥log33x2+16x+20

Написанное выражение соответствует системе:

x2+7x+10>0x+5>03×2+16x+20>0log3x2+7x+10-log3x+59+log33≥log33x2+16x+20

⇔(x+5)(x+2)>0x+5>0(x+2)(x+103)>0log3(x+5)(x+2) 9 3(x+5)>log33 (x +2)(х+103)

х>-29 (х+2)≥(х+2)(х+103)

х>-2х+103≤9<=>х>-2х≤173

x2+7x+10=0hfill D=0;x1,2=-7±32; х1=-5х;х2=-2; 3х2+16х+20=0 Д=162-12 20==16 (16-3 5)=16; х1,2=-16±46; х1=-2; х2=-103

Ответ: x∈-2;173.

Простейшие примеры

Задание 1

Решите неравенство:

log0.3-x+2≤log0.32x-2

Решение

Определим ОДЗ:

Таким образом:

х∈1;2

Решим неравенство:

log0.3-x+2≤log0.32x-2

Так как 0,3<1, нам нужно изменить знак:

-х-2≥2х-2

-3x≥0

х≤0

Это решение не соответствует ОДЗ. Неравенство не имеет решений.

Ответ: Решений нет.

Задача 2

Найдите решения неравенства:

4logx4+3log4x4+4log16x4≤0

Решение

Обратите внимание, что основание логарифма должно быть больше нуля и отлично от единицы:

х>0;4х≠1;х≠1;16х≠1.

Преобразим систему, чтобы записать ее в упрощенном варианте:

Получилось определить неравенство ОДЗ. Обратите внимание на наличие переменной в основании логарифма. Затем вы должны перейти к константе базы 4:

4log4x+3log44x+4log4(16x)≤0;

4log4x+31-log4x+42+log4x≤0

Заменим log4x=t:

4t+31-t+42+t≤0

Упростим выражение и вычислим его решения интервальным методом:

(t-2)(t+45)t(1-t)(2+t)≥0.

Как результат:

t∈-∞;-2∪-45;0∪(1;2.

Смотрим на х:

С учетом условия x > 0 по некоторой ОДЗ запишем ответ.

Ответ: x∈0;116∪4-45;1∪(4;16

Задача 3

Решить неравенство интервальным методом:

log132-3xx≥-1

Решение

Определим ОДЗ:

2-3хх>0

Перепишем выражение слева в виде логарифма по основанию 3:

log3x2-3x≥-1.

Выражение справа также можно переписать в виде логарифма по основанию 3. Тогда получим алгебраическое неравенство:

log3x2-3x≥log313

х2-3х≥13

Обратите внимание, что условие соответствия ODZ будет выполнено автоматически, что упростит решение:

х2-3х-13≥0

3x-12-3x≥0

Воспользуемся интервальным методом и запишем ответ.

Ответ: x∈13;23.

Задача 4

Найдите решения неравенства:

log25-x2-35-x2+9-1+log25-x2-35-x2+9-1>log254-x2-22.

Решение

Учтем повторение выражения:

5×2

Давайте заменим:

5-х2=т

Исходя из того, что экспоненциальная функция может принимать только положительные значения, запишем:

т > 0

Как результат:

5-х2+9=59 часов

54-x2=54 часа=625 часов

Преобразуем неравенство:

log2t-359 т-1+log2t-359 т-1>log2625t-22

Определим ОДЗ:

т > 0

(т — 3) (59 т — 1) > 0

При выполнении записанного условия стоимость частного Т-359 Т-1 также положительна. Выражение справа под логарифмом (625t-2)2 имеет знак плюс. Затем:

(625т-2)2≠0

т ≠ 2625

Определим ОДЗ:

Используя интервальный метод, находим решения:

Как результат:

t∈0;159∪3;+∞.

Решим неравенство, представив сумму логарифмов в виде логарифма произведения:

Избавимся от логарифмов и оставим знак неравенства без изменений:

(т-3)2>(625т-2)2

Переместим существующие выражения влево. Воспользуемся формулой разности квадратов:

(т-3)2-(625т-2)2>0

(т-3-625т+2)(т-3+625т-2)>0

(-624т-1)(626т-5)>0

Вспомним неравенства ODZ:

t∈0;159∪3;+∞

Определить, где пересекаются полученные интервалы:

Как результат:

т<159

Знай это:

т=5-х2

Мы получаем:

5-x2<5-9;-x2<-9;x2>9;(x-3)(x+3)>0

Ответ: x∈(-∞;-3)∪(3;+∞).

Упражнение 5

Требуется решить неравенство:

logx+2(36+16x-x2)-116logx+22(x-18)2≥2.

Решение

Определим ОДЗ:

x+2>0x+2≠136+16x-x2>0x≠18⇔x>-2x≠-1x∈(-2;18)

х∈(-2;-1)∪(1;18)

Обратите внимание, что:

36+16х-х2=-(х+2)(х-18).

Исходное неравенство можно переписать в сокращенной форме, т.е упростить:

logx+2((18-x)(x+2))-116logx+22(x-18)2≥2

1+logx+2(18-x)-116logx+22(x-18)2≥2

При условии:

(х-18)2=(18-х)2

В этом случае:

1+logx+2(18-x)-116logx+22(18-x)2≥2

Давайте взглянем на листинг:

loga2b

Это выражение означает, что в первую очередь необходимо определить логарифм, а затем можно переходить к возведению в квадрат полученного выражения.

logx+22(18-x)2=(logx+2(18-x)2)2=(2logx+2(18-x))2=4logx+22(18-x).

Давайте заменим:

logx+2(18-x)=t

т-14т2≥1

t2-4t+4≤0

(т-2)2≤0

Выражение слева не может быть меньше нуля. По этой причине:

т=2

Как результат:

logx+2(18-x)=2; logx+2(18-x)=logx+2(x+2)2; 18-х=х2+4х+4; х2+5х-14=0;

x1=-7 является посторонним корнем, так как не соответствует ОДЗ

х2=2

Ответ: 2