Логарифмы

Что такое логарифм и как его посчитать

Логарифм имеет следующий вид:

где а — основание логарифма,

где а — основание логарифма,

b — аргумент логарифма

Чтобы найти значение логарифма, приравняем его к X.
и преобразовать в
и преобразовать в Помните, что именно основание (оно выделено красным) возводится в степень.

Чтобы было проще, можно запомнить так — основание всегда остается внизу (и в первом, и во втором выражении а внизу)!

Вот пример:

Чтобы вычислить этот логарифм, приравняйте его к X и используйте правило, описанное выше:
В какую степень нужно возвести 2, чтобы получилось 8? Конечно, в третьей степени, вот так:

Еще раз отмечу, что основание (в нашем случае это 2) всегда внизу, и это то, что возведено в степень.

Еще раз отмечу, что основание (в нашем случае это 2) всегда внизу, и это то, что возведено в степень.

Еще примеры:

Два очевидных следствия определения логарифма

лога = 1 (а> 0, а ≠ 1)

(3)

loga1=0(а>0,а≠1)

(4)

На самом деле, когда мы возводим число а в первую степень, мы получаем то же самое число, а когда мы возводим его в нулевую степень, мы получаем единицу.

Читайте также: Разложение квадратного трёхчлена на множители

Основное логарифмическое тождество

Степень, показатель которой является логарифмом числа N с тем же основанием, что и основание степени, равна числу N.

алогаN=N.

Возьмем логарифм числа N по основанию a равному числу q

logaN = q, поэтому aq = N.

Подставив последнее равенство вместо числа q его равное выражение logaN, получим

алогаN=N.

Выражение alogaN = N называется основным логарифмическим тождеством.

Свойства логарифмов

Рассмотрены свойства логарифмов по основаниям большим нуля и не равным единице:

а > 0 и а ≠ 1.

Логарифм единицы равен нулю.

лог1 = 0,

так как нулевая степень любого числа (кроме нуля) равна 1:

а0 = 1.

Логарифм числа по основанию равен единице.

лог = 1,

так как первая степень числа равна такому же числу без степени:

а1 = а.

Логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей.

логаМН = логаМ + логаН ,

где М > 0, N > 0.

Логарифм частного равен разнице между логарифмом делимого и делителя (или логарифм дроби равен логарифму числителя минус логарифм знаменателя).

логотип	М	= логаМ — логаN ,
Н

где М > 0, N > 0.

Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени.

loga(Nα) = α logaN ,

где N > 0.

Логарифм, основанием которого является степень, равен частному от деления логарифма по тому же основанию без степени на показатель степени основания.

logaxN =	ложь	=	1	логN ,
икс	икс

где N > 0, х ≠ 0.

Логарифм корня равен частному от деления логарифма числа корня на показатель степени корня.

логарифмическая ось√ N =	ложь	=	1	журнал N .
икс	икс

Из формулы логарифма корня и формулы логарифма, имеющего степень в основании, можно сделать вывод, что логарифм корня равен логарифму данного числа с основанием в степени, равной в показатель корня.

логакс√N = логаксN =	1	журнал N .
икс

Свойства логарифмов степени и корня можно объединить в одно:

logaβNα =	а	логN ,
β

где N > 0, β ≠ 0.

Любой логарифм можно представить как отношение двух логарифмов, взятых по одному и тому же произвольному основанию.

logbN =	ложь	,
логаб

где N > 0. Эта формула называется формулой перехода к новому основанию.

Произведение обратных обратных логарифмов равно единице.

логба · логаб = 1.

Обратные логарифмы — это пара логарифмов, в которых основание и выражение под знаком логарифма поменяны местами.

Значение логарифма не изменится, если возвести число под знаком логарифма и одновременно с основанием логарифма в любую степень.

логN = логаксNx,

где N > 0, х ≠ 0.

Использование свойств логарифмов при решении логарифмических уравнений и неравенств

Чтобы не делать ошибок при решении логарифмических уравнений и неравенств, следует внимательно и аккуратно пользоваться свойствами логарифмов, перечисленными в предыдущем разделе.

Например, если вам нужно преобразовать выражение при решении уравнения или неравенства

лога (f(x)2) ,

тогда вместо формулы

необходимо использовать формулу

потому что иначе можно потерять корни.

По той же причине при преобразовании выражений

loga(f(x)g(x)) и

следует использовать формулы:

Комментарий. Тем, кто хочет усовершенствовать свои знания и навыки решения уравнений и неравенств с логарифмами, рекомендуем ознакомиться с нашими учебниками «Решение логарифмических уравнений» и «Решение логарифмических неравенств».

Степень можно выносить за знак логарифма

logabp=logab(а>0,а≠1,b>0)

(7)

И еще раз хочу попросить о точности. Рассмотрим следующий пример:

loga(f(x)2=2logaf(x)

Левая часть равенства, очевидно, определена для всех значений f(x), кроме нуля. Правая часть только для f(x)>0! Когда мы берем степень из логарифма, мы снова ограничиваем ОДЗ. Обратная процедура приводит к расширению диапазона допустимых значений. Все эти замечания относятся не только к степени числа 2, но и к любой четной степени.

Логарифмы со специальным обозначением

Для некоторых логарифмов в математике введены специальные обозначения. Это связано с тем, что такие логарифмы встречаются особенно часто. Эти логарифмы включают десятичный логарифм и натуральный логарифм. Для этих логарифмов справедливы все правила, как и для обычных логарифмов.

Виды логарифмов

• loga b — основание логарифма b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
• lg b — логарифм по основанию 10 (логарифм по основанию 10, а = 10).
• ln b — натуральный логарифм (логарифм по основанию e, a = e).

Сумма логарифмов. Разница логарифмов

Можно складывать логарифмы с одинаковым основанием:

Логарифмы с одинаковым основанием можно вычитать:

Мы видим, что исходные выражения состояли из логарифмов, которые отдельно не вычисляются, а используя свойства логарифмов, мы получили нормальные числа. Поэтому повторяем, что основные свойства логарифмов необходимо знать!

Обратите внимание, что формулы суммы и разности логарифмов верны только для логарифмов с одинаковым основанием! Если базы разные, эти свойства использовать нельзя!

Вынесение показателя степени из логарифма

Удаление степени из логарифма:

Переход к новому основанию

Когда мы анализировали формулы суммы и разности логарифмов, мы учитывали, что основания логарифмов должны быть одинаковыми. А если основания логарифмов разные? Используйте переход к новому базовому свойству.

Такие формулы чаще всего нужны при решении логарифмических уравнений и неравенств.

Возьмем пример.

Необходимо найти значение такого выражения
Во-первых, мы преобразуем каждый логарифм, используя свойство взятия степени из логарифма:

Теперь используем переход к новому основанию для второго логарифма:
Подставляем результаты в исходное выражение:

Десятичные и натуральные логарифмы

Логарифм числа x по основанию 10 называется логарифмом по основанию 10. Десятичные логарифмы используются довольно часто, поэтому для них введено специальное обозначение: log10x = lg x. Все приведенные выше формулы остаются актуальными и для десятичных логарифмов. Например,

lg(xy)=lgx+lgy(x>0,y>0).

Натуральный логарифм числа х (обозначение lnx) — это логарифм числа х по основанию е. Число е иррационально, примерно равно 2,71. Например, ln e = 1. С помощью формулы (8) любой логарифм можно привести к десятичному или натуральному логарифму:

logab=lgblga=lnblna(a>0,a≠1,b>0)

Вычисление логарифма равносильно решению показательного уравнения

Экспоненциальное уравнение:

топор=б,

при а > 0 а ≠ 1; б > 0, где

х — показатель степени, а — основание степени, b — степень числа а.

Логарифмическое уравнение:

журнал б = х,

при а > 0 а ≠ 1; б > 0, где

х — логарифм числа b по основанию а, а — основание логарифма, b — число под знаком логарифма.

Примеры:

25 = 32 ⇔ 5 = log2 32

34 = 81 ⇔ 4 = log3 81

log1/5 125 = -3 ⇔ (1/5)-3 = 125

log2116 = -4 ⇔ 2-4 = 116.

Пример 1

Найти логарифм: log 4 8

Введите log4 8 через x:

log4 8 = х

Перейдем к показательному уравнению:

4х = 8

Приводим показательное уравнение к основанию 2 и решаем его:

22х = 23

2х=3

х=32

Отвечать:

log48 = 32

Пример 2

Найдите x, если: logx 125 = 32

За определением логарифма мы имеем:

х3/2 = 125

Возведем обе части в степень 23, используя свойства степеней:

(х3/2)2/3 = 1252/3

х = (53)2/3 = 53 2/3 = 52 = 25

Отвечать:

х=25

Формулировки и доказательства свойств

Перейдем к формулировке и доказательству записанных свойств логарифмов. Все свойства логарифмов доказываются на основе определения логарифма и вытекающего из него основного логарифмического тождества, а также свойства степени.

1. Начнем со свойства единичного логарифма. Формулировка такова: логарифм единицы равен нулю, то есть loga1=0 для любого a>0, a≠1. Доказательство простое: поскольку a0=1 для любого a, удовлетворяющего указанным выше условиям a>0 и a≠1, равенство loga1=0 сразу следует из определения логарифма.

   Приведем примеры использования рассматриваемого свойства: log31=0, lg1=0 и
   .

2. Переходим к следующему свойству: логарифм числа по основанию равен единице, то есть logaa=1 при а>0, а≠1. Действительно, поскольку a1=a для любого a, то по определению логарифма logaa=1.

   Примеры использования этого свойства логарифмов: log55=1, log5,65,6 и lne=1.

3. Логарифм степени числа, равный основанию логарифма, равен показателю степени. Этому свойству логарифма соответствует формула вида logaap=p, где a>0, a≠1 и p — любое действительное число. Это свойство следует непосредственно из определения логарифма. Обратите внимание, что он позволяет сразу указать значение логарифма, если есть возможность представить число под логарифмом как степень основания, об этом мы поговорим подробнее в статье вычисление логарифмов.

   Например, log227=7, lg10-4=-4 и
   .

4. Логарифм произведения двух положительных чисел x и y равен произведению логарифмов этих чисел: loga(xy)=logax+logay, a>0, a≠1. Докажем свойство логарифма произведения. Из-за свойств степени alogax+logay=alogax alogay, а затем по основному логарифмическому тождеству alogax=x и alogay=y, то alogax alogay=x y. Таким образом, alogax+logay=xy, откуда по определению логарифма следует доказываемое равенство.

   Приведем примеры использования свойства логарифма произведения: log5(2 3)=log52+log53 и
   .

   Свойство логарифма произведения может быть обобщено на произведение конечного числа n положительных чисел x1, x2, …, xn как loga(x1 x2 … xn)=logax1+logax2+…+logaxn. Это равенство легко доказывается методом математической индукции.

   Например, натуральный логарифм произведения
   можно заменить суммой трех натуральных логарифмов чисел 4, e и
   .

5. Логарифм частного двух положительных чисел x и y равен разности логарифмов этих чисел. Свойству частного логарифма соответствует формула вида
   , где a>0, a≠1, x и y — некоторые положительные числа. Справедливость этой формулы доказывается как формула логарифма произведения: поскольку
   , то по определению логарифма
   .

   Вот пример использования этого свойства логарифма:
   .

6. Обратимся к свойству логарифма степени. Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм модуля основания этой степени. Запишем это свойство логарифма степени в виде формулы: logabp=p·loga|b|, где a>0, a≠1, b и p — такие числа, что степень bp имеет смысл и bp>0.

   Сначала докажем это свойство для положительного b.Основное логарифмическое тождество позволяет нам представить число b как alogab, тогда bp=(alogab)p, и результирующее выражение в силу свойства степени равно ap·logab. Таким образом, мы приходим к равенству bp=ap·logab, из которого по определению логарифма заключаем, что logabp=p·logab.

   Осталось доказать это свойство для отрицательного b. Здесь заметим, что выражение logabp для отрицательного b имеет смысл только при равных показателях p (поскольку значение показателя bp должно быть больше нуля, иначе логарифмирование не будет иметь смысла), и в этом случае bp=|b|p . Тогда bp=|b|p=(aloga|b|)p=ap loga|b|, откуда logabp=p loga|b|.

   Например,
   и ln(-3)4=4 ln|-3|=4 ln3.

   Свойство логарифма корня следует из предыдущего свойства: логарифм корня n-й степени равен произведению дроби 1/n на логарифм корневого выражения, то есть
   , где a>0, a≠1, n — натуральное число больше единицы, b>0.

   Доказательство основано на подобии
   (см определение показателя степени с дробным показателем), который действителен для любого положительного b, и логарифмическое свойство показателя степени:
   .

   Вот пример использования этого свойства:
   .

7. Теперь докажем формулу перехода к новому основанию логарифма вида
   . Для этого достаточно доказать справедливость равенства logcb=logab·logca. Основное логарифмическое тождество позволяет нам представить число b как alogab, тогда logcb=logcalogab. Осталось воспользоваться свойством логарифма степени: logcalogab=logab·logca. Тем самым доказано равенство logcb=logab logca, а значит, доказана и формула перехода к новому основанию логарифма
   .

   Покажем пару примеров использования этого свойства логарифмов:
   и
   .

   Формула перехода к новому основанию позволяет перейти к работе с логарифмами, имеющими «удобное» основание. Например, его можно использовать для переключения на натуральные или десятичные логарифмы, чтобы можно было вычислить значение логарифма из таблицы логарифмов. Формула перехода к новому основанию логарифма также позволяет в ряде случаев найти значение заданного логарифма, когда известны значения некоторых логарифмов с другими основаниями.

   Часто используется частный случай формулы перехода к новому основанию логарифма при c=b вида
   . Это показывает, что logab и logba являются обратными числами, например,
   .

   Также часто используется формула
   , что полезно для нахождения логарифмических значений. В подтверждение наших слов покажем, как с его помощью можно вычислить значение логарифма вида
   . У нас есть
   . Чтобы доказать формулу
   достаточно воспользоваться формулой перехода к новому основанию логарифма а:
   .

8. Осталось доказать свойства сравнения логарифмов.

   Докажем, что для всех положительных чисел b1 и b2, b1logab2, а для a>1 неравенство logab1<1><1,><><1>

9. Наконец, осталось доказать последнее из перечисленных свойств логарифмов. Ограничимся доказательством его первой части, т е докажем, что если a1>1, a2>1 и a1,><1>1, то loga1b>loga2b истинно. Остальные утверждения об этом свойстве логарифмов доказываются по аналогичному принципу. Воспользуемся методом от противного. Предположим, что для a1>1, a2>1 и a11 верно loga1b≤loga2b. Используя свойства логарифмов, эти неравенства можно переписать в виде
   и
   соответственно, и из них следует, что logba1≤logba2 и logba1≥logba2 соответственно. Тогда равенства blogba1≥blogba2 и blogba1≥blogba2, т е a1≥a2, должны выполняться по свойствам степеней с одним и тем же основанием. Таким образом, мы пришли к противоречию с условием a1<1>,>

Область допустимых значений (ОДЗ) логарифма

Теперь поговорим об ограничениях (ОДЗ — диапазон допустимых значений переменных).

Мы помним, что, например, из отрицательных чисел нельзя извлечь квадратный корень; или если у нас есть дробь, то знаменатель не может быть равен нулю. Аналогичные ограничения действуют и для логарифмов:

То есть и аргумент, и базовое число должны быть больше нуля, а базовое число не может быть равно .

Почему?

Начнем с простого: скажем так. Тогда, например, числа не существует, так как какую бы мощность мы ни поднимали, оно всегда оказывается . Кроме того, он не существует ни для кого. Но в то же время он может быть подобен чему угодно (по той же причине — подобен в любой степени). Поэтому объект не представляет интереса, и его просто выкинули из математики.

Аналогичная проблема у нас и в случае : при любой положительной степени это есть, и его вообще нельзя возводить в отрицательную степень, так как получится деление на ноль (напомню).

Когда мы сталкиваемся с задачей возведения в дробную степень (что представляется в виде корня: . Например (то есть), а не существует.

Поэтому негативные причины легче выбросить, чем с ними возиться.

Ну, так как основание а для нас только положительное, мы всегда будем получать строго положительное число, в какую бы степень мы его ни возводили. Так что аргумент должен быть положительным. Например, его не существует, так как оно не будет ни в какой степени отрицательным числом (и даже нулем, поэтому его тоже не существует).

В задачах с логарифмами первым делом нужно записать ОДЗ. Я приведу пример:

Давайте решим уравнение .

Запомните определение: логарифм — это степень, в которую нужно возвести основание, чтобы получить аргумент. И по условию эта степень равна : .

Получаем обычное квадратное уравнение: Решим ее с помощью теоремы Виета: сумма корней равна , а произведение . Легко получить, это числа и .

А вот если сразу взять и записать в ответ обе эти цифры, то можно получить 0 баллов за задание. Почему? Давайте подумаем, что произойдет, если мы подставим эти корни в исходное уравнение?

— Верно.

— это явно неверно, так как основание не может быть отрицательным, то есть корень «сторонний».

Чтобы избежать таких неприятных фокусов, запишите ОДЗ самостоятельно перед тем, как приступить к решению уравнения:

Итак, после получения корней и , сразу отбрасываем корень и пишем правильный ответ

Логарифм произведения и логарифм частного

loga(bc)=logab+logac(a>0,a≠1,b>0,c>0)

(5)

logabc=logab-logac(a>0,a≠1,b>0,c>0)

(6)

Я бы предостерег школьников от бездумного использования этих формул при решении логарифмических уравнений и неравенств. При использовании «слева направо» ОДЗ сужается, а при переходе от суммы или разности логарифмов к логарифму произведения или частного расширяется ОДЗ.

На самом деле фраза

журнал (е (х) г (х))

определяется в двух случаях: когда обе функции строго положительны или когда f(x) и g(x) меньше нуля.

Преобразуйте это выражение в сумму

logaf(x)+logag(x)

, мы должны ограничиться случаем, когда f(x)>0 и g(x)>0. Это сужение диапазона допустимых значений, что категорически недопустимо, так как может привести к потере решений. Аналогичная проблема существует и для формулы (6).

Формулы и свойства логарифмов

Для всех a > 0, a ≠ 1 и b > 0, x > 0, y > 0 выполняются следующие свойства логарифмов.

1. alogab = b — основное логарифмическое тождество
2. loga 1 = 0 — логарифм единицы
3. loga a = 1 — логарифм числа, равный основанию
4. loga(xy) = logax + logay — логарифм произведения двух положительных чисел
5. logaxy= logax — logay — логарифм частного
6. loga1x= -logax
7. loga xn = n logax — логарифм степени числа
8. logan√x = 1nlogax — логарифм корня числа
9. logan x = 1nloga x, для n ≠ 0
10. логакс = логакс хс
11. loga x = logb xlogb a– формула перехода на новую базу
12. журнал х = 1 журнал ха
13. (loga x)′ = 1x ln a – производная от логарифма

10 примеров логарифмов с решением

1. Найдите значение выражения
2. Найдите значение выражения
3. Найдите значение выражения
3. Найдите значение выражения4. Найти значение выражения
5. Найдите значение выражения
5. Найдите значение выражения6. Найти значение выражения
Сначала найдем значение
Сначала найдите значение. Для этого приравняем его к X:
Тогда исходное выражение принимает вид:

7. Найдите значение выражения
7. Найдите значение выражения Преобразуем наше выражение:
Теперь мы используем это свойство, чтобы вывести показатель степени из логарифма и получить:
8. Найдите значение выражения
8. Найдите значение выражения Так как основания у логарифмов одинаковые, воспользуемся свойством разности логарифмов:
9. Найдите значение выражения
9. Найдите значение выражения. Поскольку основания логарифмов разные, нельзя использовать свойство суммы логарифмов. Поэтому решаем каждый логарифм отдельно:
Подставляем полученные значения в исходное выражение:

4 + 3 = 7

10. Найдите значение выражения
Обратите внимание, что это выражение не является произведением логарифмов. Для логарифма по основанию 4 выражение подлогарифма равно log216. Поэтому сначала находим значение log216, а потом подставляем результат в log4:
Обратите внимание, что это выражение не является произведением логарифмов. Для логарифма по основанию 4 выражение подлогарифма равно log216. Поэтому сначала находим значение log216, а потом подставляем результат в log4:

Надеюсь, теперь вы понимаете, что такое логарифм.

Логарифмическое уравнение: решение на примерах
Логарифмическое неравенство: Решение с примерами

Пример 1 Найдите корень уравнения.

по определению логарифма:

Все неизвестные переносятся в левую часть уравнения (слева от =), а известные — в правую.

Мы получаем:

Давай проверим:

Отвечать:

Пример 2. Найдите корень уравнения.

Здесь для решения этого логарифмического уравнения воспользуемся свойством логарифма:

То есть мы должны ввести цифру 3 справа под знаком логарифма.

или

Если показатели равны, основания степени равны, то числа, полученные в результате, равны, то есть получаем

Давай проверим:

Пример 3. Найдите корень уравнения

Мы используем следующее свойство для логарифма:

Затем мы получаем:

Давай проверим:

Отвечать:

Пример 4. Найдите корень уравнения.

Используя определение логарифма, получаем:

Давай проверим:

Отвечать: .

Таким образом, теперь вы можете создавать четкие инструкции по решению логарифмических уравнений. Он состоит из следующих шагов:

1. Справа и слева от знака равенства (=) составить логарифмы по одному основанию, а от коэффициентов перед логарифмами избавиться, используя свойства логарифмов.
2. Мы избавляемся от логарифмов, используя правило возведения в степень. Остаются только те числа, которые были под знаком логарифма.
3. Решаем полученное обыкновенное уравнение — как найти корень уравнения смотрите здесь.
4. Сделать чек
5. Записываем ответ.