Логарифмы — формулы, свойства, примеры, как решать?

Что такое логарифм?

Лучший способ понять это — решить уравнения графически. Нарисуем график и с его помощью решим уравнения:

х=1

х=2

Большой! Теперь решим уравнение .

И в этом случае нельзя назвать точное значение, то есть мы понимаем, что корень больше единицы и меньше двух, но более точных данных нет.

Это корень, данный логарифмом, а именно (читается как «логарифм пяти по основанию три» или «логарифм по основанию три из пяти»).

Смысл мы определили — теперь перейдем к общему определению логарифма.

Логарифм b по основанию a — это показатель степени с основанием a, равным b. То есть, проще говоря, логарифм — это степень, в которую нужно возвести a, чтобы получить b. Однако логарифм имеет условия или ограничения, при которых основание a больше нуля и не равен единице, а показатель степени b больше нуля.

Читайте также: Десятичные дроби — как решать примеры 5, 6 класс

Как решать примеры с логарифмами?

Рассмотрим пример решения логарифма:

Задаем вопрос: в какой степени нужно возвести 7, чтобы получилось 49?

Ответ: во второй степени. Фонды, .

Какие бывают виды логарифмов?

Логарифм по основанию 10 называется логарифмом по основанию 10 и обозначается как . Пример десятичного логарифма: .

Логарифм по основанию e называется натуральным логарифмом и обозначается как . Пример натурального логарифма: .

Правило произведения логарифма

Логарифм произведения x и y представляет собой сумму логарифма x и логарифма y.

log b (x ∙ y) = log b (x) + log b (y)

Например:

log b (3 ∙ 7) = log b (3) + log b (7)

Правило произведения можно использовать для быстрого вычисления умножения с помощью операции сложения.

Произведение x, умноженное на y, представляет собой обратный логарифм суммы log b (x) и log b (y):

x ∙ y = log -1 (log b (x) + log b (y))

Правило логарифмического отношения

Логарифм деления x и y – это разность между логарифмом x и логарифмом y.

log b (x / y) = log b (x) — log b (y)

Например:

журнал b (3 / 7) = журнал b (3) — журнал b (7)

Правило частного можно использовать для быстрого вычисления деления с помощью операции вычитания.

Частное деления x на y является обратным логарифмом вычитания log b (x) и log b (y):

x / y = log -1 (log b (x) — log b (y))

Правило логарифма мощности

Логарифм показателя степени xi в степени y равен y, умноженному на логарифм x.

журнал б (ху) = у ∙ журнал б (х)

Например:

log b (2 · 8) = 8 ∙ log b (2)

Правило мощности можно использовать для быстрого вычисления показателя степени с помощью операции умножения.

Показатель xi в степени y равен обратному логарифму произведения y и log b (x):

xy = log -1 (y ∙ log b (x))

Базовый переключатель логарифма

Логарифм c по основанию b равен 1, деленному на логарифм по основанию c числа b.

журнал b (с) = 1 / журнал с (б)

Например:

журнал 2 (8) = 1 / журнал 8 (2)

Изменение основания логарифма

Логарифм x по основанию b равен основанию c логарифма x, деленному на логарифм b по основанию c.

журнал b (x) = журнал c (x) / журнал c (b)

Логарифм 0

Логарифм нуля по основанию b не определен:

журнал b(0) не определен

Предел около 0 минус бесконечность:

Логарифм 1

Логарифм единицы по основанию b равен нулю:

журнал б (1) = 0

Например:

журнал 2 (1) = 0

Логарифм основания

Базовый логарифм b равен единице:

журнал б (б) = 1

Например:

журнал 2 (2) = 1

Производная логарифма

когда

f (x) = журнал b (x)

Тогда производная f(x):

f’ (x) = 1 / (x ln (b))

Например:

когда

f (х) = журнал 2 (х)

Тогда производная f(x):

f'(x) = 1/(xln(2))

Логарифм интеграл

Интеграл от логарифма х:

∫ log b (x) dx = x ∙ (log b (x) — 1 / ln (b)) + C

Например:

∫ log 2 (x) dx = x ∙ (log 2 (x) — 1 / ln (2)) + C

Приближение логарифма

log 2 (x) ≈ n + (x/2 n — 1),

Логарифм степени и произведение числа и логарифма

Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм этого числа.

Применение логарифмических свойств в примерах

Пример 1

Найдите значение выражения, если .

Если в показателе степени логарифма вы видите частное, запишите его по формуле 3: .

Решение

Каждый логарифм имеет в показателе степень, а значит, поможет четвертая формула:

Первый логарифм можно вычислить по определению. И обратите внимание на второй логарифм: у него по основанию а, а в условии задачи дан логарифм по основанию b, значит, надо как-то заменить а на b. Конечно, формула 7 в помощь!

Подставьте числовое значение из условия, и все готово:

Отличный пример! Мы использовали почти все свойства логарифмов. Теперь вы еще немного потренируетесь, но помните, что это сложная задача!

Пример 2

Рассчитать: .

Вы получили ответ 27? Если да, то поздравляю: вы попались на самые популярные ошибки! Какая бы задача перед вами ни стояла, операции с логарифмами следует производить только по определениям и правилам. В примере вы видите деление двух логарифмов. Есть ли формула деления двух логарифмов?

Разумеется, это формула перехода к новому дну, которую мы приводили в разделе 6 выше. Применим его к этому случаю и посчитаем логарифм по определению, задав вопрос: в какую степень надо возвести основание, чтобы получить показатель степени?

И ответ 4, а не 27.

Практическое применение логарифмов

Помните, мы говорили выше, что логарифм сочетает в себе задачи для экзаменов, галактики и рога горного козла? И если с баллами по ЕГЭ все понятно, то про галактики и рога — интереснее.

Дело в том, что это логарифмическая спираль, которая задается формулой: . По этой логарифмической спирали растут рога горных козлов, закручиваются многие галактики (и даже та, в которой мы живем), а также чешуя некоторых морских животных, усики растений, ураганы, смерчи и многое другое.

Как видите, логарифмы имеют большое значение в нашей жизни, а не только результаты экзаменов!

Сложение и вычитание логарифмов.

Возьмем два логарифма с одинаковым основанием: loga x и loga y. Затем удалить можно выполнять операции сложения и вычитания:

лог х+ лог ау= лог а (ху);

журнал топор — журнал ау = журнал а (х: у).

Как видите, сумма логарифмов равна логарифму произведения, а разность логарифмов — логарифму частного. Также это верно, если числа a, x и y положительны и a ≠ 1.

Важно отметить, что основным аспектом этих формул являются одни и те же основания. Если базы отличаются друг от друга, эти правила не применяются!

Правила сложения и вычитания логарифмов с одинаковым основанием читаются не только слева направо, но и наоборот. В результате имеем теоремы для логарифма произведения и логарифма частного.

Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме их логарифмов <> при переписывании этой теоремы получаем следующее, если числа а, х и у положительные и а ≠ 1, то:

loga(xy) = logax + logay.

Логарифм частного двух положительных чисел равен разности между логарифмами делимого и делителя. Другими словами, если числа a, x и y положительны и a ≠ 1, то:

loga(x/y) = logax — logay.

Мы используем приведенные выше теоремы для решения примеров:

log315 = log3(3 • 5) = log33 + log35 = 1 + log35.

log102 + log105 = log10(2 • 5) = log10l0 =1.

лог325/16= лог325 — лог316.

log21000 — log2125 = log21000/125= log28 = 3.

Если числа x и y отрицательны, формула логарифма произведения становится бессмысленной. Поэтому запрещено писать:

log2 (-8) • (-4) = log2(-8) + log2(-4),

так как выражения log2(-8) и log2(-4) вообще не определены (логарифмическая функция y = log2x определена только для положительных значений аргументов).

Теорема произведения применима не только к двум, но и к неограниченному числу факторов. Это означает, что для всех натуральных k и любых положительных чисел x1, x2, . ,xn есть тождество:

loga(x1•x2•x3… xk) = logax1+ logax2+ logax3+ … + logaxk.

Из теоремы о частном логарифме можно получить еще одно свойство логарифма. Хорошо известно, что loga1= 0, поэтому

loga1/b= loga1-logab=-logab.

Итак, есть сходство:

loga1/b=-logab.

Логарифмы двух взаимно обратных чисел по одному основанию будут различаться только знаком. Так:

Log39= -log3 1/951/125= -log5125.

Степень можно выносить за знак логарифма

logabp=logab(а>0,а≠1,b>0)

(7)

И еще раз хочу попросить о точности. Рассмотрим следующий пример:

loga(f(x)2=2logaf(x)

Левая часть равенства, очевидно, определена для всех значений f(x), кроме нуля. Правая часть только для f(x)>0! Когда мы берем степень из логарифма, мы снова ограничиваем ОДЗ. Обратная процедура приводит к расширению диапазона допустимых значений. Все эти замечания относятся не только к степени числа 2, но и к любой четной степени.

Формула перехода к новому основанию

logab=logcblogca(a>0,a≠1,b>0,c>0,c≠1)

(8)

Тот редкий случай, когда ОДЗ не меняется при конвертации. Если вы тщательно выбрали базу c (положительную и не равную 1), формула перехода на новую базу полностью безопасна.

Если мы выберем число b в качестве нового основания c, мы получим важный частный случай формулы (8):

logab=1logba(a>0,a≠1,b>0,b≠1)

(9)

Сумма логарифмов. Разница логарифмов

Можно складывать логарифмы с одинаковым основанием:

Логарифмы с одинаковым основанием можно вычитать:

Мы видим, что исходные выражения состояли из логарифмов, которые отдельно не вычисляются, а используя свойства логарифмов, мы получили нормальные числа. Поэтому повторяем, что основные свойства логарифмов необходимо знать!

Обратите внимание, что формулы суммы и разности логарифмов верны только для логарифмов с одинаковым основанием! Если базы разные, эти свойства использовать нельзя!

Как решать уравнения с логарифмами: 2 способа с примерами

Есть много способов решить логарифмическое уравнение. Чаще всего в школе учатся решать логарифмическое уравнение, используя определение логарифма. То есть имеем уравнение вида:
Вспоминая определение логарифма, получаем следующее:
Мы запоминаем определение логарифма и получаем следующее: Это дает нам простое уравнение, которое мы можем легко решить.

При решении логарифмических уравнений важно помнить об области логарифмирования, поскольку аргумент f(x) должен быть больше нуля. Поэтому после решения логарифмического уравнения всегда делаем проверку!

Давайте посмотрим, как это работает на примере:

Воспользуемся определением логарифма и получим:

2х + 3 = 32

Теперь у нас есть простейшее уравнение, решить которое несложно:

2х + 3 = 9

2х = 6

х = 3

Возьмем чек. Подставляем найденное X в исходное уравнение:
Поскольку 32 = 9, последнее выражение верно. Следовательно, x = 3 является корнем уравнения.

Ответ: х = 3

Главный недостаток этого метода решения логарифмических уравнений в том, что многие ребята путают, что нужно возводить в степень. То есть при преобразовании logaf(x) = b многие возводят не a в степень b, а b в степень a. Такая досадная ошибка может лишить вас ценных баллов на экзамене.

Поэтому покажем еще один способ решения логарифмических уравнений.

Чтобы решить логарифмическое уравнение, мы должны привести его к такому виду, чтобы и правая, и левая части уравнения имели логарифмы с одним и тем же основанием. Это выглядит так:

Когда уравнение приведено к такому виду, мы можем «вычеркнуть» логарифмы и решить простое уравнение. Давайте разберемся на примере.

Снова решим то же уравнение, но теперь так:
В левой части у нас есть логарифм с основанием 2. Следовательно, мы должны преобразовать правую часть логарифма так, чтобы она также содержала логарифм с основанием 2.

Для этого напомним свойства логарифмов. Первое свойство, которое нам нужно здесь, это логарифмическая единица измерения. Помните, что:
То есть в нашем случае:
То есть в нашем случае: Возьмем правую часть нашего уравнения и начнем ее преобразовывать:
Теперь нам нужно добавить 2 к логарифмическому выражению. Для этого вспомним еще одно свойство логарифма:

Используя это свойство в нашем случае, мы получаем:
Преобразовали правую часть нашего уравнения в нужный нам вид и получили:
Теперь у нас есть логарифмы с одинаковым основанием в левой и правой частях уравнения, поэтому мы можем их вычеркнуть. В результате получаем следующее уравнение:

2х + 3 = 32

2х + 3 = 9

2х = 6

х = 3

Ответ: х = 3

Да, операций в этом методе больше, чем при решении с помощью определения логарифма. Но все действия логичны и последовательны, в результате чего меньше вероятность ошибиться. Кроме того, этот метод дает больше возможностей для решения более сложных логарифмических уравнений.

Возьмем другой пример:
Затем, как и в предыдущем примере, воспользуемся свойствами логарифмов и преобразуем правую часть уравнения следующим образом:
Затем, как и в предыдущем примере, воспользуемся свойствами логарифмов и преобразуем правую часть уравнения следующим образом: После преобразования правой части наше уравнение принимает следующий вид:
Теперь мы можем вычеркнуть логарифмы и тогда получим:
Теперь можно вычеркнуть логарифмы и тогда получим: Запомните свойства степеней:

3х — 5 = 4

3х = 9

х = 3

Теперь проверяем:
то последнее выражение верно. Следовательно, x = 3 является корнем уравнения.

Ответ: х = 3

Другой пример решения логарифмического уравнения:
Во-первых, давайте преобразуем левую часть нашего уравнения. Здесь мы видим сумму логарифмов с одинаковым основанием. Воспользуемся свойством суммы логарифмов и получим:
Во-первых, давайте преобразуем левую часть нашего уравнения. Здесь мы видим сумму логарифмов с одинаковым основанием. Воспользуемся свойством суммы логарифмов и получим: Теперь преобразуем правую часть уравнения:
После выполнения преобразований правой и левой частей уравнения получили:
Выполнив преобразования правой и левой частей уравнения, мы получили: Теперь мы можем вычеркнуть логарифмы:

Решаем это квадратное уравнение, находим дискриминант:

Проверим, подставив x1 = 1 в исходное уравнение:
Проверим, подставив x1 = 1 в исходное уравнение:
Верно, поэтому x1 = 1 является корнем уравнения.

Теперь подставим x2 = -5 в исходное уравнение:
Поскольку аргумент логарифма должен быть положительным, выражение неверно. Следовательно, x2 = -5 — нечетный корень.

Ответ: х = 1

Сравнение логарифмов

Если 0

1

2

, Это

бревно

один

икс

1

>лог

один

икс

2

— меняется знак неравенства

Если а > 1 и 0

1

2

, Это

бревно

один

икс

1

один

икс

2

— знак неравенства не меняется

Если 1 1 то войти

один

икс

>лог

б

икс

Если 0 1, то войти

один

икс

>лог

б

икс

Если 1

один

икс

б

икс

Если 0

один

икс

б

икс

Логарифмы со специальным обозначением

Для некоторых логарифмов в математике введены специальные обозначения. Это связано с тем, что такие логарифмы встречаются особенно часто. Эти логарифмы включают десятичный логарифм и натуральный логарифм. Для этих логарифмов справедливы все правила, как и для обычных логарифмов.

Десятичный логарифм

Десятичный логарифм обозначается lg и имеет основание 10, т.е.

Чтобы вычислить логарифм по основанию 10, возведите 10 в степень X.

Например, посчитаем lg100

Натуральный логарифм

Натуральный логарифм обозначается ln и имеет основание e, т е

Чтобы вычислить этот логарифм, возведите число e в степень x. Некоторые из вас спросят, что это за число e? Число e является иррациональным числом, т.е его точное значение не может быть вычислено e = 2,718281…

Сейчас мы не будем подробно разбирать, зачем нужно это число, просто запомните его

А рассчитать можно так:

Пример решения логарифмического уравнения с разными основаниями

Выше мы решали логарифмические уравнения, в которых участвовали логарифмы с одинаковым основанием. Но что, если логарифмы имеют разные основания? Например,

Правильно, нужно привести логарифмы правой и левой части к одному основанию!

Итак, давайте посмотрим на наш пример:
Преобразуем правую часть нашего уравнения:

Мы знаем, что 1/3 = 3-1. Мы также знаем свойство логарифма, а именно удаление степени из логарифма:
Мы используем эти знания и получаем:
Но пока у нас стоит знак «-» перед логарифмом в правой части уравнения, мы не имеем права их вычеркивать. К логарифмическому выражению необходимо добавить знак «-». Для этого воспользуемся еще одним свойством логарифма:
Но пока у нас стоит знак «-» перед логарифмом в правой части уравнения, мы не имеем права их вычеркивать. К логарифмическому выражению необходимо добавить знак «-». Для этого воспользуемся еще одним свойством логарифма:

Затем мы получаем:
Теперь в правой и левой частях уравнения у нас стоят логарифмы с одинаковыми основаниями, и мы можем их вычеркнуть:
Давай проверим:
Проверяем: если преобразовать правую часть, используя свойства логарифма, то получим:
Это верно, поэтому x = 4 является корнем уравнения.

Ответ: х = 4.

Пример решения логарифмического уравнения с переменными основаниями

Выше мы разобрали примеры решения логарифмических уравнений, основание которых было постоянным, т.е некой величиной – 2, 3, ½ . Но основание логарифма может содержать X, тогда такое основание будем называть переменными. Например, logx+1(x2+5x-5) = 2. Мы видим, что основание логарифма в этом уравнении равно x+1. Как решить уравнение такого типа? Будем решать ее по тому же принципу, что и предыдущие. Преобразуем наше уравнение так, чтобы слева и справа были логарифмы с одинаковым основанием.
Преобразуем правую часть уравнения:
Преобразуйте правую часть уравнения: теперь логарифм в правой части уравнения имеет то же основание, что и логарифм в левой части:
Теперь мы можем вычеркнуть логарифмы:
Теперь можно вычеркнуть логарифмы: Но это уравнение не эквивалентно исходному уравнению, так как не учитывается область определения. Запишем все требования, связанные с логарифмом:

1. Аргумент логарифма должен быть больше нуля, поэтому:

2. Основание логарифма должно быть больше 0 и не должно быть равно единице, поэтому:

Резюмируем все требования системы:

Мы можем упростить эту систему требований. См x2+5x-5 больше нуля, а соответствует (x + 1)2, что опять же больше нуля. Следовательно, требование x2+5x-5 > 0 выполняется автоматически и нам не нужно его решать. Тогда наша система сведется к следующему:
Перепишем нашу систему:
Перепишем нашу систему: Следовательно, наша система будет иметь следующий вид:
Теперь решим наше уравнение:
Теперь решаем наше уравнение: Справа у нас квадрат суммы:
Этот корень удовлетворяет нашим требованиям, так как 2 больше -1 и не равно 0. Следовательно, x = 2 является корнем нашего уравнения.

Для полной уверенности можем выполнить проверку, заменив х = 2 в исходном уравнении:

Поскольку 32=9, последнее выражение истинно.

Ответ: х = 2