Логарифмы: таблица-шпаргалка свойств, формулы, примеры, график

Что такое логарифм?

Лучший способ понять это — решить уравнения графически. Нарисуем график и с его помощью решим уравнения:

х=1

х=2

Большой! Теперь решим уравнение .

И в этом случае нельзя назвать точное значение, то есть мы понимаем, что корень больше единицы и меньше двух, но более точных данных нет.

Это корень, данный логарифмом, а именно (читается как «логарифм пяти по основанию три» или «логарифм по основанию три из пяти»).

Смысл мы определили — теперь перейдем к общему определению логарифма.

Логарифм b по основанию a — это показатель степени с основанием a, равным b. То есть, проще говоря, логарифм — это степень, в которую нужно возвести a, чтобы получить b. Однако логарифм имеет условия или ограничения, при которых основание a больше нуля и не равен единице, а показатель степени b больше нуля.

Читайте также: Векторное пространство: размерность и базис, разложение вектора по базису, базис линейного пространства

Общее описание.

Логарифм данного числа — это показатель степени, в которую нужно возвести другое число, называемое основанием логарифма, чтобы получить данное число. Например, основание 10 — это логарифм 100 2. Другими словами, 10 нужно возвести в квадрат, чтобы получить 100 (102 = 100). Если n — заданное число, b — число по основанию, а l — логарифм, то bl = n.Число n также называется антилогарифмом по основанию bi числа l. Например, антилогарифм 2 по основанию 10 равно 100. Это можно записать как logb n = l и antilogb l = n.

Важнейшие свойства логарифмов:

Любое положительное число, кроме единицы, может быть основанием логарифмов, но, к сожалению, оказывается, что если b и n — рациональные числа, редко существует рациональное число l такое, что bl = n.

Однако можно определить иррациональное число l, например такое, что 10l = 2; это иррациональное число l может быть аппроксимировано рациональными числами с любой необходимой точностью. Получается, что в приведенном примере l примерно равно 0,3010, и это примерное значение логарифма по основанию 10 числа 2 можно найти в четырехзначных таблицах десятичных логарифмов.

Логарифмы по основанию 10 (или десятичные логарифмы) настолько часто используются в вычислениях, что их называют обыкновенными логарифмами и записывают как log2 = 0,3010 или log2 = 0,3010, опуская явное указание логарифма. Логарифмы по основанию e, трансцендентному числу, приблизительно равному 2,71828, называются натуральными логарифмами. В основном они встречаются в работах по математическому анализу и его приложениям к различным наукам. Натуральные логарифмы также записываются без явного указания основания, но с использованием специальной записи ln: например, ln2 = 0,6931, потому что e0,6931 = 2..e ЧИСЛО См также

История.

Принцип, лежащий в основе любой системы логарифмов, известен очень давно и восходит к древней вавилонской математике (около 2000 г до н.э.). В те времена для расчета сложных процентов использовалась интерполяция между табличными значениями положительных целых степеней. Гораздо позже Архимед (287–212 гг до н э.) использовал силу числа 108, чтобы найти верхний предел числа песчинок, необходимых для полного заполнения известной в то время вселенной. Архимед обратил внимание на свойство показателей, лежащее в основе эффективности логарифмов: произведение степеней равно сумме показателей.

В позднем Средневековье и начале Нового времени математики все чаще стали обращаться к взаимосвязи между геометрической и арифметической прогрессиями. М. Штифель в своем сочинении «Арифметика целых чисел» (1544 г.) дал таблицу положительных и отрицательных степеней числа 2:

Штифель заметил, что сумма двух чисел в первой строке (строка показателей) равна показателю степени двух, который равен произведению двух соответствующих чисел в нижней строке (строке показателей). В связи с этой таблицей Штифель сформулировал четыре правила, соответствующие четырем современным правилам операций над показателями или четырем правилам операций над логарифмами: сумма в верхней строке соответствует произведению в нижней строке; вычитание в верхней строке соответствует делению в нижней строке; умножение в верхней строке соответствует возведению в степень в нижней строке; деление в верхнем ряду соответствует корневой розетке в нижнем ряду.

По-видимому, правила, сходные с правилами Штифеля, привели Дж. Напера к формальному введению первой системы логарифмов в описании чудесной таблицы логарифмов, опубликованной в 1614 г. За несколько лет до публикации своей работы Нейпир получил из Дании известие о том, что у его помощников в обсерватории Тихо Браге есть метод преобразования произведений в суммы. Метод, упомянутый в сообщении Непера, был основан на использовании тригонометрических формул типа

поэтому таблицы Нейпира состояли в основном из логарифмов тригонометрических функций. Хотя в определение, предложенное Непером, понятие основания не входило явно, число, соответствующее основанию логарифмической системы, в его системе играло число (1 – 10–7)ґ107, примерно равное 1/е.

Независимо от Нейпера и почти одновременно с ним система логарифмов, весьма сходная по типу, была изобретена и опубликована в Праге Дж. Бурги, опубликовавшим в 1620 г. Таблицы арифметических и геометрических прогрессий. Это были таблицы антилогарифмов по основанию (1 + 10–4) ґ104, достаточно хорошее приближение числа e.

В системе Непера логарифм числа 107 принимался за ноль, а по мере уменьшения чисел логарифмы увеличивались. Когда Г. Бриггс (1561-1631) посетил Непера, оба согласились, что удобнее использовать число 10 в качестве основания и считать логарифм равным нулю. По мере увеличения чисел их логарифмы будут увеличиваться. Таким образом, мы получили современную систему десятичных логарифмов, таблицу которой Бриггс опубликовал в своей работе «Логарифмическая арифметика» (1620). Логарифмы по основанию e, хотя и не совсем те, что были введены Нейпиром, часто называют логарифмами Нейпира. Термины «характеристика» и «мантисса» были предложены Бриггсом.

По историческим причинам в первых логарифмах использовались приближения к числам 1/е и е. Несколько позже представление о натуральных логарифмах было связано с изучением площадей под гиперболой ху = 1 (рис. 1). В 17 веке было показано, что площадь, ограниченная этой кривой, осью абсцисс и ординатами х = 1 и х = а (на рис. 1 эта площадь покрыта более толстыми и редкими точками) экспоненциально возрастает при экспоненциальном увеличении а. Именно эта зависимость возникает в правилах действий над показателями степени и логарифмами. Это дало повод называть логарифмы Непера «гиперболическими логарифмами».

Логарифм как обратная функция к показательной

Логарифмическая функция y = logb(x) является обратной функцией экспоненты x=b y.

Итак, если мы вычислим экспоненциальную функцию логарифма x (x > 0), мы получим:
f (f -1(x)) = blogb(x) = x

Или, если мы вычислим логарифм экспоненциальной функции x:
f -1 (f (x)) = logb (bx) = x

Виды логарифмов

• loga b — логарифм числа b по основанию a (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
• lg b — логарифм по основанию 10 (логарифм по основанию 10, а = 10).
• ln b — натуральный логарифм (логарифм по основанию e, a = e).

Натуральный логарифм (ln)

Натуральный логарифм – это логарифм по основанию e.

пер(х) = лог(х)

Число e является константой, которую можно определить как предел:

или вот так:

Обратный логарифм

Обратный логарифм (или антилогарифм) числа n — это число, логарифм которого по основанию а равен n.

муравей логан = ан

Логарифмическая шкала

Если мы возьмем прямую и отметим на ней точки через каждый сантиметр, то получим арифметическую шкалу. Арифметика — потому что каждая новая отметка считается арифметической операцией — сложением шага и предыдущего значения:

Но если вместо сложения взять логарифм, скажем, по основанию 10, то каждая новая отметка будет зависеть от значения десятичного логарифма:

Выглядит странно, но логарифмическая шкала постоянно используется в финансах и маркетинге, когда нужно оценить рост или падение стоимости продукта. Если взять обычную арифметическую шкалу, то разница между парами (1, 2) и (9, 10) будет одинаковой — 1 балл.

Но при этом в первом случае цена увеличилась в 2 раза, с 1 до 2, а во втором случае всего на 10%. При логарифмическом масштабе рост цены будет выглядеть логичнее:

Таблица свойств логарифмов

Ниже приведены основные свойства логарифмов в табличной форме.

Свойство	Формула	Пример
Основное логарифмическое тождество	a loga b = b» data-order=»a loga b = b«> а лога б = б	2log28 = 8″ порядок данных=»2log28 = 8″>2log28 = 8
Логарифм произведения	logb (x ⋅ y) = logb x + logb y» data-order=»logb (x ⋅ y) = logb x + logb y»>logb (x ⋅ y) = logb x + logb y	log10(3 ⋅ 7) = log103 + log107″ порядок данных=»log10(3 ⋅ 7) = log103 + log107″>log10(3 ⋅ 7) = log103 + log107
Деление/частный логарифм	logb (x / y) = logb x — logb y» data-order=»logb (x / y) = logb x — logb y»>logb (x / y) = logb x — logb у	log10 (3 / 7) = log103 — log107″ порядок данных=»log10(3 / 7) = log103 — log107″>log10(3/7) = log103 — log107
Степенный логарифм	logb (xy) = y ⋅ logb x»data-order=»logb (x y) = y ⋅ logb x»> logb (xy) = y ⋅ logb x	log10(28) = 8 ⋅ log102″ порядок данных=»log10(28) = 8 ⋅ log102″>log10(28) = 8 ⋅ log102
Логарифм числа по основанию в степени
Корневой логарифм
Перестановка основания логарифма	logb c = 1 / logc b «данные-порядок=»logb c = 1 / logc b»>logb c = 1 / logc b	log28 = 1 / log82 «заказ данных=»log28 = 1 / log82»>log28 = 1/log82
Переход на новый фундамент	logb x = logc x / logc b «порядок данных=»logb x = logc x / logc b»>logb x = logc x / logc b	log28 = log108 / log102″ порядок данных=»log28 = log108 / log102″>log28 = log108 / log102
Производная логарифма	f (x) = logb x ⇒ f ‘(x) = 1 / (x ⋅ ln b)» data-order=»f(x) = logb x ⇒ f ‘(x) = 1 / (x ⋅ ln b)» data-colspan=»2″ data-rowspan=»1″>f(x) = logb x ⇒ f ‘(x) = 1 / (x ⋅ ln b)
Логарифмический интеграл	∫ logb (x) dx = x ⋅ (logb x — 1 / ln b) + C» data-order=»∫ logb (x) dx = x ⋅ (logb x — 1 / ln b) + C» data-colspan=»2″ data-rowspan=»1″>∫ logb (x) dx = x ⋅ (logb x — 1 / ln b) + C
Логарифм отрицательного числа	logb x не определен для x ≤ 0″ data-order=»logb x не определен при x ≤ 0″ data-colspan=»2″ data-rowspan=»1″>logb x не определен для x ≤ 0
Логарифм числа 0	logb 0 не определен» порядок данных=»logb 0 не определен» data-colspan=»2″ data-rowspan=»1″>logb 0 не определен
Логарифм числа 1	logb 1 = 0, b > 0, b ≠ 0″ data-order=»logb 1 = 0, b > 0, b ≠ 0″>logb 1 = 0, b > 0, b ≠ 0	log21 = 0″ порядок данных=»log21 = 0″>log21 = 0
Логарифм числа по основанию	logb b = 1, b > 0, b ≠ 0″ data-order=»logb b = 1, b > 0, b ≠ 0″> log b = 1, b > 0, b ≠ 0	log22 = 1″ порядок данных=»log22 = 1″>log22 = 1
Логарифм бесконечности	lim logb x = ∞, поскольку x → ∞»data-order=»lim logb x = ∞, при x → ∞» data-colspan=»2″ data-rowspan=»1″>lim logb x = ∞, поскольку x → ∞

Пример №1

Найдите значение выражения:

Решение:

Отвечать:

Теорема:

Для всех значений
и
истинное равенство

Доказательство:

Способ 1. Согласно основному логарифмическому тождеству имеем

Логарифмируя левую и правую части этого тождества по основанию а, получаем

Используя тождество (3), имеем

Потому что
Следовательно, левую и правую части этого равенства можно разбить на
В результате получаем тождество (6).

Способ 2. Пусть
после этого
Логарифмируя обе части этого равенства по основанию а, получаем

Где мы получаем

Так,

Тождество (6) называется формулой перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию.

Обычно в таблицах-калькуляторах приводятся значения логарифмов по основанию 10, а когда нужно найти значение логарифма по другому основанию, пользуются формулой перехода от логарифма по основанию числа к логарифм другого основания.

Следствием тождества (6) с основанием a = c является формула

(убедитесь в этом сами).

Пример №2

Найдите значение выражения, если

Решение:

согласно тождеству (6) имеем

используя тождество (3), получаем

используя тождество (1), имеем

при условии
мы получаем

6)

на основании тождеств (6) и (7) получаем

по тождеству (3) и с учетом условия имеем

Отвечать:

Следствие 3. Применяются следующие тождества:

Тождества (8) и (9) можно доказать, используя уже доказанные тождества из этого раздела.

Пример №3

Упростить выражения

Решение:

Используя определение логарифма, представим числа 1 и 3 как логарифмы по основанию 2:

по свойству (2) логарифмов имеем

используя формулу (7), получаем

Отвечать:

Развитие науки, особенно астрономии, уже в 16 веке привело к необходимости громоздких вычислений при умножении и делении многозначных чисел. Эти вычислительные проблемы были в некоторой степени решены с открытием логарифмов и созданием таблиц логарифмов.

Формулы и свойства логарифмов

Для всех a>0, a≠1 и b>0, x>0, y>0 применимы следующие свойства логарифмов.

Именно это свойство логарифмов позволяет вычислять точные значения в отличие от других методов расчета.

Неточность других методов расчета основана на неправильном соотнесении остаточного члена логарифмического равенства.

При этом каждое из свойств индивидуально, как и каждый его член. Все это позволяет сделать вывод, что благодаря формулам, выведенным математиком, расчеты в рамках неравенств становятся простыми.

Основное логарифмическое тождество

Основание а, возведенное в степень логарифма по основанию а, будет равно b.

алогаб=б

Логарифм единицы

Логарифмический ноль. Независимо от корня логарифма, если аргумент равен 1, логарифм всегда равен 0.

Вычисления такого логарифма используются в баллистике при расчете траектории объекта, находящегося в непосредственной близости от Земли. Это связано с наиболее точным значением ускорения свободного падения, равным 9,81. А по мере удаления от поверхности Земли эта величина меняется, уменьшаясь пропорционально удалению от поверхности.

лог1=0

Логарифм числа, равного основанию

Логарифмическая единица. Если аргумент и основание логарифма совпадают, то значение логарифма будет равно единице.

логаа=1

Логарифм числа, обратного основанию

Если аргумент логарифма является обратным основанием, значение логарифма будет равно -1.

loga1a=-1

Логарифм произведения двух положительных чисел

Сумма логарифмов. При умножении логарифмических чисел можно сделать их суммой двух логарифмов, которые будут иметь одинаковое основание.

logax y=logax+logay

Логарифм частного

Логарифм частного. Когда мы делим числа, мы получаем разность двух логарифмов с одним и тем же основанием.

logaxy=logax-logay
loga1y=-logay

Логарифм степени положительного числа

Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм этого числа.

logaxn=nlogax

Логарифм корня числа

Логарифм корня равен частному от деления логарифма числа корня на показатель степени корня.

logaxn=logaxn

Основание логарифма в степени

loganx=logaxn, где n≠0logax=logacxc

Формула перехода к новому основанию

logax=logbxlogba
logax=1logxa

Производная логарифма

Производная по основанию логарифмической функции равна единице, деленной на произведение сублогарифмической функции и натурального логарифма по основанию.

При вычислении производной логарифма необходимо учитывать ложный коэффициент производной, где увеличивается гиперболическая составляющая. Это главное условие правильного нахождения производной логарифма. При этом нельзя упускать при расчете второстепенные составляющие. К ним относятся расчеты, в которых используется общая сумма логарифмов, а также пропорциональная составляющая двух вычисляемых логарифмов. Это приближение можно использовать не только для вычисления производной натурального логарифма, но и при вычислении производной десятичного логарифма при возведении в степень х по основанию а.

logax’=1xlna

Логарифмическая функция

Функция, определяемая формулой f(x)=loga(x), является логарифмической функцией с основанием а. В этом случае а>0, а≠1.

Пример №4

Упростите выражение
Решение:

Приведем все логарифмы к основанию 5. Имеем:

Часто используются логарифмы по основанию 10 и 10
они называются десятичными и натуральными логарифмами. Вместо 
написать соответственно 

Рассмотренные в разделе свойства логарифмов верны при условии, что переменные имеют положительные значения. С помощью модуля вы можете расширить использование некоторых формул. Например:

Для преобразования выражений, решения уравнений и неравенств используют и другие формулы, содержащие логарифмы:

Докажите их сами.

Пример №5

Рассчитать: 

Решение:

Пример №6

Решите уравнение: 

Решение:

Позволять 
после этого 
Замена
в это уравнение.

Мы получаем: 
отсюда 

Потому что 
или 

Отвечать. 

Пример №7

Находить
из равенства:

Решение:

Потому что 

Отвечать. 

Пример №8

Рассчитать
если

Решение:

Отвечать. 

График функции логарифма

График логарифмической функции (логарифма) может быть двух видов в зависимости от значения основания а:

• а > 1
• 0 < а < 1

Пользование таблицами обычных логарифмов.

Двойной логарифм числа — это показатель степени, в которую нужно возвести 10, чтобы получить данное число. Так как 100 = 1, 101 = 10 и 102 = 100, мы сразу получаем, что log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2 и т д для увеличения целых степеней числа 10. Соответственно, 10–1 = 0,1, 10–2 = 0,01 и, следовательно, log0,1 = –1, log0,01 = –2 и т д для всех отрицательных целых степеней 10. Двоичные логарифмы остальных чисел заключены между логарифмами ближайших целых степеней 10; log2 должен быть между 0 и 1, log20 должен быть между 1 и 2, а log0.2 должен быть между -1 и 0.

Таким образом, логарифм состоит из двух частей, целой и десятичной части между 0 и 1. Целая часть называется свойством логарифма и определяется самим числом, дробь называется мантисса и может быть найдена из таблиц. Кроме того, log20 = log(2×10) = log2 + log10 = (log2) + 1. Логарифм 2 равен 0,3010, поэтому log20 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Соответственно log0,2 = log(2ё10) = log2 — log10 = (log2) — 1 = 0,3010 — 1. Вычитая, получаем log0,2 = -0,6990. Однако удобнее представить log0,2 как 0,3010-1 или как 9,3010-10; можно также сформулировать общее правило: все числа, полученные из данного числа путем умножения в степени 10, имеют одну и ту же мантиссу, равную мантиссе данного числа. В большинстве таблиц даны мантиссы чисел от 1 до 10, так как мантиссы всех остальных чисел можно получить из приведенных в таблице.

В большинстве таблиц логарифмы даны с точностью до четырех или пяти знаков после запятой, хотя существуют семизначные таблицы и таблицы с еще большим количеством знаков после запятой. Научиться пользоваться такими таблицами проще всего на примерах. Чтобы найти log3,59, сначала нужно отметить, что число 3,59 находится между 100 и 101, поэтому его характеристика равна 0. Находим в таблице (слева) число 35 и переходим по строке к столбцу, имеющему число 9 вверху; пересечение этого столбца и строки 35 равно 5551, поэтому log3,59 = 0,5551.

Чтобы найти мантиссу числа с четырьмя значащими цифрами, необходимо прибегнуть к интерполяции. В некоторых таблицах интерполяция облегчается пропорциональными частями, указанными в последних девяти столбцах в правой части каждой страницы таблицы. Теперь найдите log736.4; число 736,4 лежит между 102 и 103, поэтому характеристика его логарифма равна 2. В таблице мы находим строку слева, которая равна 73, и столбец 6. На пересечении этой строки и этого столбца находится число 8669. Среди линейных частей находим столбец 4. На пересечении между строкой 73 и столбцом 4 число равно 2. Если к 8669 прибавить 2, то получим мантиссу — она ​​равна 8671. Таким образом, log736,4 = 2,8671.

Специальные таблицы.

Первоначально логарифмы были изобретены для использования их свойств logab = loga + logb и loga/b = loga — logb для преобразования произведений в суммы и частных в разности. Другими словами, если известны loga и logb, мы можем легко найти логарифм произведения и частного, используя сложение и вычитание. Однако в астрономии часто необходимо найти log(a + b) или log(a – b) заданных значений loga и logb.

Конечно, можно было бы сначала найти a и b из логарифмов, затем произвести указанное сложение или вычитание и, снова обратившись к таблицам, найти нужные логарифмы, но такая процедура потребовала бы трех визитов к таблицам. З. Леонелли в 1802 г опубликовал таблицы т н. Гауссовы логарифмы — логарифмы сложения сумм и разностей — что позволило ограничиться одним применением таблиц.

В 1624 г. И. Кеплер предложил таблицы пропорциональных логарифмов, т е логарифмов чисел а/х, где а — положительная константа. Эти таблицы в основном используются астрономами и мореплавателями.

Пропорциональные логарифмы для a = 1 называются логарифмами и используются в расчетах при работе с произведениями и частными. Логарифм числа n равен логарифму обратной величины числа; de cologne = log1/n = — logn. Если log2 = 0,3010, то colog2 = — 0,3010 = 0,6990 — 1. Преимущество использования логарифмов состоит в том, что при вычислении значения логарифма в выражениях типа pq/r тройная сумма положительных десятичных дробей logp + logq + cologr легче найти, чем смешанную сумму и разность logp + logq — logr.

Зачем нужны логарифмы в жизни

Вокруг нас и в повседневной жизни мы сталкиваемся с гораздо большим количеством логарифмов, чем кажется. Вот некоторые примеры.

Децибелы, где измеряется относительная громкость любого звука, рассчитываются с использованием десятичного логарифма. Относительный — потому что рассчитывается от минимального порога громкости, который человек может только слышать. Например, если громкость звука 20 децибел, это значит, что он в 100 раз громче самого тихого, а если 30 децибел, то в 1000 раз.

В химии активность ионов водорода также оценивают по логарифмической шкале.

Выдержки и диафрагмы в фотографии тоже изменяются логарифмически — каждое новое значение больше или меньше предыдущего в определенное количество раз.

В ракетостроении уравнение Циолковского используется для расчета скорости ракеты. Это уравнение основано на логарифмической зависимости массы ракеты с топливом и без него.

Логарифмы в природе

Большинство логарифмов можно найти в природе в виде логарифмической спирали. Математическая формула спирали выглядит так:

Если мы хотим нарисовать это уравнение, оно будет выглядеть так:

Логарифмическая спираль в математике.

А вот логарифмическая спираль в природе — в ракушках, подсолнухах и капусте. С капустой все же связана еще одна интересная тема — фракталы, но о них мы поговорим в другой раз.

Даже рога горных козлов закручиваются по логарифмической спирали: