Ломаная линия: звенья, вершины, длина

Построение и измерение отрезка

Произвольный отрезок можно построить двумя способами:

1. Отметьте часть прямой, края этой части отметьте точками (рис. 7-а).
2. Обозначьте на листе бумаги (на плоскости) две произвольные точки и соедините их прямой линией (рис. 7-б).

Рис. 7 Построение произвольного отрезка

В отличие от прямой линии и луча, которые длятся бесконечно, отрезок прямой имеет длину, поэтому его можно измерить.

Вы можете измерить линию:

• относительным образом (сравните отрезки между собой);
• абсолютным способом (длину определить измерительным инструментом).

Вы можете сравнить сегменты друг с другом с помощью компаса или измерительного компаса. Для этого сначала поместите иглу на один конец сегмента, затем совместите другую иглу или грифельный стержень (если используется обычный чертёжный циркуль) с другим концом сегмента (рис. 8).

После этого нужно перенести циркуль на второй отрезок и поставить иголку на любой его конец. Если вторая стрелка компаса совпадает с другим концом отрезка, то эти отрезки равны.

Рис. 8 строк сравнения

На рис. 8 показано, что:

• отрезок AB равен отрезку DE (просто пишется AB=DE);
• ФГ<>
• Гонконг>AB

Длину отрезка измеряют линейкой с делениями или другим измерительным инструментом.

Помнить

Длина сегмента — это расстояние между концами этого сегмента.

Равные отрезки – это отрезки, имеющие одинаковую длину.

На рисунке 9 измеряются длины сегментов на предыдущем рисунке. Проверьте, правильно ли мы сравнили эти отрезки с компасом?

Рис. 9 Измерение длины

Помимо произвольного, необходимо также построить отрезок определенной длины.

Для этого на плоскости отмечают один конец отрезка (ставят точку), затем с помощью линейки отмеряют нужную длину отрезка (например, 9 см), на другом конце отрезка ставят точку и соедините оба конца линией.

Рис. 10 Построение отрезка заданной длины

Помнить!

Отрезок линии — это кратчайшее расстояние между двумя точками.

Вы можете убедиться в этом сами на практике. Возьмите любой твердый длинный предмет, например линейку и бечевку.Линейка будет играть роль отрезка, а из шнурка сделайте изогнутую и ломаную линию, как показано на рисунке 11, и соедините два конца линейки с их . Затем выпрямите нить и сравните длину с длиной линейки.

Рис. 11 Кривая, полилиния, сегмент

Ломаная линия

Определение

Штриховая линия — это линия, состоящая из отрезков, принадлежащих разным прямым линиям, причем эти отрезки последовательно соединены друг с другом.

Рис. 12 полилиний

Вершины полилинии называются концами отрезков, из которых она состоит.
Звенья ломаной линии называются составляющими ее отрезками.
Смежные ссылки — это ссылки, имеющие общие вершины.
Смежные ссылки не могут принадлежать одной строке.
Длина ломаной линии равна сумме длин всех ее составляющих.

Рисунок 12 показывает, что:

• КЛМН — ломаная линия;
• K, L, M, N – вершины ломаной KLMN;
• KL, LM, MN — ссылки на полилинию KLMN;
• KL и LM — смежные звенья;
• LM и MN — соседние каналы;
• KL и MN не являются соседними звеньями.

Ломаную линию называют по названиям вершин, соблюдая их порядок. Так что называть ломаную линию на рисунке 11 как KLMN или NMLK правильно, но MLKN или MNLK неправильно.

Количество звеньев в ломаной строке может быть любым, бесконечным, но минимум — два звена.

Замкнутая полилиния — это полилиния, имеющая одинаковые начальную и конечную точки, т е начинающаяся и заканчивающаяся в одной и той же точке.
Открытая (не замкнутая) полилиния начинается и заканчивается в разных точках.

Имя открытой полилинии начинается с имени вершины, из которой она начинается. Замкнутую полилинию можно вызвать из любой из вершин.

Рисунок 12:

• ABCDE — замкнутая ломаная;
• FGHKLM — открытая полилиния

Рис. 12. Замкнутые и открытые ломаные линии

Самопересекающаяся полилиния — это полилиния, имеющая не менее двух пересекающихся звеньев.

Самопересекающимися могут быть как замкнутые, так и открытые ломаные линии.

Рис. 13. Саморазрезающиеся ломаные линии

На рис. 13 замкнутая ломаная ABCD имеет два пересекающихся звена: BC∩DA, а незамкнутая ломаная EFGHI — три: EF∩HI и FG ∩HI.

Читайте также: Модуль числа, определение и свойства

Обозначение ломаной линии

Чтобы обозначить на чертеже ломаную линию, необходимо указать названия точек пересечения, в которых она меняет направление, латинскими буквами.

Из чего состоит ломаная линия

Как вы уже заметили, на рисунках есть связи — отрезки, составляющие ломаную линию. Но начальной и конечной точками этих составных частей являются вершины. На изображении вершинами ломаной ABCD являются позиции A, B, C, D.

Признак замкнутости ломаной линии

Классификация ломаных осуществляется в первую очередь по замыкающему свойству.

Замкнутая полилиния — это фигура, конечное положение которой совпадает с начальным положением. Другими словами, когда оно заканчивается там же, где и началось.

Яркими представителями являются треугольник и квадрат, а также другие виды многоугольников:

Открытая полилиния — это фигура, которая достигает положения, отличного от исходного.

Время от времени у учащихся возникает вопрос: «Как узнать, замкнутая фигура или нет?». Ответ будет очень простым: «Когда количество отрезков равно количеству вершин, оно замкнуто, а когда соблюдается неравенство, оно открыто».

В качестве дополнительного типа рассматривается понятие самопересекающейся ломаной линии, которая пересекает свой путь. Для этого срока не имеет значения, сколько раз произошло пересечение.

На рисунке показаны точки пересечения — S, P, а также вершины — A, B, C, D, E, F.

Иногда спрашивают — «Могут ли вершины быть пересечениями?». Чтобы найти ответ, обратите внимание на рисунок с перекрещивающейся и одновременно замыкающей — ломаной линией:

Изображение отличается от предыдущего: отрезок EB был перемещен, поэтому вершине A был присвоен статус пересечения.

Виды ломанной

1. Нет самопересечения — ни одно звено полилинии не пересекается с другим.
2. имеющие самопересечение — не менее двух звеньев полилинии имеют общую точку, не считая общей вершины.
3. Замкнутая — первая и последняя точки ломаной совпадают.

Замкнутая и незамкнутая ломаная

Открытая ломаная — это ломаная линия, концы которой не совпадают друг с другом:

открытая ломаная ABCD.

Замкнутая ломаная — это ломаная линия, концы которой совпадают друг с другом:

замкнутая ломаная ABC.

Самопересекающаяся ломаная

Замкнутые и открытые полилинии могут быть самопересекающимися. Самопересекающаяся полилиния — это полилиния, звенья которой пересекаются в одной или нескольких точках. Например:

точки F, T, K являются точками самопересечения, т е точками пересечения ломаной самой себя.

Замкнутая ломаная линия, звенья которой не пересекаются, называется многоугольником:

многоугольник АВСДЕ.

Многоугольник как разновидность замкнутой ломаной

Вариантом описываемой геометрической фигуры является многоугольник. Точки многоугольника являются его вершинами, а его сегменты называются сторонами.

1. Если вершины принадлежат одной стороне многоугольника, они называются смежными.
2. Если отрезок соединяет любые две несмежные вершины, он называется диагональю.
3. Если многоугольник имеет n вершин, он называется n-угольником. У такой фигуры число сторон равно n.
4. Такая ломаная линия делит плоскость на 2 части — внешнюю и внутреннюю.
5. Если точки многоугольника лежат по одну сторону от прямой и проходят через 2 соседние вершины, его обычно называют выпуклым.
6. Угол выпуклого многоугольника при данной вершине — это угол, образованный двумя сторонами, с которыми эта вершина является общей.
7. Внешний угол выпуклого многоугольника при данной вершине — это угол, смежный с внутренним углом многоугольника при той же вершине.

Примерами многоугольников являются квадраты, треугольники, пятиугольники. Рассмотрим подробнее отличительные черты этих фигурок.

Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой. Эти точки попарно соединены отрезками.

Четырехугольник в геометрии — это фигура, имеющая четыре угла и четыре стороны. Существует большое разнообразие квадратов – это могут быть трапеции, квадраты, параллелограммы, ромбы.

У трапеции две параллельные стороны, называемые основаниями. Две другие стороны не параллельны. Параллелограмм имеет две противоположные стороны, параллельные друг другу.

Характерной чертой прямоугольника является то, что все углы прямые. У квадрата все четыре стороны равны. Кроме того, все углы квадрата прямые.

Если у многоугольника все стороны и углы равны, он называется правильным. Такой многоугольник всегда будет выпуклым.

Длина ломаной

Длина полилинии равна сумме длин всех ее звеньев. Длина замкнутой ломаной, не имеющей точек самопересечения, то есть длина многоугольника, называется периметром.

Пример 1. Найти длину полилинии с 3 звеньями.

Решение: Чтобы найти длину полилинии, состоящей из трех звеньев, сложите длины всех звеньев. Длина ломаной ABCD будет равна:

АВ + ВС + CD = 4 см + 3 см + 2 см = 9 см.

Ответ: длина ломаной ABCD равна 9 см.

Пример 2. Найти длину замкнутой ломаной.

Решение. Найдите периметр замкнутой полилинии, сложив длины всех ее звеньев:

АВ+ВС+CD+DA =
3 см + 5 см + 4 см + 5 см = 17 см.

Ответ: 17 см.

Чем ломаная линия отличается от прямой

Глядя на рисунок, очевидно: уникальный признак ломаной линии — отсутствие углов, равных 180 градусам. В остальном фигуры подобны и имеют схожие свойства, например длину.

Пример задачи

Дана ломаная, состоящая из 5 стыков, первый из которых равен 7 см, а каждый последующий длиннее предыдущего на 3 см. Найдите общую длину ломаной.

Решение

Сначала посчитаем длины всех ссылок:

• 2 звезды = 7 + 3 = 10 см
• 3 звезды = 10 + 3 = 13 см
• 4 звезды = 13 + 3 = 16 см
• 5 звезд = 16 + 3 = 19 см

Теперь осталось сложить все полученные значения, чтобы получить длину ломаной: 7+10+13+16+19=65 см.

Примеры ломаных линий в быту

Чтобы лучше усвоить теорию, разумно на практике ознакомиться с примерами ломаных линий из жизни.

Пунктирная линия — биржевой график. Поскольку отрезки на графике очень маленькие, может показаться, что это кривая, но при ближайшем рассмотрении оказывается, что это не так.

Фасад дома в переводе на «язык геометрии» выглядит как замкнутая ломаная линия.

Пирамиды Древнего Египта имели форму треугольника — одна из самых популярных ломаных линий.