Главная » Вычисления

Матрицы

Вычисления
На чтение 8 мин Просмотров 31 Опубликовано
Содержание
  1. Матрица — это таблица чисел, состоящая из n строк и m столбцов.
  2. Сущность матрицы
  3. Матрица строка
  4. Матрица столбец
  5. Виды матриц
  6. Прямоугольная матрица
  7. Нулевая матрица
  8. Квадратная матрица
  9. Диагональная матрица
  10. Главная диагональ матрицы
  11. Побочная диагональ матрицы
  12. Скалярная матрица
  13. Диагональная матрица
  14. Единичная матрица
  15. Ступенчатая матрица
  16. 6. Транспонированная матрица
  17. 7. Перестановочная матрица
  18. 8. Вырожденная и невырожденная матрицы
  19. 9. Обратная матрица
  20. След матрицы
  21. Верхняя треугольная матрица
  22. Нижняя треугольная матрица
  23. Ядро или нуль пространство матрицы
  24.  Противоположная матрица
  25.  Кососимметричная (Кососимметрическая) матрица
  26.  Разность матриц
  27.  Степень матрицы
  28.   Симметричная (Симметрическая) матрица

Матрица — это таблица чисел, состоящая из n строк и m столбцов.

Матрица. Элементы массива Типы массивов.

Матрица А состоит из трех строк и трех столбцов. Число, расположенное на пересечении строк и столбцов, обычно называют элементом матрицы.

Сущность матрицы

Определение 1

Матрица — это прямоугольная таблица, содержащая числа и имеющая определенное количество строк ($m$) и столбцов ($n$). Строки матрицы — это элементы, находящиеся на одной строке слева направо, а столбцы — это элементы, расположенные на одной строке сверху вниз.

Числа m и n определяют порядок (размерность) матрицы.

Аналогом матрицы является обычная двумерная таблица.

Матрица строка

матрица 1×n, т.е состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой. Например:

строка матрицы

Матрица столбец

Матрица размера m×1, т.е состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом. Например

столбец матрицы

Виды матриц

Матрицы бывают квадратные и прямоугольные, диагональные, скалярные, нулевые, единичные, матрицы-столбцы и матрицы-строки. Дадим определение каждой матрице и рассмотрим их на примерах.

Прямоугольная матрица

Если количество строк матрицы не равно количеству столбцов м neq п
, то матрица называется прямоугольной. Примеры прямоугольной матрицы

A=begin{pmatrix} a_{11}& a_{12} & a_{13} a_{21}& a_{22} & a_{23} a_{31}& a_{32} & a_ {33} a_{41}& a_{42} & a_{43} end{pmatrix}
и

B=begin{pmatrix} a_{11}& a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{15} a_{21}& a_{22} & a_{23} & a_{ 24} & a_{25} a_{31}& a_{32} & a_{33} & a_{34} & a_{35} end{pmatrix}

Нулевая матрица

Если все элементы массива равны нулю, массив называется нулевым массивом. Например

нулевая матрица

Квадратная матрица

Матрица A размера m×n называется квадратной матрицей, если количество строк и столбцов одинаково: m=n. Число m=n называется порядком квадратной матрицы. Например:

квадратная матрица

Диагональная матрица

Квадратная матрица, в которой отличны от нуля только элементы главной диагонали, называется диагональной матрицей. Пример диагональной матрицы:

A=begin{pmatrix} a_{11}& 0 & 0 &0 0& a_{22} &0 &0 0& 0& a_{33} & 0 0& 0 & 0& a_{44} end{pmatrix}

Диагональные матрицы, например, следующие:

A=begin{pmatrix} 2& 0} &0 0& 1 & 0 0& 0& -4 end{pmatrix}

и

B=begin{pmatrix} 7& 0 & 0 & 0 0& 4 & 0& 0 0&0 & 11& 0 0& 0 & 0 & -5 end{pmatrix}

Читайте также: Перевод массы в объем и обратно: литры в граммы

Главная диагональ матрицы

Элементы, размещенные в пространствах a11, a22,…, ann, образуют главную диагональ матрицы. Например:

главная диагональ матрицы

В случае матриц размера m×n элементы aii (i=1,2,…,min(m,n)) также образуют главную диагональ. Например:

главная диагональ матрицы

Элементы, лежащие на главной диагонали, называются элементами главной диагонали или просто диагональными элементами .

Побочная диагональ матрицы

Элементы, расположенные в точках a1n, a2n-1,…, an1, образуют побочную диагональ матрицы. Например:

вторичная диагональная матрица

Скалярная матрица

Если все числа на главной диагонали диагональной матрицы равны, матрица называется скалярной матрицей.

Например,

A=begin{pmatrix} 7& 0 & 0 & 0 0& 7 & 0& 0 0&0 & 7& 0 0& 0 & 0 &7 end{pmatrix}

Диагональная матрица

Квадратная матрица называется диагональной, если элементы вне главной диагонали равны нулю. Пример диагональной матрицы:

вторичная диагональная матрица

Единичная матрица

Квадратная матрица n-го порядка, у которой единицы на главной диагонали, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной матрицей и обозначается E или En, где n — порядок матрицы. Единичная матрица для порядка 3 имеет следующий вид:

единичная матрица

Ступенчатая матрица

Определение

Ступенчатая матрица — это матрица, удовлетворяющая следующим условиям:

  1. если эта матрица содержит нулевую строку (т.е строку, в которой все элементы равны нулю), то все строки ниже нее также нулевые;
  2. если первый ненулевой элемент в строке находится в столбце с индексом $i$ , то первый ненулевой элемент в следующей строке должен находиться в столбце с индексом больше $i$.

Другое определение ступенчатой ​​матрицы.

Определение

Ступенчатая матрица — это матрица, содержащая $m$ строк и у которой первые $r leq m$ диагональных элементов отличны от нуля, а элементы ниже главной диагонали и элементы в последних $mr$ строках равны нулю, то есть это матрица вида:

$$A=left(begin{array}{ccccccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & ldots & a_{1 r} & ldots & a_{1 n} 0 & a_{22} & a_{23} & ldots & a_{2 r} & ldots & a_{2 n} 0 & 0 & a_{33} & ldots & a_{3 r} & ldots & a_{3 n} ldots & ldots & ldots & ldots & ldots & ldots & ldots 0 & 0 & 0 & ldots & a_{rr} & ldots & a_{rn } 0 & 0 & 0 & ldots & 0 & ldots & 0 ldots & ldots & ldots & ldots & ldots & ldots & ldots 0 & 0 & 0 & ldots & 0 & ldots & 0 end{массив}right)$

Определение

Главным элементом строки в массиве $A$ является ее первый ненулевой элемент.

Пример

Упражнение. Найдите главные элементы в каждой строке массива $A=left(begin{array}{rrr} 1 & 0 & -1 0 & 0 & 1 end{array}right)$

Решение. Головной элемент первой строки — это первый ненулевой элемент этой строки, поэтому $a_{11}=1$ — это головной элемент строки номер 1; аналогично, $a_{23}=1$ — главный элемент второй строки.

Другое определение ступенчатой ​​матрицы.

Определение

Матрица $A$ называется ступенчатой, если:

  1. все нулевые строки идут после ненулевых;
  2. в каждой ненулевой строке, начиная со второй, главный элемент находится справа (в столбце с большим номером) главного элемента в предыдущей строке.

По определению ступенчатые матрицы включают в себя нулевую матрицу $Theta$, а также матрицу, содержащую одну строку.

Пример

Примеры ступенчатых матриц:

$A=left(begin{array}{ll} 0 & 0 0 & 0 end{array}right)$, $B=(1 2 3 4)$, $C=left( start{array}{lll} 1 & 2 & 3 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 end{array}right)$, $D=left(begin{array}{rrr} 1 & 0 & -1 0 & 1 & 2 0 & 0 & 8 0 & 0 & 0 end{массив}right)$, $F=left(begin{массив}{rrr } 1 & 2 & 3 0 & 1 & 1 0 & 0 & -7 end{массив}right)$

Примеры матриц, не являющихся шагами:

$A=left(begin{array}{ll} 0 & 0 1 & 0 end{array}right)$, $B=left(begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 0 & 0 & 1 0 & 0 & -3 end{массив}right)$, $D=left(begin{массив}{rrr} 1 & 0 & -1 0 & 1 & 2 0 & 5 & 8 0 & 0 & 3 end{массив}right)$

Пример

Упражнение. Узнайте, если массив $A=left(begin{array}{llllll} 0 & 1 & 2 & 0 & 3 & 1 0 & 0 & 3 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 end{array} справа) $ ступил.

Решение. Проверим выполнение условий из определения:

  1. все строки ниже первой нулевой строки массива (четвертая строка) нулевые;
  2. первый ненулевой элемент в строке №1 находится во втором столбце, что означает, что первый ненулевой элемент во второй строке должен быть как минимум в третьем столбце первый ненулевой элемент во второй строке $a_{ 23} = 3 neq 0$ в третьем столбце; аналогично первый ненулевой элемент в третьей строке находится в шестом столбце, а первый ненулевой элемент в предыдущей, второй строке находится в столбце с номерами 3 и 3

Таким образом, данная матрица $A$ является ступенчатой.

6. Транспонированная матрица

Эту матрицу легко построить. Только столбцы исходной матрицы мы запишем как строки в транспонированной матрице. Если исходная матрица имеет три столбца и две строки, транспонированная матрица будет иметь два столбца и три строки.

7. Перестановочная матрица

Если даны две матрицы А и В. И произведение матриц А и В равно произведению матриц В и А, то такие матрицы называются перестановочными.

8. Вырожденная и невырожденная матрицы

Матрица будет вырожденной, если определитель этой матрицы равен нулю.

Матрица будет невырожденной, если определитель этой матрицы отличен от нуля.

9. Обратная матрица

Матрица B называется обратной матрицей A, если произведение матрицы A и матрицы B дает единичную матрицу.

След матрицы

Сумма элементов главной диагонали матрицы A называется следом матрицы и обозначается Sp A или Tr A. Например:

Верхняя треугольная матрица

Квадратичная матрица ||ай||
порядка n × n называется верхнетреугольной матрицей, если все элементы матрицы ниже главной диагонали равны нулю, т е aij=0, для всех i>j . Например:

верхняя треугольная матрица

Нижняя треугольная матрица

Квадратичная матрица ||ай||
порядка n × n называется нижнетреугольной матрицей, если все элементы матрицы, расположенные выше главной диагонали, равны нулю, т е aij=0, для всех i

нижняя треугольная матрица

Строки матрицы A образуют пространство строк матрицы и обозначаются через R(AT).

Столбцы матрицы A образуют пространство столбцов матрицы и обозначаются через R(A).

Ядро или нуль пространство матрицы

Множество всех решений уравнения Ax=0, где A — mxn-матрица, x — вектор длины n, образует нулевое пространство или ядро ​​матрицы A и обозначается Ker(A) или N(A).

 Противоположная матрица

Для любой матрицы A существует противоположная матрица -A такая, что A+(-A)=0. Очевидно, что в качестве матрицы -А следует взять матрицу (-1)А, элементы которой отличаются от элементов матрицы А знаком.

 Кососимметричная (Кососимметрическая) матрица

Квадратная матрица называется кососимметричной, если она отличается от транспонированной матрицы в −1 раз:

В=-А.

В кососимметричной матрице два элемента, расположенные симметрично относительно главной диагонали, отличаются друг от друга в −1 раз, а диагональные элементы равны нулю.

Пример перекошенной матрицы:


 Разность матриц

Разница C двух матриц A и B одинакового размера определяется выражением

С=А+(-1)В.

Для обозначения разницы между двумя матрицами используется обозначение:

С=АВ.

 Степень матрицы

Позволять ||ай||
квадратная матрица размера n×n. Тогда степень матрицы определяется следующим образом:

А*А*А*...*А

А0=Е

где E — единичная матрица.

Из ассоциативного свойства умножения следует:

А ^ р + А ^ д = А ^ (р + д)

где p,q — произвольные неотрицательные целые числа.

  Симметричная (Симметрическая) матрица

Матрица, удовлетворяющая условию A=AT, называется симметричной матрицей.

Для симметричных матриц ||ай||
равенство распространяется на:

айдж=аджи ; i=1,2,…n, j=1,2,…n

Оцените статью
Блог о Microsoft Word
© 2024 Блог о Microsoft Word